高等数学 下册 课件 第7章第1节 二重积分的概念与性质

第七章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二重积分Advancedmathematics高等数学上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C1.曲顶柱体的体积2.二重积分的定义3.二重积分的存在性4.二重积分的几何意义一、二重积分的概念目录/Contents第一节二重积分的概念与性质二、二重积分的性质第七章二重积分图7.1D一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积曲顶柱体是指以曲面为顶，以区域为底，以的边界产生的柱面为侧面所围成的立体.见图7.1.设函数在有界闭区域上连续，且，过区域边界上每一点，作平行于轴的直线，这些直线构成一个曲面，称此曲面为由边界产生的柱面.下面我们仿照求曲边梯形面积的方法来求曲顶柱体的体积.（1）分割则以

表示以

为底的第

个小曲顶柱体的体积,，一、二重积分的概念把区域任意分割成个小区域,,…,，且仍以表示第个小区域的面积，柱体。分成个小曲顶这样就把曲顶柱体(2)近似图7.2一、二重积分的概念在每个小区域（)上任取一点，并以值为高，为底的平顶柱体的体积作为的近似值(见图7.2)，即一、二重积分的概念(3)求和这个小平顶柱体的体积相加，就得到所求的曲顶柱体体积的近似值，即(4)取极限当区域分得越细，则上式右端的和式就越接近于曲顶柱体的体积.用表示小区域上任意两点间的最大距离，称为该小区域的直径，令.当时，上述和式的极限存在，则这个极限值就是所求的曲顶柱体的体积，即一、二重积分的概念2.二重积分的定义定义7.1设是定义在有界闭区域上的有界二元函数，将区域任意分割成个小区域，，…，，并仍以表示第个小区域的面积，为区域的直径,,在每个小区域上任取一点，作乘积（）,并求和当时，这个和式的极限存在，则称函数在区域上可积,称此极限值为函数在区域上的二重积分，记作

即证明略.一、二重积分的概念3.二重积分的存在性其中，称为被积函数，“”称为二重积分符号，称为积分区域，称为面积元素，称为积分变量.定理7.1如果二元函数在有界闭区域上连续，则二重积分存在，即在区域上可积.一、二重积分的概念4.二重积分的几何意义（1）如果在有界闭区域上二元连续函数，积分的值等于以积分区域为底，连续曲面为顶的曲顶柱体的体积，（2）如果在有界闭区域上二元连续函数，积分区域积分的值等于以为底，连续曲面为顶的曲顶柱体的体积的相反数，则二重即则二重即一、二重积分的概念（3）如果在有界闭区域上二元连续函数既取得正值,又取得负值时，则二重积分的值等于以积分区域为底，以连续曲面为顶的曲顶柱体体积的代数和。e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C1.曲顶柱体的体积2.二重积分的定义3.二重积分的存在性4.二重积分的几何意义一、二重积分的概念目录/Contents第一节二重积分的概念与性质二、二重积分的性质第七章二重积分二、二重积分的性质

二重积分与一元函数的定积分具有相似的性质，下面涉及的函数均假定性质7.1若在区域

上有

，

是

的面积，则性质7.2常数因子可提到积分号外面，即

为常数）.

（在上可积.性质7.3函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，性质7.4（二重积分的积分区域可加性）图7.3若区域

被一连续曲线分成二、二重积分的性质和，见图7.3，即则性质7.5

（比较性质）特别地，由于所以性质7.6（估值定理）设

分别是函数

在有界闭区域

上的最大值和最小值，若在区域

上，有

，则

由此，若在区域

上，有

，则二、二重积分的性质

是

的面积，则性质7.7（二重积分的中值定理）二、二重积分的性质设函数在有界闭区域上连续，是区域的面积，则在上至少存在一点，使得二重积分中值定理的几何意义是：在区域上以曲面()为顶的曲顶柱体的体积，等于区域上以某一点的函数值为高的平顶柱体的体积.（1）设（2）设（3）设【例1】

计算二重积分故解（1）

是长为6，宽为4的矩形，其面积二、二重积分的性质故故其面积其面积（3）

是由半径为2和1的两个同心圆围成的圆环，（2）

是第一象限的三角形，

轴，

轴上的截距均为6，二、二重积分的性质【例2】比较二重积分

与

的大小,从而

，解

在积分区域

内，由于

，所以二、二重积分的性质其中

由直线,与

所围.故即所以解

在积分区域

内，被积函数

，二、二重积分的性质估计二重积分

的取值范围，其中【例3】

积分区域

的面积为

，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC0