2024-2025学年北京市延庆区九年级（上）期中数学试卷

2024・2025学年北京市延庆区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.（2分）如果3x=2），，那么下列结论正确的是（）

xyxyx3y2

A.一二-B.—=—C.-="D.-=一

3223y2x3

2.（2分）二次函数），=』-4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.1,4,3B.0,4,3C.1,-4,3D.0,-4,3

3.（2分）已知二次函数），=（x-2）2+1,若点（1,）,］）和（4,在此函数图象上，则），|与”的大小

关系是（）

A.y\>y2B.y\=yiC.yi<y2D.无法确定

4.（2分）把抛物线），=2,向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）

A.y=2（x-1）2-5B.y=2（x+C2-5

C.y=2（x-I）2+5D.y=2（x+1•2+5

5.（2分）如图，在△ABC中，点。，£分别在边A3,AC±,DE//BC.若AE=6,EC=3,DE=8,则

4c的长为（）

6.（2分）在RIA48C中，NZMC=90",AQ_LBC于点。，AD=2,BD=3,则C。的长为（）

23

7.（2分）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，

出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形4BCD,东边城墙A8长9

里，南边城墙4。长7里，东门点E,南门点尸分别位于AS,A。的中点，EGLAB,FHLAD,EG=

15里，经过A点，则F”的长为（）

cB

A.0.95里B.1.05里C.2.05里D.2.15里

8.（2分）如图，矩形ABC。中，对角线AC,8。交于点O,E,尸分别是边8C,A。的中点，AB=3,BC

=4,一动点。从点4出发，沿着5-A-Q-C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1中

某一定点，设点P运动的路程为的面积为），，表示），与x的函数关系的图象大致如图2所示.则

点M的位置可能是图1中的（）

A.点CB.点尸C.点。D.点。

二、填空题（共16分，每小题2分）

9.（2分）抛物线），=（x-1）2的的顶点坐标是.

10.（2分）写出一个对称轴是），轴的二次函数的解析式.

II.（2分）如图，点P是线段AB的黄金分割点（AP>P8）,如果AB=10,那么AP的长

为.

APB

12.（2分）如图，在△A8C中，DE//BC,分别交4B,AC于点。，E.若AO=I,DB=2,则△ADE的

面积与△ABC的面积的比等于.

13.（2分）已知△A8C,P是边A8上的一点，连接CR请你添加一个条件，使AAC尸这个条

件可以是.（写出一个即可）

A

B

14.（2分）二次函数），=7-2x-1的最小值是.

15.（2分）如图，在平面直角坐标系中，点4（-3,1）,8（-1,1）,若抛物线1y=o?（。＞（））与

线段A3有公共点，则。的取值范围是

16.（2分）如图，在平面直角坐标系X。），中，二次函数＞=a『+bx+c（aHO）的图象与x轴交于A（7,

0）,B两点,对称轴是直线x=l,下面四个结论中，①。＜0；②当x＞l时，y随x的增大而增大；③

点8的坐标为（2,0）；④若点M（-2,＞'i）,N（5,），2）在函数的图象上，则户＞".其中正确的是

（只填写序号）.

三、解答题（共68分，第17-20题，每小题6分，第21-22题，每小题6分，第23-24题，每小题6分,

第25.26题，每小题6分，第2728题，每小题6分）

17.（6分）己知二次函数），=，+2x-3.

⑴将y=^+2x-3化成y=a（x-/z）2+k的形式；

（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象.

（1）），关于X的函数表达式是，自变量入的取值范围是

（2）当％=机时，活动区的面积有最大值m2.

23（5分）如图，四边形是平行四边形,血A3于点EDMBC于点F.⑴求证：正=谪

（2）当CD=2,40=3,C尸=1时，求AE的长.

24.（5分）小明到操场测量旗杆人8的高度，他手拿一只铅笔MM边移动边观察（铅笔MN•始终与地面

垂直）.当小明移动到点。处时，眼睛C与铅笔顶端M、旗杆的顶端A三点共线，此时测得。8=50小，

小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6/小铅笔MN的长为0.16〃?，求旗杆48的高度.

25.（6分）乒乓球被誉为中国国球.2024年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓

球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.已知乒乓球台的长度

为274”小一位运动员从球台边缘正上方击球高度为28.75cw处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，

乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.

