光波导理论基础（第3版）课件 第0-6章 概述 与书同步-光纤模式理论

光波导理论基础1.电磁场理论2.几何光学3.光波导几何分析4.薄膜波导模式理论5.三维光波导6.光纤模式理论7.电磁场分析的有限元法8.模式耦合理论9.无源光器件10.有源光器件11.光子晶体波导12.光波导的制备光波导理论基础主要内容绪论随着光通信、光电子、光传感等学科领域的快速发展，光子集成技术在智能科技的发展中扮演着越来越重要的角色。光波导技术是光子集成技术、光芯片等领域的重要理论基础。过去我们在光纤通信领域的飞速发展，体现了我国科技自强的重要性。作为光器件设计的基础，光波导理论涵盖的内容包括光波导的模式理论、光线理论、传输特性、双折射现象、模式耦合等。本书以光波导的结构为基础，从电磁场理论、几何光学理论开始逐渐深入到讨论不同结构光波导的模式理论并进行特性分析。绪论诺贝尔奖评委会这样描述说：“光流动在细小如线的玻璃丝中，它携带着各种信息数据传递向每一个方向，文本、音乐、图片和视频因此能在瞬间传遍全球。”光纤与电缆通信的发展历程1970s通信技术进入光通信时代!绪论在微纳米尺度内对光传输、控制的原理是什么？如何实现？（结构、材料、制备等）对光的传输控制有哪些应用？光波导理论与技术光纤平面光波导耦合器传感器波分复用器波导放大器半导体激光器光集成技术…光学和电磁场理论折射率突变型（阶跃式）下包层芯层上包层Step-indexwaveguide通常折射率满足一维限制（x方向）基于光的全反射理论绪论光波导基本结构薄膜波导基本结构导波光线折射率渐变型Graded-indexwaveguide绪论光波导基本结构下包层芯层上包层一维限制（x方向）薄膜波导基本结构导波光线3-Dwaveguide（Opticalchannelwaveguide）两维限制（x、y方向）通道光波导、条波导绪论光波导基本结构二维光波导三维光波导是构成集成光波导器件的最基本结构单元一维限制（x方向）两维限制（x、y方向）平面光波导绪论光波导基本结构光纤单根光纤光缆n(r)n1n2raO阶跃光纤折射率分布Step-indexfibern(r)raOn1n2梯度光纤折射率分布Graded-indexfibern1n2柱坐标rz

O光纤是实现光通信的必要条件。绪论光波导基本结构光波导理论基础内容第1章电磁场理论第2章几何光学第3章光波导几何分析第4章薄膜波导模式理论第5章三维光波导第6章光纤模式理论第7章电磁场分析的有限元法第8章模式耦合理论第9章无源光器件第10章有源光器件第11章光子晶体波导第12章光波导的制备1.1麦克斯韦方程1.2电磁场边界条件1.3单色平面电磁波1.4坡印亭矢量和传输功率1.5亥姆霍兹方程1.6平面电磁波的反射和折射1.7光的全反射与倏逝波1.8全反射相移与古斯-汉森1.1麦克斯韦方程物质方程各向同性的线性介质1.1麦克斯韦方程各向同性光学介质各向异性介质1.2电磁场边界条件Maxwell方程积分形式两种介质分界面附近场量的关系

S为自由电荷面密度JS为面电流密度1.2电磁场边界条件对于非导电的光学介质边界条件简化介质分界面上E、H的切向分量连续D、B的法向分量连续1.3单色平面电磁波单色电磁波的基本形式场对时间的依赖关系按规律变化，

为电磁波圆频率。按照发射形式的不同和传播介质及边界条件的限制，电磁波的场强、可以有不同的分布形式。单色电磁波的基本方程对于单色电磁波各向同性光学介质中，Maxwell方程简化如下1.3单色平面电磁波单色平面电磁波的基本形式和特征平面电磁波是电磁波的最单纯、最基本的理想形式，等相面为平面，有确定的传播方向。(：波矢)

横波

三矢量彼此正交

场幅关系

波数Z：介质波阻抗

：电磁波在真空中的波长Z0：真空波阻抗1.4坡印亭矢量和传输功率电磁波的瞬态能量密度Poynting矢量电磁波传输的能流密度即单位时间内通过单位面积的电磁波能量

平均能流密度场量含时间因子项eit，并常用复数表示,所以S是随时间迅速波动的量，实际测量的是对时间的平均值。上式取平均并对场量进行实数化处理：1.4坡印亭矢量和传输功率

光强当光波沿z轴传输时，Poynting矢量的z分量大小即为光强

传输功率通过S面的传输功率

通过xy平面的传输功率

对于平面电磁波，电、磁场正交，设场幅为E0、H0，则

1.5亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程的推导对基本方程取旋度利用矢量微分公式得到得到关于电场、磁场的独立的微分方程。1.5亥姆霍兹方程

