大学物理(上、下册)（侯兆阳）提升题答案上册 4.17

4.17如图4.17所示，均质矩形薄板质量为m，长为a，宽为b，可绕竖直边转动，初始角速度为ω0。转动时受到空气阻力，其方向垂直于板面，每一小面积所受的阻力的大小与其面积和速度的n(n≥0)次方的乘积成正比，比例系数为kn(kn>0)。求薄板转动的角速度和角度。当n取不同的正数时，角速度和角度与时间的关系曲线有什么特点？[解析]在薄板上取一长为dr，宽为b的矩形，其面积为ds=bdr；矩形到轴的距离为r，当薄板以角速度ω转动时，其速度为v=rω。矩形受到的阻力大小为df=knvnds=knbωnrndr，取角速度ω的方向为正方向，矩形所受的阻力矩为dM=-rdf=-knbωnrn+1dr，负号表示力矩的方向与角速度的方向相反。薄板受到的总力矩为。(4.1)薄板绕轴的转动惯量为J=ma2/3，根据转动定理M=Jd2θ/dt2可列方程题4.17图题4.17图rωbadr即，(4.2)由于dθ/dt=ω，分离变量可得，(4.3)当n=1时，微分方程简化为，积分可得，即。(4.4)当n≠1时，(4.3)式积分可得，角速度为。设，角速度可表示为。(4.5)角度的微分为，设，则，因此，(4.6)当n=2时，上式可化为，积分可得。当t=0时，y=1时，θ=0，所以C=0。因此。(4.7)当n≠2时，(4.6)式积分可得，因此角度为。(4.8)[讨论]①设，当n→1时，则ε→0。根据定义，由(4.5)式可得，这就是(4.4)式。可见：(4.5)式包含(4.4)式。②设，当n→2时，根据罗必塔法则，当ε→0时，。取ε=n-2，，由(4.8)式可得，这就是(4.7)式。可见：(4.8)式包含(4.7)式。③如果n=0，阻力是常数，角速度为，可知：薄板作匀变速直线运动。薄板旋转的角度为。当t=2t0/3时，薄板就会静止，旋转的角度为ω0t0/3。④如果0<n<1，当薄板静止时，经过的时间为，薄板旋转的角度为。⑤如果0<n<2，当t→∞时薄板也会静止，薄板旋转的角度由上式决定。⑥如果2≤n，当t→∞时薄板虽然会静止，薄板旋转的角度随时间不断增加。[算法]方法一：用解析式。取tn为时间单位，ω0为角速度单位，角速度可表示为ω=ω0exp(-t*)，(n=1)；(4.4*)，(n≠1)。(4.5*)其中，t*=t/tn。取θn=ω0tn为角度单位，角度可表示为，(n=2)；(4.7*)，(n≠2)。(4.8*)取指数n向量，再取时间向量，化为矩阵即可求角速度和角度。当n为1或2时，需要加一个小量才能进行极限运算。(4.4*)式和(4.7*)式可验证极限运算的正确性。[程序]P4_17.m如下。%薄板所受的阻力与速率的n次方成正比的运动(用解析式)clear%清除变量tm=5;%最大时间t=0:0.01:tm;%时间向量n=0:0.5:3;%指数向量n(n==1)=1+eps^(1/2);%为1的指数加小量n(n==2)=2+eps^(1/2);%为2的指数也加小量m=length(n);%指数个数[N,T]=meshgrid(n,t);%化为矩阵OMEGA=(1+3*(N-1)./(N+2).*T).^(1./(1-N));%求角速度THETA=(N+2)/3./(N-2).*((1+3*(N-1)./(N+2).*T).^((N-2)./(N-1))-1);%求角度OMEGA(N<1&T>(N+2)/3./(1-N))=nan;%将不合理的角速度改为非数THETA(N<1&T>(N+2)/3./(1-N))=nan;%将不合理的角度改为非数%----------------------------------------------------------figure%创建图形窗口plot(t,OMEGA)%画角速度曲线族gridon%加网格fs=16;%字体大小title('薄板所受阻力与速率的\itn\rm次方成正比的角速度与时间','fontsize',fs)%显示标题xlabel('时间\itt/t_n','fontsize',fs)%显示横坐标ylabel('角速度\it\omega/\omega\rm_0','fontsize',fs)%显示纵坐标legend([repmat('\itn\rm=',m,1),num2str(n')])%图例holdon%保持图像plot(t,exp(-t),'.')