九年级数学-第1课时　用公式法求解一元二次方程

第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程

公式法2.

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式

是Δ＝

b2－4ac

.当

b2－4ac＞0

时，方程有两个不

相等的实数根；当

b2－4ac＝0

时，方程有两个相等的

实数根；当

b2－4ac＜0

时，方程没有实数根.b2－4acb2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0

利用公式法解一元二次方程【例1】解方程：（1）x2＋2x－1＝0；

（2）3x2－3x－1＝（x＋1）2.

利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一

般形式，再确定三个项的系数，代入求根公式，即可求

出原方程的根.

一元二次方程根的判别式【例2】关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m

为正整数，求m的值及此时方程的根.解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，∴b2－4ac＝4－4（2m－1）≥0，解得m≤1.∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x2－2x＋1＝0，即（x－1）2＝0，解得x1＝x2＝1.

对一元二次方程根的判别式要灵活运用，根据方程

的系数可判断根的情况，反过来，根据方程的根的情况

可求出待定系数的取值范围.

列方程解应用题【例3】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中

有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十

步，问：长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为

864平方步，只知道它的长与宽共60步，问：它的长比宽

多多少步？解：设矩形田地的长为x（x＞30）步，则宽为（60－

x）步.根据题意，得x（60－x）＝864.解得x1＝36，x2＝24（舍去）.∴x－（60－x）＝12（步），即长比宽多12步.

解答此题时，先根据矩形的面积公式列出方程，确

定矩形的长后，再计算出宽，最后求出长和宽的差值即

可.

1.

（郸城模拟）一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况

是（A）A.

有两个不相等的实数根B.

没有实数根C.

有两个相等的实数根D.

无法确定A2.

若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方

程x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为

8或9

.3.

若两个相邻偶数的积是48，求这两个偶数的和.－14或14.8或9

4.

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b.以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E.

下列线段的长度是方程x2＋2ax－b2＝0的一个根的为（

B）A.

线段BC的长B.

线段AD的长C.

线段EC的长D.

线段AC的长第4题图B5.

（柘城模拟）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝1

有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（C）A.

k＞1B.

k＜1C.

k＜2D.

k＞2C6.

定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定

符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如max{2，4}＝

4.按照这个规定，若max{x，－x}＝x2－2，则x的值

为

2或－2

.2或－27.

如图，把小圆形场地的半径增加6

m得到大圆形场地，

场地面积扩大了1倍，求小圆形场地的半径.第7题图

8.

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列说

法：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2＋

bx＋c＝0必有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b

＋1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2－4ac

＝（2ax0＋b）2.其中正确的有

①②④

.（填序号）①②④9.

已知△ABC的两边AB，AC长度的值是关于x的一元二

次方程x2－2（n－2）x＋n2－4n＝0的两个根，第三边

BC的长度是10.（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实

数根.证明：由方程得Δ＝[－2（n－2）]2－4×1×（n2－4n）

＝4n2－16n＋16－4n2＋16n＝16＞0，∴无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根.（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？解：∵无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数

根，且△ABC为等腰三角形，∴BC只能是△ABC的腰，∴x＝10为关于x的一元二次方程x2－2（n－2）x＋n2－

4n＝0的一个根.将x＝10代入原方程，得102－2×10（n－2）＋n2－4n

＝0，整理得n2－24n＋140＝0，解得n1＝10，n2＝14.∴当n为10或14时，△ABC为等腰三角形.

1.

（眉山中考）关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0