非均匀介质中Helmholtz方程均匀介质中Helmholtz方程

缓变介质中Helmholtz方程缓变介质不均匀介质满足常系数微分方程1.6平面电磁波的反射和折射分界面：x

=

0；

入射面：xOz

k1y=0边界条件:123√反射定律√折射定律√菲涅尔（Fresnel）公式√布儒斯特（Brewster）定律1.6平面电磁波的反射和折射

菲涅尔公式TE偏振（电场

入射面）

（Ey连续）

（Hz连续）反射系数及反射率

透射系数及透射率

1.6平面电磁波的反射和折射

菲涅尔公式TM偏振（磁场

入射面）

（Hy连续）（Ez连续）反射系数及反射率

透射系数及透射率

1.7光的全反射与倏逝波

全反射光由介质1向介质2入射，且全反射临界角

入射角满足

>

c时，折射角失去实数意义，折射光波表现出不同于一般折射光波的物理特性。

倏逝波全反射发生时，边值关系仍然成立：折射波

折射波场表达式

穿透深度

振幅减至表面处的1/e的距离zxn1>n2n2d

Evanescent

wave沿z方向传播沿x方向衰减1.8全反射相移与古斯-汉森位移

全反射相移分析全反射时反射波与入射波相位关系TE偏振状态的全反射相移

TE其中

zxn1>n2n2d

Evanescent

waveTE偏振反射波与入射波振幅相等，相位差为

TE=2

TE1.8全反射相移与古斯-汉森位移

全反射相移

TM偏振状态的全反射相移

TMTM偏振下电磁波的场分量只有Hy、Ex、Ez.其中

反射波与入射波振幅相等，相位差为

TM=2

TMzxn1>n2n2d

Evanescent

waveTM偏振☉☉1.8全反射相移与古斯-汉森位移

全反射相移与入射角的关系曲线

全反射相移

与入射角

有关，下图显示出了在几种折射率比的情况下，两种偏振状态的

对

的依赖关系：

入射角从全反射临界角增至90o，全反射相移从0增至

。全反射相移与入射角的关系1.8全反射相移与古斯-汉森位移

古斯-汉森(Goos-Hänchen)位移1947年古斯和汉森(Goos-Hanchen)通过实验测出全反射光线沿表面发生了移位，使光线产生一侧向位移D。

利用电磁场理论可以推导出其中

为全反射相移，设

全反射光线图及Goos-Hänchen位移一D1.8全反射相移与古斯-汉森位移Goos-Hänchen位移与入射角的关系曲线古斯-汉森位移可以理解为入射光线穿过界面一定深度，在某虚平面上全反射，导致实际界面上的反射点与入射点不同。全反射相移、古斯-汉森位移以及倏逝波紧密相关，在波导、光纤、金属表面波、近场光学中均有广泛的应用。Goos-Hanchen位移与入射角的关系

DTE、DTM与入射角及偏振状态有关，在波长量级。入射角接近全反射临界角时，位移最大，随入射角增大而快速减小。

习题1-1基本概念：波矢，波数，波阻抗，缓变介质，坡印亭矢量，电磁波能量密度，能流密度，光强，倏逝波，穿透深度，全反射相移，古斯-汉森位移。1-2设单色电磁波的场为

，

，写出关于

和

的Maxwell方程的矢量形式和分量形式。1-3推导菲涅耳公式。1-4分别推导TE偏振波和TM偏振波的全反射相移。1-5讨论全反射相移与古斯-汉森位移之间的关系。梯度、散度、旋度Nabla算子，数学符号为▽。一、梯度标量二、散度矢量三、旋度矢量内容第1章电磁场理论第2章几何光学第3章光波导几何分析第4章薄膜波导模式理论第5章三维光波导第6章光纤模式理论第7章电磁场分析的有限元法第8章模式耦合理论第9章无源光器件第10章有源光器件第11章光子晶体波导第12章光波导的制备光波导中光传输特性的分析方法:几何光学

(geometricoptics)

(射线光学)波动光学

(waveoptics)用光线、等相面等描述直观形象、概念清晰、方法简单电磁场理论的短波长近似程函方程、光线方程、费马原理等用电磁场量描述光的传输分析严密、计算精确、适用面广电磁场理论Maxwell方程2.1程函方程2.2光传播路径分析2.3费马原理2.1程函方程

程函数与等相面由单色光的基本方程均匀介质中方程存在平面波形式的特解一般情况下的解可采用的形式其中振幅矢量待定，而亦为待定函数，代表光程，称为程函数，与相位有关。

(r)=C:对应的曲面，称为等程函面或等相面。2.1程函方程

短波长近似将一般形式的解代回基本方程

从近似结果可知，矢量、、三者彼此正交

短波长近似下第一、二项幅度之比的数量级估计可以忽略方程第一项2.1程函方程

程函方程

三者大小关系二式相乘化简得此程函方程给出了光在介质中传播时需满足的条件，方程摆脱了繁杂的场变量，仅含单一程函数，它是几何光学的基本方程。

2.2光传播路径分析几何光学始终以光线为研究对象，也称光线光学或射线光学。

光线：与等相面处处正交的曲线

光线方程

程函方程矢量式

图2.1光线微分几何：等相面法线方向的单位矢量光线方程是研究介质中光的几何传播特性的重要方程。它将光线轨迹

和空间折射率分布

联系起来。由光线方程可直接求出光线轨迹。2.2光传播路径分析

光线方程应用举例均匀介质中的光线

折射率n为常数直线方程设光线起点位置O2.2光传播路径分析

光线方程应用举例一维非均匀介质中的光线

设折射率分布双曲余弦曲线光线起点(0,0,0)，且沿z轴正向图2.2非均匀介质中光线的偏转光线方程分量形式光线在y=0平面内传播2.3费马原理通过介质中任意两点的光传播路径必定是光程取极值的路径。光程光程的变分

对介质中A、B两点间任意路径图2.3变分示意图第一项固定端点的曲线的函数变分分解运算：第二项2.3费马原理光程的变分

图2.3变分示意图第三项分部积分费马原理

光线方程几何光学基本理论：费马原理、程函方程和光线方程。

本章基本概念短波长近似光线方程程函数费马原理程函方程内容第1章电磁场理论第2章几何光学第3章光波导几何分析第4章薄膜波导模式理论第5章三维光波导第6章光纤模式理论第7章电磁场分析的有限元法第8章模式耦合理论第9章无源光器件第10章有源光器件第11章光子晶体波导第12章光波导的制备3.1均匀介质薄膜波导3.2折射率渐变薄膜波导中的光线3.3阶跃光纤中的光线3.4梯度光纤中的光线3.5传播时延与色散特性3.1均匀介质薄膜波导

波导结构

薄膜波导也称平板介质波导或二维波导图3.1薄膜波导结构及其中的传输光线一般设定n1>n2

n3在y、z方向，波导的折射率均匀，y向宽度可视作无限大，光只在x方向受约束，沿z方向传播。3.1均匀介质薄膜波导

波导光线guidedmode

导波光线（束缚光线）

光在芯层的上下界面之间不断地发生全反射，光波被束缚在芯层内，以锯齿形光路传输。在无损耗的情况下，光波能量将无衰减地以封闭于芯层中的形式传输。导波光线在集成光路中的作用最为重要。n1>n2