从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm）,乒乓球运行

的水平距离记为x（单位：cm）,测得如下数据；

水平距离0105090130170230

x/cm

竖直高度28.7533454945330

y/cm

（I）在平面直角坐标系立力口，描出表格中各组数值所对应的点（x,y）,并画出表示乒乓球运行路线

形状的大致图象;

（2）当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm,当乒乓球落在对面球台上时，到

起始点的水平距离是C"；

（3）乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系），=-0.0025（.r

-h）2+1.判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理

26.（6分）在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线），=»-2〃0-3.

（1）当加=1时，求抛物线的对称轴；

（2）已知A（I-2m,），D和8（w+l,*）为抛物线上的两点，满足yi>中,求，〃的取值范围.

27,（7分）阅读思考，解决问题：

小华遇到这样一个问题：如图1,在△A4C中，点。在边8c上，NBAD=75：ZCAD=30°,AD

=2,BD=2DC,求AC的长.

小华发现，过点C作C七〃AB,交4。的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算，能够使问

题得到解决（如图2）.

（1）①直接写出NACE的度数；

②求线段AC的长；

（2）参考小华思考问题的方法，解决问题：

如图3,在四边形A8C。中，Z/MC=90°,NC4Q=30°,AC=AD,对角线AC与8。交于点£,AE

=2,BE=2DE,求BC的长.

若，"={（.yy（x（一>0。））,则称点。为点。的“反称变点”.

例如：点（1,3）的“反称变点”为点（1,3）,点（・1,2）的“反称变点”为点（・1,-2）.

（1）点（・4,-1）的“反称变点”坐标为：

（2）若点P在函数y=・W+]2的图象上，其“反称变点”。的纵坐标y是4,求“反称变点”Q的

横坐标；

（3）若点尸在函数y=・/+12（-4WxW〃）的图象上，其“反称变点”。的纵坐标）/的取值范围是

-\2<y'<12,直接写出〃的取值范围.

2024・2025学年北京市延庆区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案BCCBCDBD

一、选择题（共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.（2分）如果3%=2），，那么下列结论正确的是（）

xyxyx3y2

A.­=-B.—=—c.-=一D.­=一

3223y2x3

【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断.

【解答】解：・・・3x=2），，

.^_y

••--9

23

故选：B.

【点评】本题考杳了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比

性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键.

2.（2分）二次函数），=f-4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.1,4,3B.0,4,3C.1,-4,3D.0,-4,3

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如），=/■+/状+。（〃、［）、C是常数，〃#（））的函数，叫做二

次函数.其中X、），是变量，b、C是常量，。是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项作答.

【解答】解：二次函数y=7-4x+3的二次项系数是1,一次项系数是-4,常数项是3；

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要

漏掉符号.

3.（2分）已知二次函数y=（x-2）2+1,若点（1,），1）和（4,”）在此函数图象上，则与52的大小

关系是（）

A.y\>）^2B.y\=yiC.>'i<yiD.无法确定

【分析】求出V=2,），2=5,即可得到答案.

【解答】解：在丁=（x-2）2+1中，令x=l得），|=2,令％=4得”=5,

V）明

故选：c.

【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关健是求出），1=2,”=5.

4.（2分）把抛物线），=2/向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）

A.y=2（x-1）2-5B.y=2（x+1：2-5

C.y=2（x-1）2+5D.y=2（x+l）2+5

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

【解答】解：将抛物线y=2?向左平移I个单位所得直线解析式为：y=2（x+I）2；

再向下平移5个单位为：y=2（x+1）2-5.

故选：B.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

5.（2分）如图，在△八中，点/）,E分别在边/W,AC上，DE//BC.若AE=6,EC=3,DE=8,则

8C的长为（）

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：,:DE〃BC,

：、XADEsXABC、

AEDE

•••_，

ACBC

;AE=6,EC=3,DE=8,

•__6__8_

**6+3-BC

解得8c=12,

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.

6.（2分）在RiZXABC中，NBAC=90°,4O_LBC于点D,AD=2,RD=3,则C7）的长为（）

A

94

A.2B.3C.~D.-

23

【分析】利用射影定理得到：AD』D・CD,将相关数值代入求值即可.

【解答】解：在RIAA8C中，NB4C=90°,ADJ_8C于点。，则AZ）2=8D・CD,

*：AD=2,BD=3,

A22=3CD.

4

：・CD=I，

故选：D.

【点评】本题主要考查了射影定理:在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.

