2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 离散动力系统的演化规律

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——离散动力系统的演化规律考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、定义离散动力系统。设映射f:ℝ→ℝ定义为f(x)=x^2-2x+2。求该映射的平衡点，并判断每个平衡点的稳定性。二、解释什么是倍周期分岔。考虑离散映射g(x)=4x(1-x)，讨论参数x在区间[0,1]内变化时，映射g(x)的平衡点数量和稳定性如何变化？请描述系统行为随参数变化的演变过程。三、设离散动力系统由映射h(x)=ax+b定义，其中a,b为常数。讨论该系统展现混沌行为的必要条件是什么？请给出你的理由。四、计算映射φ(x)=x+sin(x)在点x₀=0处的一阶和二阶近似（线性化）。判断点x₀=0是否为局部稳定点？说明你的推理过程。五、已知一个生态模型由离散方程X_{n+1}=rX_n(1-X_n)表示，其中X_n表示第n代种群数量，r为生长率。讨论r取不同值时（例如r=2.5,r=3.5,r=3.99），系统行为（稳定、周期振荡、混沌）的变化特征。请描述这些变化对应的数学现象（如平衡点、周期解、分岔）。六、证明：如果一个离散映射f在某个区间I上是连续的，并且存在一个点x₀∈I，使得序列{x_n}={f(x_{n-1})}(n≥1)对于所有n≥1都收敛于x₀，那么x₀是f在区间I上的一个平衡点。七、考虑映射T(x)=x^2。分析该映射在区间[0,1]上的行为。是否存在周期为2的点？该系统是否表现出混沌特征？请简要说明理由。八、设离散映射F(x)=x^3-3x+1。求该映射的所有平衡点。对每个平衡点，计算其局部稳定性（是否稳定、不稳定或鞍点）。是否存在周期为2的解？如果存在，请尝试找出至少一个。试卷答案一、定义：离散动力系统通常指形如X_{n+1}=f(X_n)的迭代过程，其中X_n是状态变量，f是定义在某个状态空间上的映射。解：平衡点满足f(x)=x。令x^2-2x+2=x，得x^2-3x+2=0，解得x₁=1,x₂=2。计算f'(x)=2x-2。在x₁=1处，f'(1)=2*1-2=0。此方法无法直接判断稳定性。改用f(x)-x=x^2-3x+2，其根为x₁=1,x₂=2。f(x)-x在x₁=1处的值不为0，在x₂=2处的值为0。根据不动点指数理论或直接考察，x₁=1为鞍点（不稳定）。在x₁=1附近，若x>1，f(x)<x；若x<1，f(x)>x。若x<x₂=2，f(x)>x；若x>x₂=2，f(x)<x。因此，x₁=1不稳定，x₂=2是稳定平衡点。稳定性判断：x₂=2是稳定平衡点。二、倍周期分岔：指系统在参数变化过程中，其稳定周期解的周期翻倍的现象。初始的稳定周期解变得不稳定，同时产生一个稳定的新周期解，其周期是原周期解的两倍。这个过程会不断重复，参数继续变化时，系统可能经历4周期、8周期等分岔，最终可能进入混沌状态。讨论：映射g(x)=4x(1-x)=4x-4x^2。平衡点满足g(x)=x，即4x-4x^2=x，得4x^2-3x=0，解得x=0或x=3/4。计算g'(x)=4-8x。在x=0处，g'(0)=4。由于|g'(0)|=4>1，该平衡点不稳定。在x=3/4处，g'(3/4)=4-8*(3/4)=-2。由于|g'(3/4)|=2>1，该平衡点也不稳定。此时系统无稳定平衡点。考虑周期解。周期为1的解满足g(x)=x且g(g(x))=x。即4x(1-x)=x且4(4x(1-x))(1-4x(1-x))=x。解得x=0或x=3/4（这些解仍不稳定）。考虑周期为2的解，满足g(x)≠x且g(g(x))=x。设周期为2的解为a，则g(a)=b,g(b)=a。且a≠b。在区间[0,1]内，尝试x=1/2，g(1/2)=4*(1/2)*(1-1/2)=1。g(g(1/2))=g(1)=4*1*(1-1)=0。但0≠1/2。尝试x=1/4，g(1/4)=4*(1/4)*(1-1/4)=3/4。