n3均匀介质薄膜波导中的导波光线3.1均匀介质薄膜波导辐射光线（折射光线）radiationmoden1>n2

n3光至少在芯层与覆盖层或芯层与衬底间的一个界面上不发生全反射，有部分光波能量泄漏进覆盖层或衬底中。3.1均匀介质薄膜波导

导波条件和传播常数

n1>n2

n3波矢的z分量传播常数

即Kz:光传播过程中保持不变，重要的不变量。波矢的x分量随光的传输而变化，双值zx导波条件3.1均匀介质薄膜波导

有效折射率n1>n2

n3分析波导中光传输问题，使用传播常数来规范模式，比使用角

规范更为方便，因为它会涉及到光波的相位、场分布问题。zx

也可看作光在n1cos

介质中自由传输时的波数。3.1均匀介质薄膜波导n1>n2

n3zx满足导模条件的光波都能在波导中稳定传输吗？NO！若要形成稳定的传输，还必须满足相干加强条件。。3.2折射率渐变波导中的光线阶跃式波导：折射率分层均匀，各自为常数。应用外延、沉积、旋涂等技术制作的波导大都属于这种情况。波导介质层间有明显的分界面，制作中不可能形成理想的光学界面，因此界面都有一定的不平整度。光在波导中传输时在界面上会引起一定的散射损耗。衬底层芯层覆盖层导波光3.2折射率渐变波导中的光线折射率渐变型波导：波导折射率不均匀，通常连续变化。扩散和离子交换波导折射率分布在如扩散、离子交换、离子注入等制备工艺而形成的波导中，折射率连续变化。波导内部无明显的分界面，从而有效地降低了散射损耗，并且和阶跃波导比较，渐变波导的模式色散小。这种波导具有自聚焦作用，光束的大部分能量集中在介电常数最大的位置附近，在一定程度上减小了界面的不平整对光束传输的影响。衬底层芯层覆盖层导波光3.2折射率渐变波导中的光线

分析对称抛物型折射率分布的波导相对折射率差(relativerefractivecontrast)

图3.2渐变折射率薄膜波导中的光线芯层厚度：2a介质波导和光纤中的重要参数。3.2折射率渐变波导中的光线

利用光线方程z分量式:x分量式:光波传输过程中，传播常数

是一个不变量。忽略二阶小量

2项得3.2折射率渐变波导中的光线

光线轨迹

讨论1.导波光线光线不需界面反射而自行往返，蛇行前进。只要振幅适当，不超出芯区，光线就是导波光线。不但可以利用折射率突变介质构成波导，使光线在界面折返，形成导波光线，也可以利用渐变折射率介质构成传导光线的波导。对于折射率呈抛物型分布的对称波导，传输光线曲线近似为正弦曲线。3.2折射率渐变波导中的光线

讨论2.振幅图3.3抛物型折射率波导中的多径光线折返点cos

=13.2折射率渐变波导中的光线

讨论3.导波条件或者图3.3抛物型折射率波导中的多径光线（忽略二阶小量

2项）3.2折射率渐变波导中的光线

讨论4.光线空间周期光线空间周期

是指正弦型光线在一个振荡周期内的传播距离。波导结构确定以后，

与初始入射角

0有关，

0越大，

越小。3.2折射率渐变波导中的光线

讨论5.自聚焦

=0.01

0

（0o~8o）多径光线空间周期近似相同。输入点的发散光线会在

n

/2处重新汇聚；输入点出发的光线会在在

/4处形成平行光；平行入射的光线，会在

/4处聚焦，焦距f=

/4.

现象如同透镜效应，称为自聚焦现象。梯度光纤中同样存在自聚焦。

<<13.3阶跃光纤中的光线光纤实际上就是圆柱形状的介质波导，结构由纤芯和包层组成。光纤材料有石英、多组分玻璃、塑料等。石英光纤的纤芯和包层材料都是石英玻璃，只是掺杂成分和浓度略有不同。

光纤可分为多模光纤和单模光纤。目前石英光纤的技术指标已经标准化，如表3.1所示。阶跃光纤(SIF:stepindexfiber)芯层折射率n1和包层折射率n2都是均匀不变的。

种

类芯径2a/包层2b(

m)相对折射率差

多模光纤50/12562.5/125100/140200/2301%～2%单模光纤4～10/1250.3%～1%表3.1石英光纤结构参数3.3阶跃光纤中的光线3.3.1子午光线

导波条件

数值孔径NA(NumericalAperture)光线从端面进入光纤，入射角为

0，设n0=1，则光线始终与光纤轴相交，所有光线与轴共面。图3.4阶跃光纤子午线NA越大，光纤接收光的能力越强，光纤抗弯曲性能越好。但

越大，模式色散会越严重。实际的多模光纤的NA约为0.2，单模光纤的NA约为0.1。3.3阶跃光纤中的光线3.3.2偏斜光线

光线传播过程中不变的几何参数导波条件光线始终不与光纤轴相交，存在一个内焦散面与光线相切。图3.5偏斜光线投影图图3.6偏斜光线立体图反射角

；光线线段长度L；光线与轴线的夹角

；

光线的旋进距离z；光线的旋转角

；与轴线的距离l.可以证明图3.7柱坐标下微元矢量分解图r3.4梯度光纤中的光线

3.4.1柱坐标的光线方程梯度光纤(GIF:gradedindexfiber)，也称渐变光纤。纤芯折射率沿径向单调下降，轴对称。

光纤轴单位矢量d

3.4梯度光纤中的光线3.4.1柱坐标的光线方程图3.7柱坐标下微元矢量分解图光纤轴分量式:分量式:

分量式:d

3.4梯度光纤中的光线3.4.2光线不变量

传播常数

旋转常数图3.7柱坐标下微元矢量分解图光纤轴n(r)仅是r的函数，说明光线沿z轴传播的速度恒定不变，与光线的轴向夹角q

无关，也意味着光子动量()的z分量守恒。不变量不变量子午光线

=0偏斜光线

0这意味着光子角动量()的z分量守恒。光线角向转动速度与到纤轴的距离r有关，r大处光线转动慢。3.4梯度光纤中的光线3.4.3光线判据函数折返点g=0折返点位置g>0区域

有光线传播g<0区域

不存在光线梯度光纤中的光线受到两个不变量的控制，同时又受到径向折射率梯度的拉动作用，因而这些光线必定是空间曲线。光线判据函数利用不变量,光线存在的必要条件：g≥03.4梯度光纤中的光线3.4.4光线分析1.阶跃光纤子午线光线在确定平面内传输，旋转常数

=0光线判据函数：芯区有光线，包层无光线→导波光线图3.8阶跃光纤子午光线的判断芯区和包层同时存在光线→辐射光线3.4梯度光纤中的光线3.4.4光线分析2.阶跃光纤偏斜光线光线有旋转，旋转常数

