15.3.1（第2课时）等腰三角形的判定 分层作业（解析版）

2/215.3.1(第2课时)等腰三角形的判定目录TOC\o"1-3"\h\u类型一、根据等角对等边求边长 1类型二、根据等角对等边证明边相等 8类型三、等腰三角形的性质和判定综合 13TOC\o"1-3"\h\u类型一、根据等角对等边求边长1．如图，在中，，将沿射线平移到，若点D落在的平分线上，则平移的距离为（

）A．m B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定．根据平移的性质得：，平移的距离为的长，再结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解．【详解】解：由平移的性质得：，平移的距离为的长，∴，∵平分，∴，∴，∴，即平移的距离为m．故选：A．2．如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理：，∵的周长，，∴，∵的周长为，∴的周长是，故选：．3．为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边这一判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），判断三角形的边的关系，进而求出的长度．【详解】解：在中，，（等角对等边），又，．故选：C．4．如图，在中，．以为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于和，再分别以和为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于．射线交于，垂足为，垂足为．若，则的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】本题考查了尺规作图做角平分线，角平分线的性质定理，等角对等边．由作图可知是的角平分线，根据角平分线的性质定理得到，根据等边对等角得到，即可求出的长．【详解】解：由作图可知是的角平分线，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，故选：C．5．如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的长度为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，等角对等边，先根据垂直平分线的性质得，，再结合得，则，整理得，根据等角对等边得，即可作答．【详解】解：∵垂直平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，则，∴故选：A．6．如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴的周长为，故选：B．7．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可．【详解】解：平分交于，，，，，，，．故选：C．8．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为．【答案】3【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得．【详解】解：由折叠的性质得：，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：3．9．如图，在四边形中，，连接，平分，若，则的长为．【答案】4【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，则有，再利用等角对等边即可得出答案．【详解】解：∵∴，∵平分，∴，∴，∴．故答案为：4．10．如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为．【答案】【分析】本题考查角平分线的对应、平行线的性质及等角对等边，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，根据等角对等边即可得答案．【详解】解：∵是的外角的平分线，∴，∵，∴，，∴，∵，∴．故答案为：11．如图，一艘船从处出发，向正西方向航行69海里到达处，分别从A，B处望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是海里．【答案】69【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，注意数形结合思想的应用是解题的关键．根据等腰三角形的判定和三角形外角的性质理可得到结论．【详解】解：根据题意得：海里，，，，海里，即从海岛到灯塔的距离是69海里，故答案为：69．12．一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东，又继续航行7海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则的距离是海里．【答案】7【分析】本题主要考查了方向角有关的计算、角的和差、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．根据方向角、角的和差关系、三角形的内角和定理得到，再根据等角对等边可得即可．【详解】解：由图和题意，可知：，，，∴，∴，∴．故答案为：7．类型二、根据等角对等边证明边相等13．如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（

）A．米 B．米 C．6米 D．米【答案】A【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则米，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∵恰好平分，∴，∴，∴，米，米，米，∴米，故选：A．14．如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（

