2024-2025学年福建省莆田某中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2024.2025学年福建省莆田十五中高一(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数z在复平面内所对应点的坐标为(2,4),贝%+2之=()

A.7-8iB.7+8iC.8+7iD.8-7i

2.已知边长为2的正方形48co中，点巴尸分别为48,8c的中点，则旅•荏二()

A.1B.2C.3D.4

3.如图所示，△ABC中，点。是线段的中点，E是线段40的靠近4的三等分点，则屁=()

A.^BA+^'BC

36

B.涧+/

JO

JO

D.痴+加

36

4.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百

姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台48CD—4516优，AB=2,

A1B1=4,侧面面积为12C，则该正四棱台的体积为()

5.在三角形力BC中，a,b,c分别为角4B,C的对边，.且QCOSB+(2c-b)cos4=c,则三角形48C的形

状为()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

6.已知圆锥的底面周长为2",其侧面展开图的圆心角为,加则该圆锥的高为()

A.3B.2/2C.1D./2

7.已知三棱锥S-力BC的四个顶点都在球。的球面上，SA=SB=SC=/10,Aj是边长为C的正三角

形，则球。的表面积等于（）

,64“口IOOTF

A—B'-C.16TTD.36TT

8.已知的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,yf6(sinA-sinC)=sinB,a2=Sc2-^2accosB,

且么力BC的面积为则△48C的周长为()

A.6+2<6B.4+<15C.<6+4D.3+27l5

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a,匕是两条不重合的直线，a,/?是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（）

A.岩a//b,bua,则直线a平行于平面a内的无数条直线

B.若。〃£,aua,bu0,则a与b是异面直线

C.若a〃0,aca,则Q〃0

D.若an/?=b,aua,则a,b一定相交

10.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台OiG，在轴截面4BC0中，AB=AD=

BC=2cm,且CO=248,下列说法正确的有（）

A.LADC=30°

_R七S'A

B.咳圆台轴械面48CD面积为3，5cm2

C.该圆台的体积为宇cm3/\

D.沿着该圆台表面，从点C到力D中点的最短距离为5snK^・・・・LQ・二）。

□.△ABC是边长为3的等边三角形，CD=2D§,则下列说法正确的是（）

A.AD=^AB+^ACB.\AD\=y[7

C.AD-BC=~lD.而在配上的投影向量是一

Zo

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量五与3的夹角为1|菊=1,五•（&+»）=2,则画=_

13.zGC,若|z|—z=l+2i,则2=.

14.如图所示，为了测量河对岸A,B两点间的距离，在这一岸定一基线CD,现已

测出CD=100米，Z-ACD=60°,LBCD=30°,LBDC=105°,^ADC=60°,

则48的长为米.

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

如图，在梯形48CD中，AB//CD,BC1CD,CD=2AB=2^,Z-ADC=45°,梯形绕着直线48旋转一

周.

(1)求所形成的封闭几何体的表面枳;

(2)求所形成的封闭几何体的体积.

16.(本小题12分)

已知向量G=(1,2),b=(-3,k).

(1)若日〃认求⑹的值;

(2)若41(方+2方)，求实数A的值；

(3)若G与族的夹角是钝角，求实数k的取值范围.

17.(本小题12分)

如图，在正方体中，点M、N分别是4*1、丛加的中点.求证:

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：•••复数z在复平面内所对应点的坐标为(2,4),

z=2+4i,

z=2-4i,

A3+2(2-4i)=7-8i.

故选:A.

根据已知条件，结合复数的几何意义，以及共挽复数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，以及共规复数的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：因为在边长为2的正方形48CC中，点E,F分别为AB,8c的中

点，

所以|荏|=：|而|=1,且於在荏方向上的投影数量为2,

所以而1=1x2=2.

故选:B.

根据题意结合数量积的几何意义运算求解.

本题考查平面向量数量积的求法，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE,荏=；而，而=而+前，Bt)=\BC,

.••丽二面+:就，

36

故选:A.

利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论.

本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：取正四棱台A8CD-4的上下底面的中心。口0,棱B[C],8c的中点场,E,

连接。。1，0E,%,01瓦,则。。1，EE1分别是正四棱台「CD-4181cmi的高和斜高,

依题意，SBCCiBi=1(BC+B£)•EE]=3EE1=3y/l,

解得EG=G

在直角梯形。££;。1中，。£7/。1生，0011OE,0E=1,0^=2,

则001=JEEf-(0偈-⑶2=

所以正四棱台48CD-A$iGDi的体积V=1(22+V22x42+42)x"

故选:A.