≠0光线判据函数：表3.2g(r)关键点取值r

=

rc圆柱面为内焦散圆柱面。r0(0→)aa

(←∞)∞g(r)－∞图3.9阶跃光纤偏斜光线的三种可能情况rrad

辐射焦散面，rrad

>a3.4梯度光纤中的光线3.4.4光线分析3.梯度光纤子午光线光线在确定平面内传输，旋转常数

=0光线判据函数：折返点rp

，g(rp)=0，光被限制在半径rp的焦散面内

芯区和包层同时存在光线→辐射光线

图3.0子午线判据图

图3.11梯度光纤子午线侧视图3.4梯度光纤中的光线3.4.4光线分析4.梯度光纤偏斜光线旋转常数

≠0光线判据函数：图3.13梯度光纤偏斜光线的三种可能情况

g(r)有两个零点:rc内切焦散面，rp外切焦散面图3.12梯度光纤偏斜光线投影图螺旋型空间曲线

束缚/导波光线3.4梯度光纤中的光线3.4.4光线分析4.梯度光纤偏斜光线旋转常数

≠0光线判据函数：辐射焦散面rrad将包层分割为暗区(a,rrad)（隧道）和光线传播区(rrad,∞)。纤芯和包层路径被rp

<

r

<

rrad区域分隔开，在此区域内光波传输不能发生。但隧道光线每次到达外焦散面时都要损失功率，损失的功率在辐射焦散面处重新出现，并沿着包层中的路径辐射掉。隧道光线折射/辐射光线3.5传播时延与色散特性

传播时延

光在波导中传输单位距离所用的时间。光通信中要求同时输入的光信号尽可能地同时到达终端，否则将引起信号失真、畸变不同波长的光→速度不同→时延不同→时延差；相同波长的光：路径不同（模式不同）→时延不同。色散现象z3.5传播时延与色散

色散色散使输入的光脉冲在传播过程中发生展宽，传输距离越远，时间差越大，展宽越严重，致使前后脉冲相互重叠，引起数字信号的码间串扰，降低了输出端的分辨能力。在大容量和长距离的光纤通信中，色散的影响显得更为突出。色散是限制光纤容量和传输距离的主要因素。3.5传播时延与色散

色散的分类及表示材料色散：材料的折射率是波长的非线性函数，从而使光的传播速度随波长而变，由此引起的色散叫材料色散。波导色散：同一模式的相位传播常数

随波长而变。模式色散：多模波导中，同一波长的不同模式（路径不同）传播速度不同，称模式色散(多径色散、多模色散)。偏振色散：单模光纤中实际存在偏振方向相互正交的两个基模，当光纤存在双折射时，这两个模式的传输速度不同。它属于模式色散的范畴，是单模光纤所特有的。多模光纤模式色散、波导色散和材料色散，模式色散为主。单模光纤材料色散、波导色散和偏振色散，材料色散为主。色散的表式

常用最大时延差，即光纤或波导中速度最快和最慢的光波成分的时延差来表示色散程度。更精确的描述色散对传输信号的影响是用脉冲展宽和光纤3dB带宽来表示。3.5传播时延与色散3.5.1均匀介质波导的时延差z光沿z轴方向传播速度传播时延最大时延差最大时延差与相对折射率差

成正比，为减小多径（多模）色散，

不宜过大，通常

＜＜1。3.5传播时延与色散3.5.2折射率渐变介质波导的时延差折射率呈抛物型分布

假设色散以模式色散为主，光走曲线路径沿z轴传播。传播时延zO最大时延差最大时延时延差比均匀波导小两个量级。3.5传播时延与色散3.5.2折射率渐变介质波导的时延差折射率呈双曲正割函数分布这种结构的波导具有良好的自聚焦性，不存在多模色散问题。任一光线时延不同入射角度的光线时延相同z光线方程3.5传播时延与色散3.5.3光纤的色散

时延的多种表示形式群速度光波具有一定的线宽，已调制光信号在光纤中传输的群速度定义为传播时延为：真空中波长3.5传播时延与色散3.5.3光纤的色散

光源谱宽对色散的影响在光纤通信系统中，必须有光源，而光源都具有一定的谱宽，谱宽是引起材料色散和波导色散的原因。设光源中心频率f0，谱宽

f，当

f不是很大时，频率变化引起的时延差为

由前面的时延结果，时延差也有多种表示形式用窄线宽光源有利于减小色散。3.5传播时延与色散3.5.3光纤的色散

色散系数

光源单位线宽在光纤中引起的时延差,即

材料色散时延差单位：ps/km色散系数单位：ps/(km

nm)无界材料中的光传播常数带宽为的窄脉冲进入光纤，材料色散引起的时延差材料色散系数Dm：Dm

=0点的波长称为材料的零色散波长。3.5传播时延与色散3.5.3光纤的色散光纤中通常几种色散因素共存，材料色散、波导色散、模式色散等交织在一起，基于单模光纤还是多模光纤，主要色散因素也不同。为了适应长距离、大容量光纤通信的需要，须使光纤的色散降低，频带展宽。为此可采用特种光纤设计，例如用三角形折射率分布光纤可以将光纤的零色散点移至光通信波长处，既保证了低损耗，又实现了低色散，这种光纤叫零色散频移光纤；而用W形折射率分布光纤(双包层光纤)，可以改变波导色散的变化规律，在两个波长上各有一个零色散点，两点之间色散特性平坦，具有较小的色散系数，这种光纤叫宽带低色散光纤。W型三角形

本章基本概念传播常数光线判据函数有效折射率束缚光线相对折射率差隧道光线导波光线波导的自聚焦现象导波条件传播时延与时延差阶跃光纤材料色散梯度光纤模式色散子午光线波导色散偏斜光线偏振色散数值孔径内容第1章电磁场理论第2章几何光学第3章光波导几何分析第4章薄膜波导模式理论第5章三维光波导第6章光纤模式理论第7章电磁场分析的有限元法第8章模式耦合理论第9章无源光器件第10章有源光器件第11章光子晶体波导第12章光波导的制备4.1均匀薄膜波导特征方程4.2薄膜波导电磁场方程4.3TE模分析4.4TM模分析4.5导模特性4.6导模光强和功率4.7折射率渐变薄膜波导-WKB法本章将介绍利用经典电磁理论分析薄膜波导的方法。与几何光学相比，电磁场理论不仅能够提供更加详尽的光波信息，而且还引入了传播模式概念。理论证明，并不是导波条件所限定的任何

值都可以成为实际的传播常数，只有那些由特征方程所决定的特定值

才能对应一定的光波传播方式，这种由特定参数所确定的特殊传播方式，称为光波导的传播模式(guidedmode)。4.1均匀薄膜波导特征方程

光波的相干加强条件图4.1波导中的光线与波面均匀介质波导的锯齿形光线，在波动光学看来只不过是大量的平面波的叠加。能够在薄膜波导中传输的光波，一定满足相干加强(谐振)条件，也就是说，这些平面波在它们共同的波面上，如MM′面，必须保持相位一致，或者只能有2