7.（2分）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，

出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形A8CQ,东边城墙A8长9

里，南边城墙A。氏7里，东门点£南门点尸分别位于AB,A。的中点，EGLAB,FHA.AD,EG=

15里，HG经过A点，则口的长为（）

A.0.95里B.1.05里C.2.05里D.2.15里

【分析】首先根据题意得到△GE/ls△人”，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答

案即可.

【解答】解：EG1AB,FHLAD,”G经过A点，

:.FA〃EG,EA//FH,

：,ZHFA=ZAEG=90°,ZFHA=ZEAG,

：.AGEA^^AFH,

*E_G_E_A

••™,

FAFH

；A6=9里，0A=7里，£G=15里,

，热=3.5里，EA=4.5里,

154.5

••■_=__.

3.5FH

解得："7=1.05里.

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大.

8.（2分）如图，矩形/A8C。中，对角线AC,BD交于点O,E,尸分别是边6C,八。的中点，八8=3,BC

=4,一动点P从点B出发，沿着B-A-O-C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1中

某一定点,设点尸运动的路程为x，△BPM的面积为y,表示），与x的函数关系的图象大致如图2所示.则

点M的位置可能是图1中的（）

A.点CB.点尸C.点。D.点O

【分析】从图2中可看出当x=7时，此时△台0例的面积为0,说明点M一定在3。上，选项中有点O

和。在8。上，此时工=3,），=3,所以点”的位置是图1中的点O.

【解答】解：・.・人"=3,"C=4,四边形AAC。是矩形，

・••当x=7时，点P到达。点，此时△BPM的面积为0,说明点M一定在上，

•・3=3’尸3,

・・•从选项中可得只有O点符合，所以点M的位置是图1中的点。.

故选：D.

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当x=7时，此时的面枳为0,

说明点M一定在BD上这一信息.

二、填空题（共16分，每小题2分）

9.（2分）抛物线），=（x-1）2的的顶点坐标是（1,4）.

【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标.

【解答】解：♦・•>=（A-1）2+4为抛物线的顶点式，

・•・根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（1,4）.

故答案为：（1,4）.

【点评】考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式>，=〃（X-/?）顶点坐标是"，Q,对称轴是

直线x=h.

10.（2分）写出一个对称轴是、，轴的二次函数的解析式y=f+2,答案不唯一..

【分析】对称轴是），轴，即直线X=-4=0,所以6=0,只要抛物线的解析式中缺少一次项即可.

【解答】解：•・•抛物线对称轴为），轴，即直线x=0,只要解析式一般式缺少一次项即可，如），=』+2,

答案不唯■.

【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标及对称轴的方法.通常有两种方法：

K4QC—匕2人

（1）公式法：1y=。/+云+（?的顶点坐标为（-而，———）；对称轴是直线x=-而；

（2）配方法：将解析式化为顶点式），=〃（x-A）顶点坐标是"，2）,对称轴是直线x=〃.

II.（2分）如图，点P是线段/W的黄金分割点（APAPB）,如果AB=IO,那么AP的长为5疗-5.

APB

【分析】由点P是线段"的黄金分割点（AP>PB）,A8=10,可得空=与±再计算可得答案.

AB2

【解答】解：・・•点，是线段AB的黄金分割点（AP>PB）t

.AP\f5-1

••"""=,

AB2

.APV5-1

•♦=9

102

・"”=与X1O=5V5-5,

故答案为：5而一5.

【点评】本题主要考查了黄金分割，正确记忆相关数据是解典关键.

12.（2分）如图，在△ABC中，DE〃BC,分别交AB,AC于点。，E.若AZ）=I,OB=2,则△4£）£：的

面积与△ABC的面积的比等于1：9.

【分析】根据DE//BC,即可证得△AQEsA43c然后根据相似三角形的面枳的比等于相似比的平方,

即可求解.

【解答】解：・・飞。=1,。4=2,

•：DE//BC,

:•△ADEs^ABC,

SAAnpADoc

：^ADE=（_）2=（_）2=1；9.

S08CAB3

故答案为1：9.

【点评】本题考杳了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面枳比是相似比的平方是解题的关键.

13.（2分）已知△A6C,产是边46上的•点，连接CP,请你添加•个条件，这个条

4PAC

件可以是一/ACP=/B,或NAPC=N4CB或一二一.（写出一个即可）

ACAB-

【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可.