由正四棱台的侧面积求出正四棱台的斜高，进而求出正四棱台的高，再利用棱台的体积公式求解.

本题主要考查了棱台的结构特征，考查了棱台的体积公式，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：由acosB4-(2c-b)cosA=c及正弦定理，

得si/McosB+(2sinC-sinB)cosA=sinC,

所以si九4cosB+2sinCcosA-sinBcosA=sinQl+B),

^2sinCcosA-sinBcosA=cosAsinB,

即(sinC-sinB)cosA=0,

解得sinC=sinB^&cosA=0,

当sinC=sbi8时，又0<8<"，0<C<TT,

所以C=8或C+8=TT(舍)，所以△ABC为等腰三角形；

当cos/1=。时，又0<4<兀，所以4=p

所以△A8C为直角三角形：

综上所述，△48。为等腰或直角三角形.

故选:D.

利用正弦定理及三角形的内角和定理进行转化，再根据诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的

范围即可求解.

本题考查正弦定理及三角恒等变换，考查三角形形状的判定，属中档题.

6.【答案】B

【解析】解：设圆锥的母线长为八则:加二2兀，可得1=3,

设圆锥的底面半径为丁，贝Ij2nr=2n,得r=1,

.••圆锥的高为h=V32-l2=2/2.

故选：B.

由已知结合弧长公式求得圆锥的母线长，由圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，再由勾股定理求解.

本题考查扇形弧长公式的应用，看查化归与转化思想，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：作出示意图如下：

B

设点H为底面的中心，延长44交于点0,

因为底面正三角形力8c的边长为C，所以力。=|,

所以4H=\AD=1,设外接球的半径为R,

又SH=J(/To)2-1=3>

所以R2=(3-R)2+12,解得R=5

所以球。的表面积为S=4nR2=竽.

故选:B.

直接利用外接球和三棱锥的关系求出球的半径，计算即可.

本题考查三棱锥的外接球问题，属基础题.

8.【答案】A

【解析】解：因为/-sinC)=sinB,

利用正弦定理，可得，秋a-c)=b,①

由G?=5c2+2accosB,利用余弦定理可得a?=5c2+2ac-次:,解得b=y/~6c,②

由①②，解得a=2c,

由余弦定理可得cosB=要严/=-p

所以sEB=

4

所以SMBC=gx2cxcx=VTQ解得c=2,可得a=4，b=2-/6,

所以△/IBC的周长为a+b+c=6+2/6.

故选：A.

利用正弦定理化简已知等式可得V%(a-c)=b,利用余弦定理化简已知等式可得匕=，^c,联立解得。=

2c,由余弦定理川求cosB的值，根据同角三角函数基本关系式可求s出8的值，利用三角形的面积公式解得

a，b,c的值，即可得解△力8c的周长.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了化归与转化思想，

运算求解能力，属于基础题.

9.【答案】AC

【解析】解：a,b是两条不重合的直线，a,/?是两个不重合的平面，

对于4若。〃b,bea,则直线a与平面a内与b平行的无数条直线都平行，故A正确；

对于8,若a〃3，aua,bu0,则a与b是相交、平行或异面，故8错误：

对于C,若戊〃/?,aaa,则由面面平行的性质得a〃夕，故C正确；

对『0,若aR。=b,Qua,则Q,b相交或平行，故。错误.

故选:AC.

对于4直线a与平面a内与b平行的无数条直线都平行；对于B,a与b是相交、平行或异面；对于C,由面

面平行的性质得a〃£；对于D,a,b相交或平行.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面.、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，

是中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于力，由已知及题图知，COS4WC="且0V"WCV》

Z.ADC=60°,故A错误:

对于B,由力知，圆台高为/I=2XSE60O=，5，

•••阿台轴截面48C0面积为S=1x(2+4)x/3=3/3cm2,故8正确；

对于C,圆台的体积U=；x(I?+，一5r■3+2?)x，5n1=故C正确;

对于0,将圆台一半侧面展开，如下图中48CD,且E为40中点，

而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD,且。。=4,

•:乙COD=^=%，:.在Rt^COE中,CE=V42+32=5cm，

即C到/W中点的最短距离为5cm,故。正确.

故选：BCD.

由圆台轴截面的性质求母线与底面直线所成角的大小即可判断出应用梯形面积公式求轴截面面积可判断

B；利用圆台的体积公式求体积可判断C；将圆台侧面展开，结合对应圆锥侧面展开图性质及勾股定理求两

点最短距离，判断D.