的整数倍的相位差，这样的光波才能形成稳定的传输，形成导模。4.1均匀薄膜波导特征方程

光波的相干加强条件图4.1波导中的光线与波面d:芯层厚度AB、CD两条光线在它们共同波面MM＇上的光程差为考虑光在芯层两界面发生全反射引起的相移为和该光程差产生的相位差为考虑到光传播过程中相位落后的特点，总相位差为4.1均匀薄膜波导特征方程

光波的相干加强条件

波导特征方程图4.1波导中的光线与波面总相位差必须满足TE模的特征方程或TM模的特征方程4.1均匀薄膜波导特征方程

波导特征方程特征方程其它表示形式TE模:

s=0；TM模:

s=1.模参数：导模是离散模由于m为非负整数，只能取离散值，所以导模的传播常数

只能是满足导波条件的一些离散值。4.1均匀薄膜波导特征方程

波导特征方程特例：对称平板波导TE模:

s=0；TM模:

s=1.平面薄膜波导中的模式根据其偏振状态划分为TE模和TM模。TE(横电)模，电场没有z分量，只有垂直入射面的分量；TM(横磁)模，磁场没有z分量，只有垂直入射面的分量。TEm:

TE0(基模)、TE1(一阶模)、TE2(二阶模)…TMm:

TM0(基模)、TM1(一阶模)、TM2(二阶模)…4.1均匀薄膜波导特征方程

-

曲线辐射模:

在（0，n2K0

）范围内可以连续取值，辐射模为连续模。图4.2波导的

-

曲线示意图对某特定模式，其

随工作波长(或角频率

或波数)而变化，从而引起所谓的波导色散。即使同一波长，波导模式不同，传播常数也不同，从而引起模式色散。4.2薄膜波导电磁场方程

直角坐标系下的场方程

分量式方程

对于平面薄膜波导，其介电常数

只是坐标x

的函数，y、z向均匀。波导中两种方向的平面波叠加，场应具有的形式为4.2薄膜波导电磁场方程

直角坐标系下的场方程分量方程化简为两组独立的方程组TE模TM模TransverseElectric

(TE)ModeTransverseMagnetic

(TM)Mode4.2薄膜波导电磁场方程TE模场方程及各分量TM模场方程及各分量对于TE(或TM)模式，只要求出Ey(或Hy)的表达式，则场的其它分量表达式亦可求出。因各层折射率不同，需要分区求解。4.2薄膜波导电磁场方程

各区场方程图4.3

均匀薄膜波导为正时方程的解是余弦(正弦)函数；为负时，方程的解则为指数函数。考虑到物理上的合理性，对于导模，芯层的电磁场必然是振荡型的，即在x方向上呈驻波分布，而在衬底和覆盖层，电磁场必然是随离开界面的距离的增加而衰减的倏逝波。4.2薄膜波导电磁场方程

各区场方程图4.3

均匀薄膜波导覆盖层芯层衬底、p、q分别是芯层场在x方向的相位常数和包层场的衰减常数。TM模的关于磁场分量Hy在各区的方程形式与Ey的相同。

、

、p、q为场的特征常数，只有一个独立(待定)4.3TE模分析

各区场方程的形式解波导及坐标系如图所示，y波导横截面图TE模场三个分量:

Ey(切，连续)、Hx(法)、Hz(切，连续)连续则相当于连续。4.3TE模分析

边值关系界面x=a界面x=－aEy在界面上连续Hz在界面上连续上下二式平方运算得系数关系二式相除取反函数上行左右二式相加消

左右相减得

m为偶数l取0；m奇数l取1

、连续。y波导横截面图4.3TE模分析TE模场分布场在上、下包层中的穿透深度y波导横截面图幅度参数A由导模功率确定；2.m可以表征场量在芯层中取零值的个数；3.场会偏向折射率大的一侧。

4.4TM模分析

各区场方程的形式解波导及坐标系如图所示，y波导横截面图TM模场三个分量:

Hy(切，连续)、Ex(法)、Ez(切，连续)连续则相当于连续。4.4TM模分析

边值关系界面x=a界面x=－aHy在界面上连续Ez在界面上连续上下二式平方运算得系数关系二式相除取反函数上行左右二式相加消

左右相减得

、连续。y波导横截面图4.4TM模分析TM模场分布y波导横截面图4.5导模特性4.5.1导模截止导模特点：1.m

只能取非负整数，特征方程的解必然是分立的，导模的特征值

或

只能取分立值。2.导模场在衬底和覆盖层呈指数衰减，这等效于壁垒作用，使模场被限制在芯层内。

截止限当模式的

等于n2K0时，导模成为辐射模，称为导模截止。导模：

满足

→n1K0时，模式远离截止。4.5导模特性4.5.1导模截止

衰减参数模截止时p=

0模截止时电磁场方程既存在导波形式解，也存在辐射形式解，当模参数发生变化时，解的性质也会改变。当p

、q减小时，包层区模场逐渐增加，穿透深度逐渐增大。若p

、q成为虚数，、则成为振荡形式，倏逝波变成辐射波。4.5导模特性4.5.2导模定则实际工作中需要在已知波导参数如折射率、波导厚度和入射光波长的基础上，在未经数值计算的情况下，对波导模式、导模数量以及导模与波长关系等特性，作出简单而可信的判断和预测。

特征方程在导模范围内有解的条件是什么？导模4.5导模特性4.5.2导模定则图4.5特征方程求解示意图直线

d

与曲线fm(

)在(0，

c

)范围内有交点，则特征方程有导模解。m及m以下各阶导模存在。不存在m及m以上各阶导模。4.5导模特性4.5.3导模数量导模最高限int表示将数字向下舍入到最接近的整数波导中所能传输的导模总数为芯层厚度越大，芯层与包层的折射率差越大，工作波长越小，方程的解越多，波导中所能传输的导模数量越多。4.5导模特性4.5.4芯层截止厚度截止厚度

dc:对给定的光波导材料和入射光波长，可以传输m阶导模的最小厚度(m及m以下各阶导模存在)dc

与模阶数m、折射率差、工作波长

有关。高阶先截止0阶模的截止厚度TE0和TM0模总能在对称波导中传输，永不截止!对于对称三层平板波导，其导模截止厚度为4.5导模特性4.5.5截止波长对给定的光波导材料和几何结构，可以形成导模的光波的最大波长：(m及m以下各阶导模存在)

