专项突破：全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型（解析版）

2/2专题全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、全等三角形模型之截长补短模型 1题型二、全等三角形模型之手拉手模型 6B综合攻坚・能力跃升题型一、全等三角形模型之截长补短模型【常见模型及证法】（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图，求证BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE补短：将短线段延长，证与长线段相等例1．现阅读下面的材料，然后解答问题：截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得；（2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证．【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接，∵是角平分线，∴在和中∴∴，又∵是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．（2）如图2，延长到，使，连接，∵是的角平分线，∴在和中∴，∴∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．例2．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N．(1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；（2）证明方法与（1）一致，证明即可；

（3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD，延长到E，使，连接∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴∴，在和中∴，∴，∵，∴．（2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，证明方法同（1）类似，∴；（3），证明：在截取，连接，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∵∴即∴即，在和中，∴，∴，∵，∴．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键．题型二、全等三角形模型之手拉手模型【常见模型及证法】1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。证明：∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。3）双等腰三角形型条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。证明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。例3．数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的(1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程．证明：∵，∴（）①．即．…（）②(2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使）【答案】(1)等式的性质，(2)42°【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明；（2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得．【详解】（1）证明：∵，∴（等式的性质）．即．又∵，∴；（2）解：在上取一点E，使，连接，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，设和交于点O，∵，∴．例4．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：(1)如图1、两个等腰三角形和中，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是，此时和的数量关系是；(2)如图2、两个等腰直角三角形和中，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点，请直接写出线段和的数量关系及的度数．【答案】(1)，(2)且，理由见解析(3)，【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论；（3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解．【详解】（1）解：∵，∴．∴，在和中，，∴，∴，∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是．故答案为：，；（2）且；理由如下：∵，∴．∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∴，综上所述：且．（3）和都为等边三角形，，，，，即，在和中，，；，，∴，∴．一、填空题1．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于．【答案】13【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答．【详解】解：在上取点G，使，∵，，∴，在与中，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在与中，∴∴．∴∴的周长等于，∵，，，∴的周长等于故答案：．2．如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是．【答案】①③④⑤【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型．作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可．【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O．∵，∴，在与中，，（），∴，，故①正确，∵，∴，∴，故④正确，∵，，，∴，∴，∴平分，故③正确；∴，∴，∵∴，故⑤正确；若②平分成立，则，∵，∴，推出，由题意知，不一定等于，∴不一定平分，故②错误，即正确的有①③④⑤，故答案为：①③④⑤．3．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是．（填写正确的序号）【答案】①②③【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确．【详解】解：∵在中，，∴，∵和是和的平分线，，∴，∴，故①正确；在上截取，∵和是和的平分线，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正确；作于于，连接，∵和的平分线，相交于点，，∴，∵，∴，故③正确；∴正确的序号为①②③；故答案为①②③．4．如图，点，，在同一直线上，在这条直线同侧作等边和等边，连接和，交点为，交于点，交于点，连接、，有个结论：①，②，③，④，请将所有正确结论的序号填在横线上．【答案】①②④【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质可以判断各小题是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：等边和等边，，，，，在和中，，，故正确，，即，在和中，，，故正确，题目中没有说明平分，故无法推出，故错误，，，，，故正确，故答案为：．二、解答题5．如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．

(1)如图①，求证：；(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)（1）中结论不成立，；【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则；（2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则．【详解】（1）证明：如图，在上截取，连，

∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵∴，即，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴．（2）（1）中的结论不成立，；理由：延长交于点H，

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键．6．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．(1)发现问题：如图1，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：；(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由．(3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）根据等腰三角形的性质得出，，，再结合图形及全等三角形的判定和性质即可证明；（2）由（1）知且，结合图形及等腰直角三角形的性质求解即可；（3）作，垂直于的延长线于，根据全等三角形的判定得出，，，再由全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：和是顶角相等的等腰三角形，，，即在和中，，，；（2）解：由（1）知且，是等腰直角三角形，且，，，；（3）作，垂直于的延长线于，，，，同理，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，∵，∴，在和中，，，，，，设，，，，，解得，．7．【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到．请你参考小颖的解题思路写出证明过程．【类比分析】（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：．【学以致用】（3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8【分析】（1）利用证明，得出即可；（2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得；（3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如图，过点作，，垂足分别为，，，又平分，，，，在四边形中，，又，，又，，且，，，；（3）取中点，连接，∵，，∴是等边三角形，∴，，点、分别是、边上的中点，，又是等边三角形，，，，，，，，，，∵，，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；（2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即．（3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积．【详解】（1）证明：即在和中，．（2）与的数量关系是，位置关系是．理由如下：，，即，在和中，，，，，是等腰三角形且，，，，．（3）解：由（1）的方法得，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．，，，，四边形的面积9．综合与探究数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．(1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整．解：延长EB到G，使得，连接AG在和中∴，∴∴∴，∴……

(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．

(3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；（3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，

在和中，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，∴，∴；（2）；理由如下：延长到点，使，则，

∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3），理由如下：在上取一点，使，

∵，，∴，又，∴，∴，，∴，∴，又，∴，∴．’10．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____．(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．(3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明）【答案】(1)图见解析，，，(2)成立，证明见解析(3)【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论；（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；（3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论．【详解】（1）解：补全图形，如图：解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为；故答案为：，，；（2）解：成立，证明如下：延长到点，使，则，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3）解：在上取一点，使，∵，，∴，又，∴，∴，，∴，∴，又，∴，∴．故答案为：．11．【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况．（1）一组：和是等腰直角三角形，．连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了．二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论．请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论；【类比分析】（2）三组：如图4，在和中，，连接．则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______；【变式拓展】（3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______；（4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长．【答案】（1）见解析；（2）（或相等），或；（3）把绕点按逆时针方向旋转得（或旋转），连接；（4）2【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及旋转的性质等知识：（1）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）方法同（1）；（3）由（2）知，结合旋转可得出结论；（4）延长到使，连接，证明得，得，进一步证明，再证明即可得出结论【详解】