g(g(1/4))=g(3/4)=4*(3/4)*(1-3/4)=3/4。且1/4≠3/4。因此，x=1/4和x=3/4是周期为2的解。计算g'(x)在周期为2解处的值：g'(1/4)=4-8*(1/4)=0，g'(3/4)=4-8*(3/4)=-2。由于g'(1/4)=0，该周期解是稳定的。而g'(3/4)=-2，该周期解是不稳定的。行为演变：当参数（本例中未显式出现参数，但g(x)=4x(1-x)可视为r=4的Logistic映射）变化时，系统从无平衡点、无稳定周期解（只有不稳定平衡点和非稳定周期解）的状态，通过倍周期分岔，进入存在一个稳定周期为2的解的状态。三、必要条件：一个离散动力系统(X_{n+1}=f(X_n))展现混沌行为，通常需要满足以下条件之一（根据不同混沌定义）：1.Li-Yorke混沌定义：在状态空间中存在两个点x,y，使得d(x_n,y_n)→0(n→∞)且存在一个点z，使得d(z_n,y_n)≠0对所有n≥0成立。这意味着系统对初值敏感，存在收敛点和不收敛点。2.Devaney混沌定义：映射f满足：a)f是连续的。b)f的周期点密度为0（即任何开集都包含非周期点）。c)对任意点x和任意ε>0，存在点y使得d(x_n,y_n)>ε对所有n≥0成立（即系统对初值敏感）。条件解释：Li-Yorke混沌的核心是对初值的极端敏感性，即轨道要么收敛，要么永远保持有距离。Devaney混沌则更形式化地要求连续性、无周期点（或周期点密度为0）以及对初值的敏感性。这些条件共同描述了混沌状态的关键特征。证明系统混沌通常需要验证这些条件之一。四、一阶近似（线性化）：在x₀=0处，h(x)=ax+b的导数为h'(x)=a。因此，一阶近似（线性化映射）为L(x)=h'(x₀)x=ax。计算：L(x)=a*x。二阶近似：h''(x)=0。因此，二阶近似为L₂(x)=h'(x₀)x+h''(x₀)/2*x²=ax+0=ax。判断稳定性：根据线性化方法，判断x₀是否稳定取决于线性化映射L(x)=ax在x₀处的值。如果L(x₀)=a*0=0，线性化方法失效。需要更高阶近似或使用其他方法。另一种方法是直接考察原映射：h(x)-x=ax+b-x=(a-1)x+b。此多项式在x₀=0处的值为b。*如果b≠0，那么h(x)-x在x₀=0处不为0。根据不动点指数理论，x₀=0不是h(x)的不动点（更不是稳定平衡点）。*如果b=0，那么h(x)-x=(a-1)x。此时x₀=0是一个平衡点。其稳定性取决于a-1的符号：*若a-1>0(即a>1)，则x_n=(a-1)^n*x₀，当n→∞时，x_n→∞。x₀=0不稳定。*若a-1<0(即a<1)，则x_n=(a-1)^n*x₀，当n→∞时，x_n→0。x₀=0稳定。*若a-1=0(即a=1)，则x_n=b=0对所有n成立。x₀=0是一个稳定平衡点（也是超稳定平衡点）。结论：仅根据一阶和二阶近似无法判断x₀=0的稳定性，除非b=0且a≠1。在b=0,a=1的情况下，x₀=0是稳定平衡点。在其他情况下，仅凭近似无法确定其稳定性。五、讨论：*r=2.5：此时方程变为X_{n+1}=2.5X_n(1-X_n)。容易验证X=0是平衡点。计算Jacobian：X'=2.5(1-2X)。在X=0处，X'(0)=2.5>1。因此X=0是不稳定平衡点。对于X>1，X'>0；对于0<X<1，X'<0。对于X<0，X'>0。系统行为将远离X=0。此时系统可能表现出稳定的不动点（如果初始值接近不动点）或周期解，但根据r=2.5在Logistic模型中的行为，通常系统会进入一个稳定的周期解状态（周期为2）。*r=3.5：此时方程变为X_{n+1}=3.5X_n(1-X_n)。X=0仍是平衡点，且X'(0)=3.5>1，不稳定。此时系统可能表现出更复杂的周期解行为，例如周期为4的解可能出现。*r=3.99：此时方程变为X_{n+1}=3.99X_n(1-X_n)。X=0仍是不稳定平衡点，X'(0)=3.99>1。对于X>1，X'<0；对于0<X<1，X'>0。对于X<0，X'<0。系统行为将远离X=0。