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2025年大学《数理基础科学》专业题库——数论概念及应用分析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（请将正确选项的代表字母填在题后的括号内。每小题2分，共10分）1.若整数a能整除整数b，且b能整除整数c，则a一定能整除整数c。这一命题（）。A.正确B.错误2.下列数中，不是素数的是（）。A.2B.3C.15D.173.设a=12，b=18，则gcd(a,b)和lcm(a,b)的值分别是（）。A.6，36B.3，36C.6，24D.3，244.同余式15≡8(mod7)的意义是（）。A.15除以7的商是8B.15除以7的余数是8C.15除以7的余数是1D.15和8是互质的5.满足同余式x≡3(mod5)的最小正整数x是（）。A.3B.5C.8D.13二、填空题（请将答案填在题后的横线上。每小题3分，共15分）6.若p是素数，且p整除a²，则p一定整除a。7.15和20的最大公约数是，最小公倍数是。8.如果整数a除以3余1，b除以3余2，那么a+b除以3余。9.同余式5x≡7(mod11)的解是x≡(mod11)。10.设集合S={x|x是小于20的正偶数，且x与12互质}，则集合S的元素个数是。三、计算题（请写出计算步骤。每小题5分，共10分）11.求135和270的最大公约数和最小公倍数。12.计算17³-17(mod18)。四、证明题（请写出证明过程。每小题10分，共20分）13.证明：如果一个正整数能被6整除，那么它也能被3整除。14.证明：对于任意整数a和正整数m，若a≡b(modm)，则gcd(a,m)=gcd(b,m)。试卷答案1.A2.C3.A4.C5.D6.是7.5；608.09.310.611.最大公约数是135，最小公倍数是270。12.17³-17(mod18)=013.证明：设正整数n能被6整除，则存在整数k使得n=6k=2(3k)。因为3k是整数，所以n能被3整除。14.证明：因为a≡b(modm)，所以存在整数q使得a=b+qm。设d=gcd(a,m)，则d|a且d|m。因为d|a且d|m，所以d|(a-qm)=b。因此d|b且d|m，即d|gcd(b,m)。反之，设d'=gcd(b,m)，则d'|b且d'|m。因为d'|b且d'|m，所以d'|(b+qm)=a。因此

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