【解答】解：••.NA=NA,

4PAC

，当NACP=N8,或NAPC=NAC8或一=一时，

ACAB

APAC

故答案为：ZACP=ZB,或NAPC=/A8或A=

ACAB

【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

14.（2分）二次函数y=7-2x7的最小值是:2_.

【分析】整理成顶点式），=f1=（x-1）2・2即可求解.

【解答】解：将抛物线y=7・2x-1配方成顶点式得：尸G-1）2-2,

当x=l时，取最小值为：-2,

故答案为：・2.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质及将配成抛物线顶点式的方法，能正确配方是解决本题的关键.

15.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-3,1）,8（・1,1）,若抛物线）=«?（q>0）与

线段AB有公共点，则。的取值范围是；WW1

-9

yM

2-

AB

-------------1-

-2

【分析】分别把A、B点的坐标代入），=/得〃的值，根据二次函数的性质得到〃的取值范围.

【解答】解：把人（-3,1）代入），=/得4=3；

把B（-1,I）代入>=/得4=1,

1

所以a的取值范围为二WaWl.

9

1

故答案为："<a^\.

9

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数。决定抛物线的开口方向和大小.当。〉

0时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数。和二次项系数。共同决定对称轴

的位置：当。与人同号时，对称轴在），轴左；当〃与》异号时，对称轴在），轴右.常数项。决定抛物线

与y轴交点：抛物线与y轴交于（O,c）.抛物线与x轴交点个数由判别式确定：A=庐・4«>0时，

抛物线与x轴有2个交点；A=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；A=b2・4acV0时，抛物线

与x轴没有交点.

16.（2分）如图，在平面直角坐标系X。），中，二次函数（aKO）的图象与x轴交于A（-1,

0）,8两点,对称轴是直线x=l,下面四个结论中，①。<0；②当x>l时，），随x的增大而增大；③

点B的坐标为（2,0）；④若点M（-2,yi）,N（5,月）在函数的图象上，则其中正确的是_©

【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可.

【解答】解：•・•抛物线开口向下，

故①正确；

•••抛物线对称轴是直线x=l,

••・当xVl时，y随x的增大而增大，

故②错误；

（-1,0）,对称轴是直线x=l,

(3,0),

故③错误；

VI-(-2)<5-1,

故④正确.

故答案为：①④.

【点评】本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答.

三、解答题（共68分，第17・20题，每小题6分，第21・22题，每小题6分，第23・24题，每小题6分,

第25・26题，每小题6分，第2728题，每小题6分）

17.（6分）已知二次函数y=/+213.

(1)将y=x1+2x-3化成y=aCx-h)2+k的形式;

（2）在所给的平面直角坐标系xO.v中，画出它的图象.

y八

4-

3

2

III1A

-4-3-2-1012341

-1

-2

-3

【分析】（1）利用配方法解答即可；

（2）根据（I）中所求的二次函数的顶点式解析式作图.

【解答】解：（1）>=，+〃-3

=7+2x+I-4

=（x+1）2-4；

（2）由题意，根据（1）可知，该函数的顶点是（-1,-4）；

当x=0时，y=3；

当1y=0时，即/+2»-3=0,解得x=l或x=-3,

，该函数图象经过点（0,3）,（1,0）,（-3,0）；

【点评】本题主要考查的是二次函数的顶点式解析式、二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上

知识点.

18.（6分）已知二次函数y=-/+公+。的图象经过（1,0）和（2,I）两点.

（1）求此二次函数的表达式：

（2）当y>（）时，直接写出x的取值范围.

【分析】（1）利用待定系数法构建方程组确定儿。的值即可；

（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，利用图象法判断即可.

【解答】解：（1）;二次函数y=+以+c的图象经过（1,0）和（2,1）两点，

.（-1+b+c=0

，*l-4+2b+c=I>

解得｛，:,3，

・•・二次函数的解析式为y=-f+4x・3：

（2）令y=0,-f+4x-3=0,

解得x=l或3,

・•・二次函数与x轴的交点为（1,0）或（3,0）,

a=-1<0,

・•・抛物线开口向下,

・•・/>()时，1VXV3.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数

法求二次函数的解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

AEAD

19.(6分)已知：如图，在△ABC中，。是AC上一点，E是上一点，且­二—.

ACAB

(1)求证：△AEQS/XA。；

(2)若NA=45°,ZC=60°，求NAOE的度数.

【分析】(1)根据两组对应边成比例和其夹角相等的两个三角形相似证明即可.

