九年级数学-第2课时　二次函数y＝ax2＋c的图象与性质

第二章二次函数2二次函数的图象与性质第2课时二次函数y＝ax2＋c的图象与性质

1.

二次函数y＝ax2＋c（a≠0）的图象是

抛物线

，

性质如下：a＞0a＜0开口方向

向上

向下

对称轴

y轴

y轴

顶点坐标

（0，c）

（0，c）

抛物线向上向下y轴y轴（0，c）（0，c）a＞0a＜0增减性当x＞0时，y随x的增大而

增大

﹔当x＜0时，y随x的增大而

减小

当x＞0时，y随x的增大而

减﹔当x＜0时，y随x的增大而

增

大

最大（小）值y最小值＝

c

y最大值＝

c

增大减小减小

增大cc2.

二次函数y＝ax2＋c（a≠0）的图象可以由y＝ax2平

移而得，当c＞0时，向

上

平移

个单位长度；

当c＜0时，向

下

平移

个单位长度.上

下

二次函数y＝ax2＋c的图象【例1】已知二次函数y＝ax2与y＝－2x2＋c.（1）随着系数a和c的变化，分别说说这两个二次函数图

象的变化情况.解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大

小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改

变.二次函数y＝－2x2＋c的图象随着c的变化，开口大小

和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是顶点坐

标会发生改变.（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝

±2

；若

二次函数y＝ax2的图象沿y轴向下平移2个单位长度就能

与y＝－2x2＋c的图象完全重合，则c＝

－2

.±2－2（3）二次函数y＝－2x2＋c中x，y的几组对应值如下表：x－215ymnp表中m，n，p的大小关系为

p＜m＜n

.（用“＜”

连接）p＜m＜n

在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，二次项系数a不等于

0，而b和c都可能等于0，当b和c都等于0时，函数为y

＝ax2；当b＝0时，函数为y＝ax2＋c；当c＝0时，函数

为y＝ax2＋bx，这三个函数的图象都可以通过平移来互

相变换，而在三个系数中，a决定开口方向，a和b决定

对称轴，c决定抛物线与y轴的交点和顶点坐标.

二次函数y＝ax2＋c的性质

（1）当△POF的面积为4时，求点P的坐标；

（2）求△PMF周长的最小值.解：（2）过点P作PT⊥x轴于点T.

∵C△PMF＝PM＋PF＋FM＝PM＋PT＋2≥MT＋2，∴当MT⊥x轴时，周长最小，最小值为3＋2＝5.

本题利用二次函数新定义性质，结合y＝ax2＋c的图

象性质，根据面积公式可求出动点P的坐标，同时根据

垂线段最短确定三角形周长的最小值，同时利用垂直中

点的坐标来解决问题，可称得上是“一箭三雕”.

1.

二次函数y＝x2＋3的图象上有两点A（x1，y1），B

（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（D）A.0≤x1＜x2B.

x2＜x1≤0C.

x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D.

以上都不对D2.

函数y＝ax2＋1和y＝ax＋a（a为常数，且a≠0）在

同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（D）A.

B.

C.

D.

D3.

二次函数y＝2x2－1的图象的顶点坐标是（D）A.

（－1，0）B.

（1，0）C.

（0，1）D.

（0，－1）D

－2y＝－x2－2（答案不唯一）

2.（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x

的增大而增大.顶点坐标为（0，4），对称轴是y轴，当x＞0时，y随x

的增大而增大.

第8题图6.

9.

如图，一条抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点

B的左侧），其顶点P在线段MN上移动.若点M，N的坐

标分别为（－1，－2），（1，－2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（A）A.

－3B.

－1C.1D.3第9题图A10.

如图，二次函数y＝ax2－4和y＝－ax2＋4的图象都经

过x轴上的A，B两点，两图象的顶点分别为C，D.

当四

边形ACBD的面积为40时，a的值为

.第10题图

第11题图（1）若x＝1，当点Q在正方形ADBC边上（点A除外）时，则a的值为多少？0.（2）若a＝－1，当点Q在正方形ADBC的内部（包括边

界）时，求x的取值范围.

第11题图

12.

如图，二次函数m：y＝ax2＋b（a＜0，b＞0）的图

象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于

点C.

将二次函数m的图象绕点B旋转180°，得到新的二

次函数n的图象，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（

C）A.

ab＝－1B.

ab＝－2C.

ab＝－3D.

ab＝－5第12题图C

解：（1）对称轴为直线x＝0.（2）求点B的坐标（用含a的式子表示）；

解：（3）当a＞0时，如图（1）.

当a＜0时，如图（2）.

1.

（淄博中考）若二次函数y＝ax2＋2的图象经过P

（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2－4m2－4n＋9

的最小值为