c与模序数有关。低阶模截止波长大，不易截止。对称波导的基模TE0和TM0截止波长为永不截止!导波波长存在截止上限。4.5导模特性4.5.6单模传输

光波导内只有一个导模传输，其余模都截止。唯一可能单独传输的导模只能是基模：

单模条件TE0、TM0单模波导波长条件(折射率和膜厚给定)单模波导厚度条件(折射率和工作波长给定)对称波导单模条件4.5导模特性

例1

平板波导的芯层和衬底的折射率分别为n1=1.5、n2=1.3,上包层为空气n3=1,芯层厚度为b=0.2μm，对TE、TM模求(1)

m=0，模的截止波长；(2)波导单模传输时波长满足的条件。TE模单模传输的波长条件为TE模：4.5导模特性

例1

平板波导的芯层和衬底的折射率分别为n1=1.5、n2=1.3,上包层为空气n3=1,芯层厚度为b=0.2μm，对TE、TM模求(1)

m=0，模的截止波长；(2)波导单模传输时波长满足的条件。TM模：TM模单模传输的波长条件为4.5导模特性

例2

平板波导的芯层和衬底的折射率分别为n1=1.5、n2=1.3,上包层为空气n3=1,入射光波长为0.6328μm.求TE、TM模的单模传输厚度条件。TE模：TE模单模传输的厚度条件为4.5导模特性

例2

平板波导的芯层和衬底的折射率分别为n1=1.5、n2=1.3,上包层为空气n3=1,入射光波长为0.6328μm.求TE、TM模的单模传输厚度条件。TM模：TM模的单模传输的厚度条件为4.5导模特性

例3平面薄膜波导，厚度d，波长

，设n1=1.7，n2=n3=1.5.(1)写出TE模和TM的特征方程；(2)在d=

，d=

1.5

，d=

3

三种情况下，分别求出可传输的导模序列；(3)若只允许1.5

m光波的基模(TE0和TM0)传输，薄膜厚度d需满足什么条件？(1)波导为对称波导TM模特征方程：TE模特征方程：4.5导模特性(2)导模条件：d=λ，m＜1.6：TE0、TE1，TM0、TM1d=1.5λ，m＜2.4：TE0、TE1、TE2，TM0、TM1、TM2d=3λ，m＜4.8：TE0、TE1、TE2、TE3、TE4，

TM0、TM1、TM2、TM3、TM4(3)单模条件：若薄膜波导n1=3.5，n2=3.38，n3=1.0。当其只传输880nm光波的TE0模时，波导最小、最大厚度是多少？4.5导模特性

例4波导芯层折射率n1=1.52，衬底折射率n2=1.48，上包层折射率n3=1.45，光波长λ=1.55μm。绘出TE导模有效折射率N随芯层薄膜厚度b变化的关系曲线。有效折射率随平板波导厚度变化的关系曲线当b等于截止厚度时，有效折射率N等于上包层折射率和衬底折射率两者较大的一个max(n2,n3)；当b增大时，N随着增大，但趋于一个上限值n1（芯层薄膜折射率），即导模的有效折射率N满足以下的关系式:max(n2,n3)<N<n1；随着芯层厚度b的增大，导模的数量随之增多。4.6导模光强和功率4.6.1导模光强TE

导模光强y平均能流密度为为纯虚数为纯实数只有z分量，光场能量沿着z轴方向传播。TE模4.6导模光强和功率4.6.1导模光强TE

导模光强y波导截面上的光强m=0m=1m=2最大值：TE偏振场分布4.6导模光强和功率4.6.2传输功率TE导模功率y通过单位宽度波导截面的功率三个区域的功率之和通过某截面的传输功率

为平均能流密度(或光强)对截面的积分，为TE偏振4.6导模光强和功率4.6.2传输功率

TE

导模功率yTE偏振I0(计算功率时用到前面给出的边值关系式)波导有效厚度:4.6导模光强和功率4.6.2传输功率TE导模功率限制因子图4.9薄膜波导的有效厚度包层内的“倏逝波”不仅参与导模场的传播，同时也携带一定份额的功率，“倏逝波”的存在使导模场的有效厚度在芯层几何厚度的基础上增加了，增加量是衬底和覆盖层中倏逝波的穿透深度。

越大，进入衬底和包层中的倏逝场就越小，光场越集中在波导芯层。

是一个衡量波导对光场限制程度的参量。TM导模对TE模光强和功率的分析同样可用于TM模，结果稍有变化。

薄膜波导场分布非对称三层平板波导TE导模的场分布穿透深度4.5导模特性4.5.7归一化参量与薄膜波导色散曲线归一化传播常数归一化频率非对称参数:TE模特征方程可表示为导模0<B<1TM模特征方程为4.5导模特性4.5.7归一化参量与薄膜波导色散曲线薄膜波导TE模归一化色散曲线薄膜波导TM模归一化色散曲线对于弱波导（

<<1），TEm、TMm模

近似相同，近似简并。

薄膜波导特征方程导模定则n1=1.52，n2=1.48，n3=1.45，λ=1.55μm导模数量截止厚度截止波长单模波导有效折射率随平板波导厚度变化的关系曲线4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法折射率渐变型波导，内部无明显的分界面，能够有效地降低散射损耗。同时可以减小色散。变系数的亥姆霍兹方程式图4.10折射率渐变薄膜波导4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法WKB近似是量子力学中建立的求解一维薛定谔方程的一种方法，是一种准经典近似。由于标量亥姆霍兹方程与定态薛定谔方程具有极大的相似性，折射率分布对应量子力学中的势能函数，电磁场分量与波函数对应，因此，WKB方法可直接应用于非均匀光波导中。

只要将波函数

按约化普朗克常数

的幂级数展开，改为将电磁场分量按

的幂级数展开即可。4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.1场的近似表示式标量亥姆霍兹方程的试探解s(x)按的幂级数做渐近展开

根据WKB近似的基本假设，只要在光波长范围内，折射率的变化足够小，则上式中的高阶项可以忽略。4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.1场的近似表示式比较

的相同幂阶项，得到零级和一级WKB近似两种形式的解：振荡型解：衰减型解：转折点，解发散：4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.2转折点附近的近似解转折点位于：在xt处附近按泰勒展开，只保留一次项做变量代换两个线性独立的解：艾里函数Ai(t)与Bi(t).艾里方程4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.2转折点附近的近似解艾里函数Ai(x)与Bi(x)x

渐近行为：此渐近行为与WKB近似解类似，因此，转折点附近的场分布可用x=0附近的Ai(x)或Bi(x)近似表示。4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.3渐变薄膜波导特征方程