本题考查命题真假的判断，考查圆台的结构特征、梯形面积公式、圆台体枳公式、圆锥侧面展开图等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：由题意，|荏|=|砌=3荏•而=3x3x"=|,CD=2DB^

C

21

宿

而

对于-+-

4,AD=AC+CD=AC+l(AB-AC)33

对干氏AD2=(^AB+^AC)2=1AB2-AC+^AC

4411

9339

-X+-XXX-+-X

99297,所以I而|=，7，故8正确:

对于C,AD-~BC=(|AS+(AC-AB)

2—>21—>―>1—>2

=一司48弓4(7

OOO

=—^x9+-x3x3x-4--x9=-->故C正确；

对于D，而在灰上的投影向量是驾瓦^二二瓦;二一:瑟，故。正确.

\BC\Z326

故选：BCD.

对4,根据向量线性运算求解判断；对氏根据向量的数量积及运算律和模的计算判断；对C,由向量数量

积及运算律求解判断；对D，由向量投影的定义求解判断.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

12.【答案】2

【解析】解：因为向量五与B的夹角为％|a|=l,a(d+S)=2,

所以,2+d.3=2,所以@|B|cos<G,b>=1,即lx|瓦cosg=l,

解得|瓦=2.

故答案为:2.

由数量积的运算:及性质即可求解•.

本题主要考杳向量数量枳的性质及其运算，考查运算求解能力，属于基础题.

13.【答案】1+2i

【解析】解：设名=a+bi(a,b€R),

由|z|—z=l+2i,得Va2+炉一(0—忖=1+2i,

B|JVa2+b2-a+=1+2i,

屋+炉—。=1,解得卜=9,

(b=2lb=2

；•z=另+2i,

故答案为：1+2i.

设2=。+6(见6WR),代入|z|-W=l+2i,整理后利用复数相等的条件求解a与加勺值，则z可求.

本题考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题.

14.【答案】5072

【解析】解：由题意，△4CD是等边三角形，^ACB=^BCD=30°,夭

可得CB1AZ),^.AD=CD=100,/

vZ.BDC=105°,Z-ADC=60°,

C1

Z.BDA=45。，

可得=与CD=50/2»

.•.在△A8。中，由余弦定理：AB2=AD2+BD2-2AD-BD•COSZ.BDA=1002+(50<Z)2-ZX100X

50/2x^=5000,

.••解得48=50/1.

故答案为：50A/^.

由题意，4CD是等边三角形，/-ACB=乙BCD=30°,可得C81AD,且40=CD=100,Z.BDA=45°,

可得DB=等CD=50/1，利用余弦定理即可求解48的值.

本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属「中档题.

15.【答案】解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，

(1)其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积=127r+3/2TT+3几=(15+3/2)TT.

(2)其体积V=圆柱体积一圆锥体积=6/3TT-/3/r=5/37T.

【解析】本题考查三视图求解几何体的体积以及表面积，考查空间想象能力以及计算能力.

(1)画出几何体的旋转后的图形，然后求所形成的封闭几何体的表面积；

(2)利用几何体的旋转求所形成的封闭几何体的体积.

16.【答案】解：(1)因为向量左=(1,2),b=(-3,幻，且五〃

所以1x/c-2x(-3)=0,解得A=-6,

所以|另|=J(-3/+(-6/=3V号

(2)因为五+2方=(-5,2+2々),且2_1_0+21),

所以1x(-5)+2x(2+2A)=0,解得k=

(3)因为G与B的夹角是钝角，

则VO且五与b不共线.

即lx(-3)+2x/c<(TbUA-6,

所以kV*且40一6.

【解析】本题考查向量的模、实数值的求法，考查向量平行、向量垂直、向量夹角余弦公式等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

(1)利用向量平行的性质求出k=-6,由此能求出向的值.

(2)利用向最垂直的性质能求出实数A.

(3)由石与族的夹角是钝角，得到且G与石不共线.由此能求出实数k的取值范围.

17.【答案】解：(1)如图，连结MN,4G，AC,

C.

/R

因为点M,N分别是41当，81GL的中点，

所以MN〃/11G，

由正方体的结构特征可知&G〃力c,

所以MN〃/1C,

所以4M,N,C四点共面，即AM和CN共面;

(2)由(1)可知,MN〃AC且MNHAC,

所以AM与CN相交，设交点为P,

因为PW力M,AMu平面48团41，

所以「€平面力88遇1，

又因为P€CN,CNu平面8。。1瓦，

所以PE平面BCG/,

因为平面4BBi&n平面8CGB]=