(2)由(1)中的相似三角形的对应角相等解答.

Ap4n

【解答】(1)证明：・・・士==，NA=/A,

ACAB

•••△AEQs/viCB；

(2)VZA=45°，ZC=60°,

・・・N8=18()°-45°-60°=75°.

二•△人£T)s△人CA,

・・・NAQE=NE=75°.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找

出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的

比.本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法.

20.(6分)已知二次函数的图象过点A(2,-3),且顶点坐标为C(l,-4).

(I)求此二次函数的表达式；

(2)当-1〈.(<2时・，直接写出y的取值范围.

【分析】(I)由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a(x-I)2-4,然后把A(2,-3)代入求

出。的值即可；

(2)先求出抛物线抛物线与/轴的交点坐标为(・1,0),(3,0),再利用描点法画出抛物线.然后根

据二次函数图象易得当-1VXV2时，)，的取值范围.

【解答】解：(1)设二次函数的表达式为y=a(A-1)2-4,

把A(2,-3)代入得。・(2・1)2-4=-3,解得0=1,

所以二次函数的解析式为)，=(x-1)2-4,

即尸7-2A-3：

(2)当y=0时，?-Zv-3=0,解得内=-1,m=3,则抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,

0),

抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-4),如图,

当-1lid-、，占来i-?i

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据

题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时,

常选择一般式，用待定系数法列三元•次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析

式为顶点式来求解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可先择设其解析式为交点式来求解.

21.(4分)如国，四边形A4C。的对角线AC,“。交于点〃，点£是〃。上一点，且NBAC=NBDC=N

DAE.求证：^ABE^/XACD.

【分析】由/AAC=N3OC,得NAFD-NBAC=NAFD-NBDC,贝ij/ACO,由/8AC=N

DAE,得N84C+/CAE=ND4E+NC4E,则N8AE=NC4Q,即可根据“两角分别相等的两个三角形

相似”证明△ABES^ACD.

【解答】证明：・・・N/MC=NBQC,

・'.NAFD-ZBAC=NAFD-4BDC,

VZABE=ZAFD-ZBAC,^ACD=ZAFD-NBDC,

JZABE=NAC。，

ZBAC=ZDAE,

・•・ZBAC+ZCAE=ZDAE+ZCAE,

；・/BAE=/CAD,

：.△ABEs/XACO.

【点评】此题重点考查相似三角形的判定，推导出/人8七=乙4c。及N/ME=NC4O是解题的关键.

22.（4分）某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABC。，其中一边靠墙，另外三边用总长为40/〃

的栅栏围成.已知墙长为22”？（如图），设矩形A3CO的边43=工机，面积为

（1）y关于x的函数表达式是尸-2?+40x,自变量》的取值范围是9«20；

（2）当％=10〃?时，活动区的面积有最大值200nr.

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

AID

BI-----------------C

【分析】（1）由总长度■垂史于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x

的取值范围；

（2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可.

【解答】解：（1）•••四边形ABCQ是矩形，43=工米，

:,BC=（40-2x）米，

•・•墙长为22米，

?.0<40-2\<22,

.•・9«20,

・・・y=x(40-2x)=-2?+40心

即尸-2A2+40A-(9<X<20).

故答案为：y=-2A-2+40A-,9W%V20；

（2）设矩形的面积为5,

尸-2?+40x=-2（x-10）2+200,

由（1）知，94V20,

・••当x=10时，y有最大值200,

即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米.

故答案为：10,200.

【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二

次函数的性质求解.

CDDF

23.（5分）如图，四边形A8CO是平行四边形，DE_LAB于点E,DF工BC于点F.（1）求证：一=——；

BCDE

（2）当CO=2,40=3,。尸=1时，求AE的长.

【分析】（I）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论;

（2）根据相似三角形的性质定理即可得到结论.

【解答】（1）证明：•・•四边形A8CO是平行四边形，

：,AD=BC,NA=NC,

,：DE±AB于点E,DF工BC7点F,

：,ZDFC=,

，△C。产s

•CD_DF

••.—9

ADDE

*：AD=BC,

CDDF

—=--：

BCDE

(2)解：由(I)知△CO尸s4/iOR

CFCD

••9

AEAD

•1_2

••"~"=一,

AE3

・,.AE=1.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质

定理是解题的关键.