存在两个转折点时的模式图4.11存在两个转折点的渐变波导xt1两侧：两区域的场通过转折点

xt1

附近用艾里函数表示的场相匹配，构成连续的场分布。xt2两侧：两区域的场通过转折点

xt2

附近用艾里函数表示的场相匹配，构成连续的场分布。4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.3渐变薄膜波导特征方程

存在两个转折点时的模式图4.11存在两个转折点的渐变波导为使同一区域

内的两种表示的振荡型解描述的场分布结果一致，必须满足此为由WKB近似方法确定的折射率渐变薄膜波导的特征方程。利用该式可以求出渐变波导的第m个导模的传播常数，并可得到较为精确的模式场分布。4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.3渐变薄膜波导特征方程

存在折射率突变和一个转折点时的模式图4.11存在两个转折点的渐变波导xt左侧：突变点x=0，线性关系不成立，不能用艾里函数进行匹配连接。必须利用电磁场的边值关系，TE模连续的量：x<0：4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.3渐变薄膜波导特征方程

存在折射率突变和一个转折点时的模式由场的连续性条件得TE模特征方程图4.12存在折射率突变和一个转折点的渐变波导4.7折射率渐变薄膜波导分析-WKB法4.7.3渐变薄膜波导特征方程

存在折射率突变和一个转折点时的模式图4.12存在折射率突变和一个转折点的渐变波导TM模连续的量：TM模特征方程

本章基本概念导模模截止辐射模单模传输导模条件截止波长衰减常数波导有效厚度波导特征方程波导功率限制因子TE模归一化频率TM模归一化传播常数

化一化色散曲线内容第1章电磁场理论第2章几何光学第3章光波导几何分析第4章薄膜波导模式理论第5章三维光波导第6章光纤模式理论第7章电磁场分析的有限元法第8章模式耦合理论第9章无源光器件第10章有源光器件第11章光子晶体波导第12章光波导的制备5.1三维光波导结构5.2马卡提里近似法5.3场方程与形式解5.4Emx模特征方程5.5Emy模特征方程5.6模式特性5.7有效折射率法5.1三维光波导结构常见的三维波导通常为条形波导，通信用半导体激光器、光调制器、光耦合器、开关、滤波器等，光电子器件的基本结构。图5.1几种常见的三维光波导5.1三维光波导结构

三维波导的模式类型类似于二维平板波导，三维光波导的研究也需要求出一定波导结构参数下的传播常数（或有效折射率）及场分布函数。由不同介质构成的三维波导中，电磁场不存在纯粹的TE模和纯粹的TM模，而是构成所谓的混合模（hybridmode）。三维波导横截面结构5.2马卡提里（Marcatili）近似法

矩形截面条形波导9个区域，12个边界，求解复杂。马卡提里近似远离截止忽略角上区域内的场仅考虑芯区和4个边区，4个边界图5.2矩形截面介质波导及其分区周围区域的电磁场强度随离芯区界面距离的增大而快速减小，即穿透深度很小，波导内电磁波的大部分功率被约束在芯区内传输，边区内传输的功率很小，四个角区内传输的功率更小。5.2马卡提里（Marcatili）近似法三维波导的模式分类

弱导近似条件

模式分类根据电场主要的横向分量对模式进行分类。模模

m、n：模序数导模场的纵向分量远小于横向分量，场近似为准TEM模，并存在两种基本偏振模式。

(i=2,3,4,5)Ex模主要场分量Ex、Hy；Ez、Hz很小；Ey、Hx

更小，设Ey=0或Hx=0Ey模主要场分量Ey、Hx；Ez、Hz很小；Ex、Hy更小，设Ex=0或Hy=05.3场方程与形式解

场方程

三维正规波导，折射率分布沿z方向均匀，沿z方向传输的电磁场波函数可表示为在分区均匀的波导中，直角坐标系下，电磁场的任一分量均满足Helmholtz方程分离变量法分区求解，设(i＝1,2,3,4,5)

5.3场方程与形式解得X，Y，从而确定场分布函数并可得到特征方程。求解方程介质分界面处电场和磁场的切线分量连续电位移和磁感应强度的法线分量连续波矢的切向分量连续5.3场方程与形式解

传播常数与衰减常数

芯区边区Ⅱ、Ⅳ边区Ⅲ、Ⅴ(i＝1,2,3,4,5)

导模场沿x、y轴方向都应呈驻波分布，

Kx、Ky为实数导模场沿y轴方向远离芯区时衰减，

K2y、K4y为虚数导模场沿x轴方向远离芯区时衰减，

K3x、K5x为虚数5.3场方程与形式解

场方程的解xyab区域Ⅰn1区域Ⅱn2区域Ⅲn3区域Ⅳn4区域Ⅴn5O5.4模特征方程

模场分量场主要分量Ex、Hy次要分量Ez、Hz极小分量Ey、Hx5.4模特征方程

模场边界条件界面x=a/2和x=-a/2：切向分量Hy连续，Ez即连续5.4模特征方程

模场边界条件界面y=b/2和y=-b/2:切向分量Hz即连续，另外Hy连续5.4模特征方程利用，特征方程的另一种常用表示法:模序数m、n代表在x、y方向模场分布的极大值个数，最低阶模为，称为波导的主模或基模。对三维波导需分别求解关于Kx、Ky的两个联立方程，才能得到传播常数

，并可以进一步确定模场分布。

模(主要分量Ex、Hy)基模/主模:5.5模特征方程

模场分量场主要分量Ey、Hx次要分量Ez、Hz极小分量Ex、Hy5.5模特征方程

模场边界条件界面x=

a/2：分量Hx连续，Hz即连续5.5模特征方程

模场边界条件界面y=

b/2:切向分量Hx连续，Ez即连续5.5模特征方程

模(主要分量Ey、Hx)模：其中称衰减常数，与模式有关模：基模/主模:5.6模式特性5.6.1导模条件与模截止

传播常数衰减常数故导模传播常数满足(有效折射率满足)若n2≥

n3，Ky=Kyc时，Kx任意值模都截止。导模的

，其中任一个为零即表示模截止。设n2≥

n4，n3≥

n5，Kx和

Ky存在截止限。5.6模式特性5.6.1导模条件与模截止

模：模：方程左侧直线Kxa/Kyb与右侧函数曲线fm(Kx)

/f

n(Ky)在(0，Kxc

)/

(0，Kyc

)内有交点，则特征方程有导模解。导模Emn存在的条件是(导模定则)：5.6模式特性5.6.2单模传输导模Emn存在的条件是：单模传输一定只有主模

或由此可讨论单模波导波长条件、宽度和厚度条件。5.6模式特性5.6.3截止波长导模Emn存在的条件是：对确定的波导几何和光学参数，导模波长就满足Emn为导模时，波长存在上限对称波导5.6模式特性5.6.4矩形波导色散曲线与模场分布