此时系统很可能表现出混沌行为，轨道对初始值高度敏感，呈现复杂的、看似随机的变化模式。变化特征总结：随着r从2.5增加到3.5再到3.99，系统行为经历了从不稳定平衡点附近振荡（可能为周期2）->出现更复杂周期解（如周期4）->进入混沌状态的变化过程。数学现象对应：r=2.5附近，可能为稳定的周期2解；r=3.5附近，可能为稳定的周期4解；r=3.99附近，系统进入混沌区，表现出对初值的极端敏感性。六、证明：需要证明：若f:I→I连续，且存在序列{x_n}(n≥1)收敛于x₀∈I，使得x_n=f(x_{n-1})(n≥1)，则x₀是f在区间I上的平衡点。证明：由序列定义，x_n→x₀(n→∞)。由于{x_n}是由递推关系x_n=f(x_{n-1})定义的，我们可以写出x_n=f(x_{n-1})=f(f(x_{n-2}))=...=f^{(n)}(x_0)，其中f^{(k)}表示f的k次复合。考虑极限n→∞：lim_{n→∞}x_n=lim_{n→∞}f^{(n)}(x_0)=x₀。由于f是连续的，复合映射f^{(n)}也是连续的（有限次复合连续映射仍连续）。因此，可以对极限号与f^{(n)}交换：x₀=lim_{n→∞}f^{(n)}(x_0)=f(lim_{n→∞}f^{(n-1)}(x_0))=f(lim_{n→∞}x_{n-1})。由于lim_{n→∞}x_n=x₀，所以lim_{n→∞}x_{n-1}=x₀。因此，x₀=f(x₀)。这正是平衡点的定义。所以，x₀是f在区间I上的平衡点。七、分析：映射T(x)=x^2在区间[0,1]上。平衡点：解T(x)=x，即x^2=x。得x=0或x=1。在区间[0,1]上，平衡点为x=0和x=1。稳定性：计算导数T'(x)=2x。在x=0处，T'(0)=2*0=0。线性化方法失效。考察T(x)-x=x^2-x=x(x-1)。在x₀=0附近，若0<x<1，则T(x)-x>0(T(x)>x)；若x>1，则T(x)-x<0(T(x)<x)。因此，x₀=0是一个鞍点，不稳定。在x=1处，T'(1)=2*1=2。由于|T'(1)|=2>1，该平衡点不稳定。周期为2的点：寻找满足T(T(x))=x且T(x)≠x的x。计算T(T(x))=(x^2)^2=x^4。解方程x^4=x且x^2≠x。得x=0或x=1。但这两个点都不满足T(x)≠x的条件（T(0)=0,T(1)=1）。结论：在区间[0,1]上，映射T(x)=x^2没有稳定平衡点，也没有周期为2的解。系统行为将根据初始值的不同，最终收敛到1（如果初始值x₀>0），或者保持为0（如果初始值x₀=0）。该系统不表现出混沌特征，因为它缺乏复杂的周期解结构和对初值的极端敏感性。八、解：1.求平衡点：平衡点满足F(x)=x。令x^3-3x+1=x，得x^3-4x+1=0。尝试有理根：±1。F(1)=1-4+1=-2≠0。F(-1)=-1+4+1=4≠0。无简单有理根。无法直接因式分解。可以使用数值方法或高等代数技巧（如求导数、利用判别式等）寻找根，但此处假设可以解得所有根（设为x₁,x₂,x₃）。2.求局部稳定性：计算导数F'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。*在x₁=1处，F'(1)=3(1-1)(1+1)=0。线性化方法失效。需要更高阶近似或直接考察F(x)-x=x^3-4x+1。在x=1处，值为0。根据更高阶项x^3的主导作用，可以推断x=1附近行为，但简单判断其稳定性较复杂。*在x₂=-1处，F'(-1)=3((-1)-1)((-1)+1)=3*(-2)*0=0。线性化方法失效。考察F(x)-x=x^3-4x+1。在x=-1处，值为-1-(-4)+1=4≠0。根据不动点指数理论，x₂=-1不是平衡点。*在x₃处（假设为实根，且x₃≠±1），F'(x₃)=3(x₃-1)(x₃+1)。如果x₃>1，则F'(x₃)>0；如果-1<x₃<1，则F'(x₃)<0；如果x₃<-1，则F'(x₃)>0。因此，需要知道x₃的具体值才能判断其稳定性。假设x₃>1，则F'(x₃)>1，x₃不稳定。假