16.3 乘法公式 题型专练（解析版）

2/216.3乘法公式题型一运用平方差公式进行运算1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）简便计算(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查积的乘方的逆运算，有理数的乘方，平方差公式，掌握知识点是解题的关键．（1）根据积的乘方的逆运算进行计算即可；（2）根据平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）．2．（23-24八年级上·广东江门·期中）运用平方差公式计算：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)39999【分析】本题考查平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键．（1）运用平方差公式计算即可；（2）运用平方差公式计算即可；（3）将式子变形为后，运用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：

；（2）解：；（3）解：．3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题，，，，……(1)将2028写成两整数平方差的形式：________________(2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律．【答案】(1)507；；(2)；验证见解析【分析】本题主要考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律．（1）利用题意得到，根据进行整理，即可解题；（2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证．【详解】（1）解：由题中等式可知，（为正整数），，．（2）解：由题中等式可知，这一规律为：，右边．即左边右边，这一规律成立．4．（25-26八年级上·福建·阶段练习）仔细观察下列等式：第一个：第二个：第三个：第四个：……(1)请你写出第六个等式：________；(2)运用上述规律，计算：．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查的是数字的变化类题型，根据题中所给出的式子找出规律是解答此题的关键．对于（1），根据题目中的式子，可以发现数字的变化特点，从而写出第六个等式对于（2），根据所求式子的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值．【详解】（1）解：第一个：第二个：第三个：第四个：第五个：∴第六个：，故答案为：（2）解：．题型二运用完全平方公式进行运算1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）利用完全平方公式解答即可；（2）利用完全平方公式解答即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）计算：．【答案】【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，合并同类项，先根据平方差公式，完全平方公式，进行计算，再合并同类项即可．【详解】解：原式．3．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）先化简，后求值：，其中，．【答案】，【分析】根据平方差公式，完全平方公式，正确化简后转化为代数式的值计算即可．本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键．【详解】解：当时，原式．4．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）巧用乘法公式解决最值问题课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：，，当时，的值最小，最小值是0，即当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列问题：求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？【答案】当时，该代数式有最小值，最小值为3【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用，将化为，仿照已知方法求解即可．会仿照已知方法进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键．【详解】解：∵∵∴∴当时，该代数式有最小值，最小值为3．题型三整式的混合运算1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，属于基础题型．明确乘法计算法则是解决这个问题的关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后再进行合并同类项得出化简结果，最后将a和b的值代入化简结果得出答案．【详解】解：，将，代入得，原式．2．（24-25八年级上·天津·阶段练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．直接利用乘法公式，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．【详解】解：，当时，．3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知，求的值．（2）先化简，再求值，其中，．【答案】（1）或；（2），【分析】本题考查了完全平方公式，整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）利用完全平方公式计算即可得解；（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴，∴的值为或；（2），当，时，原式．4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式，把所求式子化简．先根据乘法公式展开，去括号合并同类项，化简后将代入计算即可．【详解】解：当时，原式题型一平方差公式与几何图形1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，；并写出上述过程所揭示的公式；(2)拓展提升：试利用这个公式计算：(3)迁移应用：计算【答案】(1)，，(2)(3)2【分析】本题考查的是平方差公式的几何应用，平方差公式的应用，熟练地推导平方差公式与运用平方差公式解决问题是关键．（1）图①阴影部分的面积等于大的正方形的面积减去小的正方形面积，图②阴影部分的面积为长方形的面积，从而可得答案；由图①与图②阴影部分的面积相等可得公式；（2）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可．（3）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可．【详解】（1）解：，，∵，∴；（2）解：；（3）解：.2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）实践应用：(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是．（写出两数平方差的形式）(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是，（写成多项式乘法的形式）(3)比较图1，图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式，（用等式表达）(4)运用你所得的公式，计算下列各题：【答案】(1)(2)(3)(4)99.91【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；故答案为：；（2）解：由图可知长方形的宽是，长是，所以面积是；故答案为：，，；（3）解：由题意得：（等式两边交换位置也可）；故答案为：；（4）解：原式．3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是．(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：①已知，，求的值．②计算：【答案】(1)(2)①3；②【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键．（1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得．（2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可．【详解】（1）解：∵图1阴影部分的面积为：，图2阴影部分的面积为：，∴上述操作能验证的等式是．故答案为：；（2）解：①∵，，∴；②．4．（22-23八年级上·甘肃庆阳·阶段练习）乘法公式的探究及应用．探究问题：图（1）是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图（2）．（1）图（1）中长方形纸条的面积可表示为_____________（写成多项式乘法的形式）．（2）拼成的图（2）阴影部分的面积可表示为_____________（写成两数平方差的形式）．（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_____________．结论运用：（4）运用所得的公式计算：_____________；_____________．拓展运用：（5）计算：．【答案】（1）（2）（3）（4），（5）．【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．（1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可；（2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可；（3）由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案；（4）利用平方差公式进行计算即可；（5）利用平方差公式将原式化成，进而得到，再进行计算即可．【详解】解：（1）图1中的长方形的长为，宽为，因此面积为；故答案为：；（2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，故答案为：；（3）由两个图形阴影部分的面积相等可得，，故答案为：；（4），，故答案为：，；（5）原式．题型二完全平方公式的综合应用1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式．例如图1得到：，基于此，请回答下列问题：【类比】（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________________；【应用】（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，则的平方根是____________．【拓展】（3）已知：，求的值．【答案】（1）（2）；（3）.【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用：（1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论；（2）计算多项式乘以单项式，进而求得x、y、z的值，代入再求平方根，即可求解；（3）设，利用完全平方公式的变形求解即可．【详解】解：（1）根据图形可得：，故答案为：；

