2018年高考数学二轮复习教案第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平面向量

第三讲平面向量[考情分析]平面向量的命题近几年较稳定，一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低，有时也与三角函数、解析几何综合命题，难度中等.年份卷别考查角度及命题位置2017Ⅰ卷向量垂直的应用·T13Ⅱ卷向量加减法的几何意义·T4Ⅲ卷向量垂直的应用·T132016Ⅰ卷平面向量垂直求参数·T13Ⅱ卷平面向量共线求参数·T13Ⅲ卷向量的夹角公式·T32015Ⅰ卷平面向量的坐标运算·T2Ⅱ卷平面向量数量积的坐标运算·T4[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.答案：A2．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－64．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.答案：7平面向量的概念及线性运算[方法结论]1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理来破解；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[题组突破]1．如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于点E.若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，则λ＝()A.eq\f(3,4)B.eqB.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(1,2)解析：通解：设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，由题意得eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－eq\f(5,3)b.因为eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝λa，设eq\o(DE,\s\up6(→))＝μeq\o(DC,\s\up6(→))＝2μa－eq\f(5,3)μb，又eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，所以λa＝eq\f(2,3)b＋2μa－eq\f(5,3)μb＝2μa＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(5,3)μ))b，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2μ,\f(2,3)－\f(5,3)μ＝0))，所以λ＝eq\f(4,5).优解：由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，过点A作AF∥OB交CD于点F(图略)，则eq\f(AF,BD)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,2)，即AF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,4)OD，故AE＝eq\f(1,4)OE，则OE＝eq\f(4,5)OA，又eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，故λ＝eq\f(4,5).答案：C2．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．2 B.eq\f(8,3)C.eq\f(6,5) D.eq\f(8,5)解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1，eq\f(1,2))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝(λ－eq\f(1,2)μ，eq\f(λ,2)＋μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝1,\f(1,2)λ＋μ＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5),μ＝\f(2,5)))，∴λ＋μ＝eq\f(8,5)，故选D.法二：由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝(λ－eq\f(μ,2))eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\f(λ,2)＋μ)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝1,\f(λ,2)＋μ＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5),μ＝\f(2,5)))，∴λ＋μ＝eq\f(8,5)，故选D.答案：D3．已知平面向量a＝(2,1)，c＝(1，－1)．若向量b满足(a－b)∥c，(a＋c)⊥b，则b＝()A．(2,1) B．(1,2)C．(3,0) D．(0,3)解析：通解：设b＝(x，y)，则a－b＝(2－x,1－y)，a＋c＝(3,0)，由(a－b)∥c可得，－(2－x)－(1－y)＝0，即x＋y－3＝0.由(a＋c)⊥b可得，3x＝0，则x＝0，y＝3，选D.优解：因为a＋c＝(3,0)，且(a＋c)⊥b，逐个验证选项可知，选D.答案：D[误区警示]平面向量的数量积[方法结论]1．平面向量的数量积的运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．2．夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).3．模|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2).4．向量a与b垂直⇔a·b＝0.[题组突破]1．(2017·洛阳模拟)已知向量a＝(1,0)，|b|＝eq\r(2)，a与b的夹角为45°.若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为()A.eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．1 D．－1解析：依题意得|a|＝1，a·b＝1×eq\r(2)×cos45°＝1，|d|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于eq\f(c·d,|d|)＝－1，选D.答案：D2．如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝()A．1 B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)解析：通解：因为△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－3eq\o(OA,\s\up6(→)))·eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,16)(eq\o(OB,\s\up6(→))2－3eq\o(OA,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,16).优解：以O为原点，eq\o(OB,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，eq\o(OA,\s\up6(→))的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,1)，B(2,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))，故eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))＝eq\f(1,16).答案：B3．(2016·珠海摸底)已知|a|＝|b|，且|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|，则向量a与b的夹角为()A．30° B．45°C．60° D．120°解析：通解：设a与b的夹角为θ，由已知可得a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，即4a·b＝a2＋b2，因为|a|＝|b|，所以a·b＝eq\f(1,2)a2，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(1,2)，θ＝60°，选C.优解：由|a|＝|b|，且|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|可构造边长为|a|＝|b|＝1的菱形，如图，则|a＋b|与|a－b|分别表示两条对角线的长，且|a＋b|＝eq\r(3)，|a－b|＝1，故a与b的夹角为60°，选C.答案：C4．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(0，－eq\r(3))，C(－3,0)，动点P满足|eq\o(CP,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值是________．