24.（5分）小明到操场测量旗杆A8的高度，他手拿一只铅笔边移动边观察（铅笔MN始终与地面

垂直）.当小明移动到点。处时，眼睛。与铅笔顶端M、旗杆的顶端A三点共线，此时测得。8=50〃?，

小明的眼睛C到铅笔的距离为06",铅笔的长为0.16〃?，求旗杆/W的高度.

【分析】过点C作CRLAB,垂足为凡交MN于点£,再根据可得出△CMNs/\C48,由相

似三角形的对应边成比例即可求出AB的长.

【解答】解：过点。作垂足为F,交MN于点、E.

则C产=/）B=50,CE=0.6,

,:AB、

:.XCMNsXCAB.

CEMN

••■__=___,

CFAB

.XDMNCF0.16x5040

-AB=-CE-=-O^=^

40

答：旗杆A8的高度约为二米.

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

25.（6分）乒乓球被誉为中国国球.2024年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓

球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.已知乒乓球台的长度

为214cm,一位运动员从球台边缘正上方击球高度为28.75c?"处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，

乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.

从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：。??），乒乓球运行

的水平距离记为“（单位：cm）,测得如下数据：

水平距离0105090130170230

x/cm

竖直高度28.7533454945330

y/cm

（1）在平面直角坐标系xQv口，描出表格中各组数值所对应的点（x,＞）,并画出表示乒乓球运行路线

形状的大致图象；

（2）当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是49cm,当乒乓球落在对面球台上时，到起始

点的水平距离是230cm,

（3）乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系），=-0.0025（x

-h）2+1.判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理

y/cm

70

60

50

40

30

20

10

O1030507()90110130150170190210230250r/cm

【分析】（1）依据由题，根据表格数据可以画图得解；

（2）根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当），=0时，大=230；

（3）根据题意，由表中数据可知，球第一次落在球桌面上的点为（230,0）,

把（230,0）代入y=-0.0025（x-/z）2+1得：-0.0025（230-/?）2+1=0,

解得4=250或〃=210（舍去），从而可得乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度），与水平距离x

近似满足函数关系y=-0.0025（x-250）2+1,再令），=o时，0=・0.0025（A-250）2+1,求出x即可

判断得解.

【解答】解：（1）由题意，根据表格数据作图如下.

（2）观察表格数据，可知当工=50和x=130时，函数值相等,

・••对称轴为直线4=主产=90,顶点坐标为(90,49),

•・•抛物线开口向下，

・•・最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49am

当y=0时，x=230,

・•.乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm-.

故答案为：49；230：

(3)由表中数据可知，球第一次落在球桌面上的点为(230.0),

把(230,0)代入y=-0.0025(x-h)2+］得：

-0.0025(230-/z)2+|=0,

解得6=250或/?=210(舍去),

・••乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度)，与水平距离x近似满足函数关系y=-0.0025(x-250)

2+1.

又・.•当),=0时，0=・0.0025(x-250)2+1,

・・・x=270或x=230(舍去)，

V270＜274,

•••乒乓球再次落下时仍落在球桌上.

【点评】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象

的性质是解题的关键.

26.(6分)在平面直角坐标系X。)，中，已知抛物线)，=』・2〃”-3.

(1)当m=1时，求抛物线的对称轴；

(2)已知A(1-2/〃，yi)和8(机+1,y2)为抛物线上的两点，满足川＞)2,求/〃的取值范围.

【分析】(1)将抛物线解析式化为顶点式求解.

(2)由y=7-2侬+序-1=(*-m)2-1得到抛物线开口向上,对称轴为直线％=次,由可

得|1-2m--m\,解不等式即可求解.

【解答】解：(1)当〃?=1时，函数为＜y=7-2x-3=(x-1)2-4,

・••抛物线的对称轴为直线x=l；

(2)Vj=x2-2/wx+m2-1=Cx-tn)2-1»

・•・抛物线开口向上，对称轴为直线工=阳，

♦・•点4(I-2m,ji),B("Hl,)，2)都在该抛物线上,且

.*.|1--，川>|〃?+1■同，

/.1-3m>1或3〃？・1>1，

解得或m<0.

【点评】本题考查二次函数的组象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次

函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系.

27.（7分）阅读思考，解决问题：

小华遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中，点。在边BC上，NB47）=75°,NCAO=30°,AD

=2,BD=2DC,求AC的长.

小华发现，过点C作CE〃A8,交A。的延长线于点£,通过