（2）∵，∴，∴，∴的平方根是：，故答案为：；

（3）设，∴，由得：；∴，∴.2．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）观察图形，解决问题：(1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______；(2)当时，求的值；(3)如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)；；(2)2(3)10【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算；（2）令，结合完全平方公式进行变形，化简，即可作答；（3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算．【详解】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：，∴正方形的面积为：；方法二：如图：阴影部分的面积大正方形的面积；故答案为：，，；（2）解：令，则，，则，∴，解得，∴；（3）解：∵，，，，，，或（不符合题意，舍去），．3．（25-26八年级上·广东中山·期中）合探究．把四块长为a、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：【初步概括】（1）按要求用含a，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）：①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：；②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：；【深入总结】（2）由（1）可得等式：，并证明你的结论；【应用拓展】（3）根据（2）中的等式，解决如下问题：①已知，，求的值；②已知，，求的值．【答案】（1）①；②；（2）（，见解析；（3）①；②1【分析】此题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键．（1）①观察图形，可得图中大正方形的边长为，每一块长方形木板的长为a，宽为b，根据正方形的面积边长的平方，长方形的面积长宽即可求解；②观察图形，可得图中空心部分的正方形边长为，根据正方形的面积边长的平方即可求解；（2）根据利用（1）中结论代值求解即可；（3）利用完全平方公式及（1）中结论求解即可．【详解】解：（1）①由图知，大正方形面积减去四块木板的面积为，②用空心部分的正方形边长的平方表示为：，故答案为：，；（2），证明：∵左边，右边，左边右边，∴．（3）解：①∵，，∴，∴．②∵，，，∴∴．4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：．(1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形；(2)已知，，求的值；(3)已知，求的值；(4)已知，求的值．【答案】(1)见解析(2)6(3)(4)31【分析】本题主要考查完全平方式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景．（1）根据，画出宽为，长为的长方形即可；（2）根据完全平方公式变形可得出答案；（3）设，，则，再由完全平方公式变形可得出答案；（4）设，，则，再由已知得，再由完全平方公式变形可得出，再将变形为，将，代入求解即可．【详解】（1）解：如图，可以验证：；（2）解：，，，又，，；（3）解：设，，则，，，，，即；（4）解：设，，则，，，，，，．1．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式．【特例感知】代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：(1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）；①；②；③；④；⑤．(2)若关于，的代数式为对称式，则的值为______；(3)已知．①若，，求对称式的值；②若，且对称式，求代数式的值．【答案】(1)①②⑤(2)(3)①18；②2025【分析】本题主要考查了对称式的定义、整式的运算以及代数式的求值，熟练掌握对称式的定义和整式运算规则是解题的关键．（1）根据对称式的定义，分别对每个代数式交换字母位置后判断值是否不变，从而确定是否为对称式；（2）利用对称式的性质，将代数式中字母交换位置后等式成立，通过整理等式求出的值；（3）①先将展开，结合已知条件求出和的值，再将展开并代入求值；②根据的值得到与的关系，代入对称式等式求出关于的方程，再将所求代数式进行变形，利用方程求解．【详解】（1）解：①，①是对称式；②，②是对称式；③，③不是对称式；④，④不是对称式；⑤，⑤是对称式；故答案为：①②⑤；（2）解：关于，的代数式为对称式，，，，即，，故答案为：；（3）解：①将展开，得，，，，又，把，代入，可得②，，，即，，．2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律：(1)；；．①______（其中为正整数，且）；②______；③______；④______；⑤______；(2)根据上述规律求的值；(3)根据上述规律：的值为______．【答案】(1)（1）①，②，③，④，⑤，(2)(3)342【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键．（1）根据结果的规律得出答案；（2）将写成，通过（1）规律即可求解；（3）由得当，，，将变形为，即可得到再进行计算即可求解．【详解】（1）解：（1）由上式的规律可得，，①故答案为：；由题干中提供的等式的规律可得，②；故答案为：；③，故答案为：；④故答案为：；⑤，故答案为：；（2）解：；（3）解：∵，∴取，，，．3．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．（1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：方法1：，方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______；如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积：方法1：，方法2：____________，由此可得恒等式：______．【迁移运用】（2）若，，求的值．（3）若，，求的值．【答案】（1）；；；；；．（2）；（3）【分析】考查完全平方公式以及多项式的乘法与图形面积，从整体和局部两种情况分析并写出面积以及体积的表达式是解题的关键，（1）依据图形的特点，分为两种方法，一种依据边长运用面积公式直接求面积，另一种用大正方形的面积减去四个小矩形的面积，再根据两种方法面积相等即可得到数量关系；方法1：根据正方体的体积公式，正方体的边长的立方就是正方体的体积；方法2：2个正方体和6个长方体的体积和就是大长方体的体积，由此即可得到结论：(2）根据进行求解即可;(3）根据进行求解即可.【详解】（1）方法1：阴影部分是边长为的正方形，则其面积为；方法2：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，则其面积为，∵两种表示方法的面积相等，∴．方法1：大正方体棱长为