大学物理(上、下册)（侯兆阳）提升题答案上册 1.15

1.15一质点的运动方程为r=r0+v0t，(1.15.1a)θ=ωt。(1.15.1b)式中r0，v0和ω是正常数。质点的运动轨迹是什么？质点的速度随时间如何变化？[解析]将第二式变形t=θ/ω，代入第一式得。(1.2)这是极坐标方程，质点轨迹是螺旋线。质点的径向速度为，(1.3a)可知：质点速度的径向分量为常数，v0是极径增加的速率，质点的角向速度为。(1.3b)可见：角向分量随时间线性增加。质点合速度的大小为。(1.3c)可知：质点的合速度大小将随时间增加。[算法]当t=0时，r=r0，r0是初始极径。取r0为长度单位，则质点的轨迹方程可表示为。(1.2*)其中k=v0/ωr0，称为角度系数；r/r0就是无量纲极径或约化极径。以v0为速度单位，则径向速度和角向速度可表示为，(1.3a*)。(1.3b*)约化合速度为。(1.4*)用指令polar可画极坐标图。如果要演示质点运动的动画，则需要极坐标转换为直角坐标，转化公式是x=rcosθ，y=rsinθ。转化的指令则是pol2cart。对于标量和向量来说，常用公式转化，对于极坐标矩阵来说，常用指令转化为直角坐标矩阵。[程序]P1_15.m如下。%质点的螺旋运动轨迹和速度clear%清除变量th=(0:5000)/5000*2*pi*5;%5圈极角k=input('请输入角度系数:');%键盘输入角度系数r=1+k*th;%极径figure%创建图形窗口polar(th,r)%画极坐标图gridon%加网格axisequal%使坐标刻度相等fs=16;%字体大小title('质点在极坐标系中的螺旋运动','fontsize',fs)%标题text(0,0,['\itk\rm='num2str(k)],'fontsize',fs)%角度系数文本x=r.*cos(th);%横坐标y=r.*sin(th);%纵坐标figure%创建图形窗口comet(x,y)%画彗星式轨迹plot(x,y)%画轨迹曲线gridon%加网格axisequal%使坐标刻度相等title('质点在直角坐标系中的螺旋运动','fontsize',fs)%标题xlabel('\itx/r\rm_0','fontsize',fs)%横坐标ylabel('\ity/r\rm_0','fontsize',fs)%纵坐标text(0,0,['\itk\rm='num2str(k)],'fontsize',fs)%角度系数文本wt=0:0.1:2;%时间与角速度的乘积(角度)vr=ones(size(wt));%径向速度(全1向量)vth=1/k+wt;%角向速度v=sqrt(1+(1/k+wt).^2);%总速度figure%创建图形窗口plot(wt,[vr;vth;v],'LineWidth',3)%画速度曲线gridon%加网格title('螺旋运动的速度','fontsize',fs)%标题xlabel('\it\omegat','fontsize',fs)%横坐标legend('径向速度\itv_r/v\rm_0',...'角向速度\itv_\theta/v\rm_0',...'速度\itv/v\rm_0',2)%图例text(0,2,['\itk\rm='num2str(k)],'fontsize',fs)%角度系数文本[说明]程序执行时，从键盘输入角度系数，例如0.5等。[图示](1)取角度系数为0.5，质点在极坐标中的运动轨迹如P1.15a图所示，这是阿基米德螺线。角度系数k越大，极径增加得越快。(2)质点在直角坐标中的运动轨迹如P1.15b图所示，不论在什么坐标系中，曲线的形状都是相同的。P1.15a图