四川省成都实验外国语学校（西区）2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）（含答案）

2025-2026学年四川省成都实验外国语学校（西区）九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+1x2=0 B.ax2+bx+c2.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是(

)A.a=4，b=6，c=5，d=10 B.a=1，b=2，c=3，d=4

C.a=3.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(

)

A.ADAB=AEAC B.ADAE=4.若关于x的一元二次方程(k+2)x2-2A.k>3 B.k≥-3

C.k>-3且k≠-2 5.已知(a2+b2)(A.-5 B.5 C.-26.如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路(图中的阴影部分)余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为(

)A.32×12-32x-12x=300 B.(32-x7.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，要添加的条件是(

)A.AD⊥AB

B.AC=BD

C.8.如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+A.6

B.33

C.2二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。9.已知a：b：c=2：3：4，且a+3b-2c10.已知方程x2-2x+a=0有一个实数根为1-11.已知a、b是关于x的一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则代数式12.如图，在△ABC中，DE//BC，DF//AC，AD=2BD，DE

13.如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，连接AC.分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两相交于点E，F，连接EF，AB相交于点G.与CD相交于点H，连接AH，CG.则

14.已知x=ab+c=b15.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=016.如图，D为△ABC中BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE交于点M，满足AM：MD=3：1，BD：DC=2：3，则AE：EC=

17.新定义：关于x的一元二次方程a1(x-c)2+k=0与a2(x-c)2+k=0称为“同族二次方程”，例如：5(x-6)18.如图，正方形ABCD的边长为4，△BEF是等边三角形，点F在边BC的上方，点E在射线BC上运动.连接CF，取CF的中点M，则线段AM的长度的最小值为______.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题16分)

用适当的方法解下列关于x的方程：

(1)x(2x-5)=4x-10；

(2)220.(本小题6分)

在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化.酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色.现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液：

(1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______；

(2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率.21.(本小题6分)

已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1，x2.

(1)求实数k的取值范围；22.(本小题10分)

如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O；CD//OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.

(1)判断四边形CDEO的形状，并说明理由；

(2)证明：CO2=CG⋅FC；

(3)当23.(本小题10分)

【知识技能】(1)如图1，点E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90∘得到△ABF，若正方形边长为3，DE=1，求EF的长.

【数学理解】(2)如图2，点E是正方形ABCD内部一点，连接BE，CE，将△BCE绕点B逆时针方向旋转90度得到△BAF，延长CE交AF于点H，连接BH，请证明：CH=AH+2BH.

【拓展探索】(3)如图3，正方形ABCD的边长为3，BE=124.(本小题8分)

成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？25.(本小题10分)

材料1：法国数学家弗朗索瓦⋅韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两根x1，x2有如下的关系(韦达定理)：x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca；

材料2：如果实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2-x-1=0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根.

请根据上述材料解决下面问题：26.(本小题12分)

【问题背景】

(1)如图1，在正方形ABCD中，E是BD上一点，连接CE，F为线段AB上一点(不与端点A、B重合)，且∠AFE=∠BCE.求证：CE=EF且CE⊥EF；

【类比探究】

(2)如图2，将(1)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，F为线段AB延长线上一点，其他条件不变，若BC=4，CD=3.探究线段CE与EF之间的关系，并说明理由；

【拓展延伸】

(3)在(2)的条件下，过点E作EH⊥BD交BC于点H，延长FE交AD边于点答案和解析1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】5

10.【答案】1+-11.【答案】1

12.【答案】4

13.【答案】214.【答案】-1或115.【答案】3

16.【答案】6517.【答案】2025

18.【答案】2+19.【答案】x1=52,x2=2；

x1=5-3320.【答案】(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种，

∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是14.

故答案为：1ABCDA(((B(((C(((D(((共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：(A,B)，(B,A)21.【答案】解：(1)由题意，△>0，

∴(2k+1)2-4(k2+1)>0，

解得k>34.

(2)依题意得：x1+x2=2k+1，x1⋅x2=k2+1，

由(1)得：k>34，

∴x1+x2>0，22.【答案】(1)解：四边形OCDE是菱形，理由如下：

∵CD//OE，

∴∠FDC=∠FOE，

∵CE是线段OD的垂直平分线，

∴FD=FO，ED=OE，CD=CO，

在△FDC和△FOE中，

∠FDC=∠FOEFD=FO∠DFC=∠CFE，

∴△FDC≌△FOE(ASA)，

∴CD=OE，

又ED=OE，CD=CO，

∴ED=OE=CD=CO，

∴四边形OCDE是菱形；

(2)证明：∵四边形OCDE是菱形，

∴DO⊥CE，CO=CD，

∴∠DFC=∠CDA=90∘，

又∵∠DCF=∠DCG，

∴△DCF∽△GCD，

∴CFCD=CDCG，

∴CD2=CF⋅CG，

∴CO23.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，正方形边长为3，

∴BC=CD=AB=3，∠ABC=∠D=∠C=90∘，

根据旋转可得∠ABF=∠D=90∘，DE=BF=1，

∴∠ABF+∠ABC=180∘，CE=3-1=2，

∴点F，B，C三点共线，

∴FC=4，

∴EF=CF2+CE2=42+22=25；

(2)证明：如图，在CE上截取CG=AH，连接BG，

根据旋转可得△AFB≌△CEB，

∴∠1=∠2，

∵AH=CG，∠1=∠2，AB=CB，

∴△HAB≌△GCB(SAS)，

∴BH=BG，∠3=∠4，

∴∠ABC=∠ABG+∠3=∠24.【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，

由题意得：375(1+x)2=540，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)，

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

(2)设该品牌头盔每个应涨价m元，则每个盈利(10+m)元，月销售量为(500-m4×80)个，即(500-20m)个，

由题意得：(10+m)(500-20m)=6000，

25.【答案】(1)∵实数m，n满足m2+4m-2=0，n2+4n-2=0(m≠n)，

∴m，n是方程x2+4m-2=0的两个不相等的实数根，

∴m+n=-4，mn=-2，

∴m3+n3=(m+n)3-3mn(m+n)=(-4)3-3×(-2)×(-4)=-64-24=-88；

(2)∵2q2=1-3q，

∴q≠0，

∴(1q)2-3(1q)-2=0，

∵p2=3p+2，

即p2-326.【答案】(1)证明：如图，过点E作EH⊥BC于点H，作EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠CBE=45∘，

∴EQ=EH，

在△FQE和△CHE中，

∠EQF=∠EHC=90∘∠QFE=∠HCEQE=HE，

∴△FQE≌△CHE(AAS)，

∴EF=EC，∠QEF=∠CEH，

∴∠CEF=∠CEH+∠FEH=∠QEF+∠FEH=∠QEH=90∘，

∴CE⊥EF；

(2)解：EF：EC=4：3且CE⊥EF，理由如下：

如图，过点E作EH⊥BC于点H，作EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90∘，∠BCD=90∘，

∴四边形BHEQ为矩形，

∴∠QEH=90∘，QE=BH，

∵∠FQE=∠CHE=90∘，∠AFE=∠BCE，

∴△QEF∽△HEC，

∴∠QEF=∠HEC，QEEH=EFEC，

∴∠CEF=∠CEH+∠FEH=∠QEF+∠FEH=∠QEH=90∘，

∴CE⊥EF，

∵EH//CD，

∴EHCD=