归一化色散曲线归一化传播常数：归一化频率：导模0<B<1模式简并：有相同传播常数的模式图5.6矩形波导导模的归一化色散曲线(

1，a=b)5.6模式特性5.6.4矩形波导色散曲线与模场分布

归一化色散曲线图5.7矩形波导导模的归一化色散曲线(

1，a=2b)a=2b:部分简并消除5.6模式特性5.6.4矩形波导色散曲线与模场分布

归一化色散曲线图5.8矩形波导导模的归一化色散曲线(

=0.2，a=2b)增加

：更多的模式简并消除远离截止时，大部分功率集中在芯区，Marcatili近似结果较好，与更精确的数值方法的结果接近；近截止区，与精确的数值结果之间存在一定误差。5.6模式特性5.6.4矩形波导色散曲线与模场分布

模场分布矩形波导的Ex和Ey导模在芯区中按余弦变化，在包层区域中按指数衰减。

1/

i

为在各自包层中的穿透深度，衰减快慢。m=1n=15.6模式特性5.6.4矩形波导色散曲线与模场分布

模场场幅与光强分布图5.9矩形波导的模场场幅及光强分布示意图图5.10矩形波导各种模式的场型图5.6模式特性5.6.4矩形波导色散曲线与模场分布

三维模场Emn，m、n是场在x轴和y轴方向极值数目5.6模式特性5.6.4矩形波导色散曲线与模场分布

三维模场5.7有效折射率法

有效折射率法适用于远离截止模式，但它比Marcatili近似更为精确。方法是把厚度方向的限制效应与宽度方向的限制效应分解开，转换成等价的平板波导来处理的方法，在集成光学中应用较广。波导的宽度比厚度大、在宽度方向上折射率缓慢变化的波导结构内，能够高精度地进行分析。大多数半导体激光器所用的波导都是这样的波导，所以有效折射率法是一种既方便又有效的分析方法。5.7有效折射率法5.7.1矩形波导双波导近似电场主要沿x方向,等效于水平方向二维波导（厚度b）中的TE模：图5.3矩形波导的双平面薄膜波导近似矩形波导可等效成互相垂直的、彼此独立的两个平面薄膜波导的叠加。Ex模磁场主要沿y方向,等效于垂直方向二维波导（厚度a）中的TM模：

i：衰减常数电场方向

TE模

TM模磁场方向5.7有效折射率法5.7.1矩形波导双波导近似电场主要沿y方向,磁场主要沿x方向图5.3矩形波导的双平面薄膜波导近似Ey模等效于垂直方向二维波导（厚度a）中的TE模、水平方向二维波导（厚度b）中的TM模：

i：衰减常数与Marcatili近似的结果相同5.7有效折射率法5.7.1矩形波导有效折射率有效折射率法是通过等效平板波导变换而分析条形波导，但这两个互相垂直的平板波导间是相互关联的。第二个平板波导的芯层折射率不是

而是

，

由第一个平板波导确定。5.7有效折射率法5.7.1矩形波导有效折射率导模三层平板波导TE导模的特征方程为把芯区宽度a在x方向上延长到无限大，形成一个在y方向折射率分别为n2、n1

、n4

，芯区厚度为b

的三层平板波导。电场主要分量沿x方向偏振等效的y方向受限平板波导电场方向模对于该平板波导而言，相当于TE偏振。

5.7有效折射率法5.7.1矩形波导有效折射率等效的y方向受限平板波导电场方向对此平板波导Kx=0,有效折射率5.7有效折射率法5.7.1矩形波导有效折射率

:x方向受限的等效平板波导芯层的折射率。等效的x方向受限平板波导电场方向磁场方向

三层平板波导TM导模的特征方程：计算结果会因等效波导的选择顺序不同有所差别。对此平板波导Ky=0,最终传播常数条形波导的最终有效折射率5.7有效折射率法5.7.2脊波导分解的三个三层平板波导脊形波导有效折射率N

等效的三层对称平板波导5.7有效折射率法5.7.2脊波导脊形波导导模分解的三个y向受限波导相当于TE偏振

有效折射率、的特征方程分别为脊波导等效成对称平板波导有效折射率的脊波导的特征方程为等效的x向受限波导相当于TM偏振

5.7有效折射率法5.7.3加载波导及四层平板波导波导分解：

y向受限的四层平板波导

n3，n4

(厚h)，n1(厚d)，n2

y向受限的两个三层平板波导

n3，n1，n2，芯厚d合成等效波导：x向受限的三层对称平板波导等效的三层对称平板波导5.7有效折射率法5.7.3加载波导及四层平板波导四层平板波导分析方法加载条折射率n4可以小于n1，也可以大于n1。分四个区域求解Helmholtz方程，分别给出相应的形式解，利用边界条件确定特征方程。5.7有效折射率法5.7.3加载波导及四层平板波导四层平板波导分析方法设电磁场在n1介质层内呈振荡形式，其他层内是衰减形式

电磁场在n1、

n4介质层内呈振荡形式，其他层内是衰减形式

5.7有效折射率法5.7.3加载波导及四层平板波导四层平板波导分析方法场方程：5.7有效折射率法5.7.3加载波导及四层平板波导四层平板波导分析方法场方程解：利用场的边值关系模参量只有一个独立5.7有效折射率法5.7.3加载波导及四层平板波导四层平板波导分析方法TE模特征方程上式取正切，整理再取反正切，得分析方法可以推广到任意多层平板波导。5.7有效折射率法5.7.3加载波导及四层平板波导

有效折射率法与Marcatili近似相结合若n1>n45.7有效折射率法在仅仅需要知道三维光波导的导模传播常数（有效折射率）的情况下，可以采用有效折射率方法求解。

在同时需要确定传播常数及波导截面的场分布的情况下，可采用马卡提里方法。临近模式截止区时误差较大。马卡提里方法两种方法的结果在远离截止区都相当精确，近截止区差别较大，以有效折射率法的结果精确度较高。5.8三维光波导制备与设计以聚合物波导为例

紫外光写入近场输出光斑（BCBpolymer）Ysplitteroutputnear-filedpatternProc.ofSPIE,2010,Vol.7605760507-1~18高折射率芯层5.8三维光波导制备与设计以聚合物波导为例

微纳米压印(a).DropsofPSQ-L