解析：通解：由|eq\o(CP,\s\up6(→))|＝1得点P(x，y)的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝1，又eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋x，y－eq\r(3))，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))|的几何意义是点M(－1，eq\r(3))与圆(x＋3)2＋y2＝1上的点之间的距离．|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝eq\r(－3＋12＋－\r(3)2)＝eq\r(7)，由数形结合(图略)可知|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值即为点M(－1，eq\r(3))到圆(x＋3)2＋y2＝1上的点的最短距离，故|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值为eq\r(7)－1.优解：动点P的轨迹为以C为圆心的单位圆，设P(cosθ－3，sinθ)(θ∈[0,2π))，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋cosθ－32＋sinθ－\r(3)2)＝eq\r(8－4cosθ＋2\r(3)sinθ)＝eq\r(8－2\r(7)sinθ＋φ)，其中tanφ＝eq\f(2\r(3),3)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值为eq\r(8－2\r(7))＝eq\r(7)－1.答案：eq\r(7)－1[误区警示]1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点(1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等．2．向量的数量积运算需要注意的问题平面向量与其他知识的交汇问题平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．交汇点一平面向量与三角、解三角形的交汇[典例1](2016·青岛二中模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(sinC，sinA)，且m∥n.(1)若cosA＝eq\f(1,2)，b＋c＝6，求△ABC的面积；(2)求eq\f(a,b)sinB的取值范围．解析：因为m∥n，所以sin2A＝sinBsinC，结合正弦定理可得a2＝bc.(1)因为cosA＝eq\f(1,2)，所以eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，即eq\f(b＋c2－3bc,2bc)＝eq\f(1,2)，解得bc＝9.从而△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×9×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4)，故△ABC的面积为eq\f(9\r(3),4).(2)因为a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－bc,2bc)≥eq\f(2bc－bc,2bc)＝eq\f(1,2)(当且仅当b＝c时，取等号)．因为0<A<π，所以角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).由正弦定理，知0<eq\f(a,b)sinB＝sinA≤eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(a,b)sinB的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))).[类题通法]破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化，即可破解平面向量与“三角”相交汇题．[演练冲关]1．(2016·开封模拟)设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，cosθ))与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ的值等于()A．－eq\f(\r(2),2) B．0C．－eq\f(1,2) D．－1解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，cosθ))与b＝(－1,2cosθ)垂直，∴a·b＝0，即－eq\f(1,2)＋2cos2θ＝0，则cos2θ＝2cos2θ－1＝2cos2θ－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).故选C.答案：C2．已知向量a＝(1，eq\r(3)sinωx)，b＝(cos2ωx－1，cosωx)(ω>0)，设函数f(x)＝a·b的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的单调区间．解析：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝cos2ωx－1＋eq\r(3)sinωx·cosωx＝eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(\r(3),2)sin2ωx－eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))－eq\f(1,2)，因为函数f(x)的最小正周期为π，所以eq\f(2π,2ω)＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－eq\f(1,2)，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))时，2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3π,2)))，所以当2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))时，函数f(x)单调递增；当2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，即x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，函数f(x)单调递减．交汇点二平面向量与“简单线性规划”相交汇[典例2]已知x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))若向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，则z＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值为()A．0 B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：原不等式组所表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，因为向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，所以z＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x＋2y.当目标函数z＝x＋2y过点(0,1)时，z＝x＋2y取得最大值zmax＝0＋2×1＝2.故选D.答案：D[类题通法]解决平面向量与“简单线性规划”相交汇题的常用方法是“转化法和数形结合法”，即先利用平面向量数量积的坐标表示，把平面向量问题转化为求线性目标函数问题；再借用图形，判断可行域；最后通过平移目标函数图象，求其最值．[演练冲关]3．已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,x－2y＋2≥0，))若向量eq\o(OM,\s\up6(→))＝(x，－1)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(2，y)，则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最小值等于()A．－eq\f(5,2) B．－2C．－eq\f(3,2) D．2解析：约束条件所表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，因为向量eq\o(OM,\s\up6(→))＝(x，－1)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(2，y)，所以z＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝2x－y.当z＝2x－y过点A(－1，eq\f(1,2))时，z＝2x－y取得最小值，且zmin＝2×(－1)－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,2).故选A.答案：A交汇点三平面向量与“充分必要条件”相交汇[典例3](2015·高考北京卷)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cosθ.若a·b＝|a||b|，则cosθ＝1，因为θ∈[0，π]，所以θ＝0，所以a∥b，即“a·b＝|a||b|”⇒“a∥b”；若a∥b，则θ＝0或θ＝π，所以a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”⇐/“a∥b”，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.答案：A[类题通法]平面向量与“充分必要条件”相交汇问题的破解方法：“以小推大法”，即准确理解充分条件、必要