%验证n=1时的角速度txt='\itt_n\rm=\itm/k_na^nb\omega\rm_0\it^n\rm^-^1';%时间文本text(0,0.1,txt,'fontsize',fs)%标记时间文本figure%创建图形窗口plot(t,THETA)%画角度曲线族gridon%加网格title('薄板所受阻力与速率的\itn\rm次方成正比的角度与时间','fontsize',fs)%显示标题xlabel('时间\itt/t_n','fontsize',fs)%显示横坐标ylabel('角度\it\theta/\omega\rm_0\itt_n','fontsize',fs)%显示纵坐标legend([repmat('\itn\rm=',m,1),num2str(n')],2)%图例holdon%保持图像plot(t,4/3*log(1+3/4*t),'.')%验证n=2时的角度[图示](1)薄板转动的角速度如P4_17a图所示，角速度随时间的增加而减小。如果n=0，阻力是常数，薄板作匀变速直线运动，当t=2t0/3时，薄板就会静止。如果n=0.5，当t=5t0.5/3时，薄板才会静止。如果n=1，角速度按指数规律减少。(2)薄板转动的角度如P4_17b图所示，角度随时间增加而增加。如果n=0，薄板旋转的最大角度为θ=ω0t0/3。如果n=0.5，薄板旋转的最大角度为θ=5ω0t0.5/18。如果n=2，角度按对数规律增加。P4_17a图P4_17b图方法二：用一个一阶常微分方程的数值解求解。利用时间单位，薄板的运动方程(4.2)式可化为，取约化时间为t*=t/tn，取约化角速度ω*=ω/ω0，可得，(4.2*)初始条件为ω*=1。薄板旋转的角度为，求出角速度的数值解，通过数值积分就能求出薄板旋转的角度，角度的单位是ω0tn。[程序]P4_17_.m计算部分如下。%薄板所受的阻力与速率的n次方成正比的运动(求一阶微分方程的数值解)clear%清除变量tm=5;%最大时间dt=0.01;%时间间隔t=0:dt:tm;%时间向量n=0:0.5:3;%指数向量n(n==1)=1+eps^(1/2);%为1的指数加小量n(n==2)=2+eps^(1/2);%为2的指数也加小量m=length(n);%指数个数OMEGA=[];%角速度矩阵置空THETA=[];%角度矩阵置空fori=1:m%按指数循环s=num2str(n(i));%取指数并化为字符串f=inline(['-3/(2+'s')*w.^'s],'t','w');%被积内线函数[tt,w]=ode45(f,t,1);%求微分方程数值解w(w<0)=nan;%负数改为非数w(imag(w)~=0)=nan;%复数改为非数th=cumsum(w)*dt;%累积角度OMEGA=[OMEGA,w];%连接角速度矩阵THETA=[THETA,th];%连接角度矩阵end%结束循环%----------------------------------------------------------(其他指令与上一程序的相应部分是相同的。)[说明]用常微分方程指令求微分方程的数值解特别简单。方法三：用二个一阶常微分方程的数值解求解。角速度公式dθ/dt=ω可化为，取θn=ω0tn为角度单位，则得。其中，θ*=θ/θn，t*=t/tn，ω*=ω/ω0。设θ(1)=θ*，θ(2)=dθ*/dt*，可得，。当t=0时，θ=0，ω=ω0。所以初始条件可表示为θ(1)=0，θ(2)=1。[程序]P4_17__.m计算部分如下。%薄板所受的阻力与速率的n次方成正比的运动(求二阶微分方程数值解)clear%清除变量tm=5;%最大时间dt=0.01;%时间间隔t=0:dt:tm;%时间向量n=0:0.5:3;%指数向量n(n==1)=1+eps^(1/2);%为1的指数加小量n(n==2)=2+eps^(1/2);%为2的指数也加小量m=length(n);%指数个数OMEGA=[];%角速度矩阵置空THETA=[];%角度矩阵置空fori=1:m%按指数循环[tt,W]=ode45('P4_17__fun',t,[0,1],[],n(i));%求微分方程数值解th=W(:,1);%取角度向量w=W(:,2);%取角速度向量th(w<0|imag(w)~=0)=nan;%角速度小于零或者是复数时角度改为非数w(w<0|imag(w)~=0)=nan;%角速度小于零或者是复数时角速度改为非数OMEGA=[OMEGA,w];%连接角速度矩阵THETA=[THETA,th];%连接角度矩阵end%结束循环%----------------------------------------------------------(其他指令与上面两个程序的相应部分是相同的。)程序调用P4_17__fun.m求微分方程的数值解。%薄板所受的阻力与速率的n次方成正比的运动的函数functionf=fun(t,th,flag,n)f=[th(2);%速度-3/(n+2)*th(2)^n];