）A．7 B．8 C．10 D．6【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边求出，然后根据线段的和差关系求解即可．【详解】解∶∵，，∴，∵，∴，故选∶B．15．如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得．【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意；∴，，故B、C结论都正确，不符合题意；∵，∴，∵，∴，故D结论错误，符合题意；故选：D．16．如图，，若，则的长度为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故选：A．17．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若，则（用含的数式表示）．【答案】【分析】本题考查了尺规作图、等角对等边、平行线的性质，熟练掌握尺规作角平分线的方法是解题的关键．由作图可得，平分，得到，利用平行线的性质得到，则有，推出，即可得出答案．【详解】解：由作图可得，平分，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．18．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，；若，则的长是．【答案】4【分析】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理求出，再根据线段垂直平分线的性质求出．【详解】解：，，，是的垂直平分线，，故答案为：4．19．已知：如图，在中，是的角平分线，垂直平分分别交、于点、，连接．(1)如果，求的度数；(2)过点作交边于点，如果，求的周长．【答案】(1)(2)16【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质可得，即可求解；（2）根据以及角平分线的定义，可得，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】（1）解：是的角平分线，垂直平分，，∴；（2）解：如图，是的角平分线，∴，∵．20．如图，，E是上的一点，且．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键；由得，则可证明，从而有．【详解】证明：∵，∴；在与中，，∴，∴．类型三、等腰三角形的性质和判定综合21．已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，．求的周长．解：BM平分，_______．，（_______）．_______．（_______）．同理可得_______．周长_______．【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；；【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明得到，同理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可．【详解】解：平分，．，（两直线平行，内错角相等）．．（等角对等边）．同理可得．周长．22．如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：．【答案】证明见解析【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵是角平分线，∴，∴，∵，∴，∴．23．如图，，．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可.【详解】证明：∵，∴，∵，，∴，∴.24．已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边．根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案．【详解】证明：∵平分，平分，，，，，，，，即．25．如图，为等腰直角三角形，，，点在的延长线上（）．连接，E为边上一点，且，连接并延长交于F．(1)猜想与的位置关系，并说明理由；(2)求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)的度数为．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．（1）证，得出，即可推出；（2）延长至H，使，先证，得出，，再由，即知，推出是等腰直角三角形，即可得出答案．【详解】（1）解：与的位置关系为，理由如下：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图，延长至H，使，由（1）知：，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴的度数为．26．如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键；对于（1），根据等腰三角形的性质得是的垂直平分线，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可得，此题可解；对于（2），根据等腰三角形的性质可求，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案．【详解】（1）证明：∵，点D是的中点，∴，∴是的垂直平分线，∴．∵是的垂直平分线，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，点D是的中点，，∴．在中，．27．如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上，(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．（1）先证明垂直平分，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，即可得出，说明是等腰三角形；（2），，得出，，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，即可得出，最后根据等边对等角即可求出结果．【详解】（1）证明：∵点是的中点，，∴垂直平分，∴，∵点在的垂直平分线上，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．1．如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长交于点，可证，得到，，由补角性质可得，即得，得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：延长交于点，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．2．如图，在中，，，是边上一点，与关于直线成轴对称，若，则；若，，则的面积为．【答案】/60度/【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，等腰三角形的判断，三角形面积计算，先根据三角形内角和定理求出，根据折叠得出，求出；证明，得出，求出，根据，求出三角形面积即可．【详解】解：∵，，∴，根据折叠可知：，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：；．3．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为．【答案】21【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案．【详解】解：平分，，，，，，同理，的周长，故答案为：．4．如图，已知等腰中，．过点作射线，上取一动点，连结．过点作平分交的延长线于点．(1)若，当时，请求出的度数；(2)当点与点恰好关于对称，且时，求证：；(3)在点运动的过程中，与是否存在某一不变的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)，见解析【分析】（1）根据题意，，解答即可；（2）先根据点与点恰好关于对称，且，计算，再根据平行线的性质，等腰三角形的性质，确定，根据平行线的判定即可得证；（3）根据平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，变形证明即可．本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．【详解】（1）解：，，．（2）解：点与点恰好关于对称，，∵平分，∴，又，，，，等腰中，，又，，．（3）解：，理由如下：，，又，设，则平分，设，则在中，由为的外角，得，．1．在四边形中，．(1)如图，为的中点，点关于直线的对称点为，射线交于点，射线交于点，交直线于点，求证：；(2)如图，点在延长线上，，为的中点，，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．（）证明即可求证；（）延长到点，使，连接，可证，得到，，再证明，得到，进而即可求证．【详解】（1）证明：∵点关于直线的对称点为，∴，，∵为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：如图，延长到点，使，连接，∴，∵是的中点，∴，在与中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴．2．综合与实践问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系．方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程；（2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空