2024-2025学年北京市海淀区高二年级上册期末练习数学试卷（含答案）

2024-2025北京海淀区高二年级期末试卷

数学2025.01

学校_____________班级姓名

考1.本试卷共8页，共三道大题,19道小题。满分100分。考试时间90分钟。

生2.在试卷上准确填写学校名称，班级名称,姓名。

须3.答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答。

知4.考试结束，请将本试卷交回。

第一部分(选择题共40分)

一，选择题共10小题,每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(I)直线省工+)，-1=0的倾斜角为

(A)I(B)-

3

2兀

(c(D)—

43

正三棱柱ABC-的所有棱长都为4,七产分别是48的

中点，则E尸的长是

(A)26(B)277

(C)4(D)6

(3)已知双曲线。:/-今=1的右焦点为尸(2,0),则双曲线C的渐近线方程为

(A)y=±-x(B))，=±&

-3

(C)y=±-x(D)y=±3x

,3

(4)在四面体。-ABC中，若丽？二丽^尔二双己方二明^^二万人弓二以则初/二

(A)—(a+h+c)(B)-(a+b-c)

22

(C)-(a-b+c)(D)-(b+c-a)

22

(5)已知直线/"+)，+。=0与圆0：/+丁2=4交于48两点.若圆。上存在一点尸，使得四边形Q4P8为菱形，则实数

。的值是

(A)±—(B)±1

2

(C)土&(D)±2

(6)已知/,〃?是两条不同的直线，a,6是两个不同的平面，且/ua,则"///"[”是“〃/〃”的

②若给定点M,0),则对任意的点尸，都存在点Q,使得=

(A)①②均正确(B)①②均错误

(C)①对②错(D)①错②对

(9)如图，在棱长为2的正方体ABC。-48cA中，E为4耳的中点，动点尸沿着线段8G从点4移动

到点G.则下列结论中正确的是

(A)直线与直线为异面直线(B)恒为钝角

(C)三棱锥尸的体积越来越大(D)D万上

(10)在立面直角坐标系中，已知点0(0,0),A(—2,0),090$夕6§亩。),则/04＞的最大值为

(A)-(B)-

64

(C)-(D)—

312

第二部分(非选择题共60分)

二,填空题共5小题.每小题4分洪20分。

(11)已知向量。=(4,九0),8=(1,2,12),且。_L6，则实数加=,|。-例=.

(12)已知圆f+,2=/和圆*一5)2+炉=9相交于AB两点，则半径，可以是_______(写出一个符合题目要求的取值

即可).

(13)已知抛物线C:V=4x的焦点为尸，点尸为抛物线上的点，点。为其准线上的点,且满足。尸J.4'.若|PF|=4,则点

P的横坐标为__,△PQF的面积为_______.

(14)中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰

对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平晌内收缩，如同把角

折起来.如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体ABC。-AAGA中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.在长方体

ABC。-AAGA中，AC=x,4A=2/为M的中点,E与G分别是棱AD与棱AB上的点，且满足

Q

AE=AF=AG.已知委角之后的长方体体积是长方体ABC。-AEGA体积的子则长方体ABC。-A8CA的体

对角线长度为_______.

（15）已知曲线。：42_|刈=〃）,2一|田）给出下列四个结论：

①对任意2eR,曲线C关于x轴,），轴，原点对称.

②当义・1时，曲线。是由两条直线和•个正方形组成的图形.

③当4=-1时，曲线C上任意两点距离的最大值为2夜.

@当义＜0时，曲线C围成的区域面积最小值为4.

其中所有正确结论的序号是.

三，解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题8分)

如图，在斜三棱柱ABC-A禺G中，,点M为AC的中点.

(I)求证：向。〃平面ABM.

(II)若平面44CG_L平面人8C,求证：BM1AC,.

（17）（本小题11分）

已知圆C的圆心为C（3,0），且过点4（1,方），直线/的方程为y=kx-2.

（I）求圆C的标准方程.

（II）若直线/与圆C相切，求A的值.

（III）若。为坐标原点，点〃满足|PO|=21PC|,且点尸在直线/上，求攵的取值范围.

(18)(本小题11分)

如图，在四棱锥P-A6C£＞中，申_LAB,8C_LA8,AQ//4C,勿=4)=2,48=6，8。=1,£：为凡)的中点,平面

BCE与被PA交于点、F.p

(I)求证：/为Q4的中点./j\\\

(II)若G为CO的中点，再从条件①，条件②这两个条件中选

择一个作为已知，求二面角A-/G-£的余弦值.

条件①：BCLPB.

条件②：PG=y/l.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(19)(本小题10分)

设曲线W:F(x,)，)=0,对曲线W进行如下变换：将W上的任意一点P(x,y)沿着向量〃=仇&)平移,得到点

P"+〃》+&),称该变换为了仇外变换，得到的曲线记为W'

(I)若曲线w：x+)，+i=o,对w进行r(-i,o)变换,直接写出曲线M的方程.

(II)若曲线W：8U+0』=1经过7(瓦外变换后得到的曲线W关于原点对称.

43

(i)直接写出〃+A的值和曲线的离心率.

(ii)已知点43,0),过曲线W的右焦点A/作直线/与曲线W，交于P,Q两点.

对于下列两个问题，只需选做一个，第一个问题满分为6分，第二个问题满分为8分.若选择两个问题作答，则按

序号较小的解答计分.

①记^MAP,△MAQ的面职分别为航，反，若S=2s2,求直线/的斜率.

②直线”,AQ分别与直线x=5交于D,E两点，若=孩，求直线/的斜率.

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海淀区2024-2025学年第一学期期末练习

高二数学参考答案及评分建议

一、选择题：

题

12345678910

号

答

DABBCCDADB

案

二,填空题(共5小题,每小题4分洪20分)

(11)-213(12)3(答案不唯一)

(13)3—(14)4

3

(15)①②③

说明：两空题悌一空2分,第二空2分.

15题对一个给1分，对两个给3分，都对给4分，有错的则给0分

三,解答题(共4小题洪40分)

(16)(共8分)

解：(I)连接A优交A8于点N,连接MN.

因为用A为平行四边形，所以N为4用的中点……1分

在AABC中，MN为中位线,所以MN〃与C,……2分

又gCa平面4ZM/,MVu平面44M,...3分

所以4。/平面48M.……4分

(II)在AABC中,A8=8C,点M为AC的中点，所以8MJ_AC,……5分

因为平面A|ACG_L平面44c.

平面A14CG口平面A8C=AC,8Mu底面ABC,...6分

所以8WJL平面/%C£……7分

又AGu平面A4CC,所以BM_LAG.……8分

(17)(共11分)

解：(I)因为圆C的圆心为C(3,0),且过点4(1,6).

所以圆C的半径r=|C4|=J(3—1尸+(0-75)2=3,……2分

所以圆C的标准方程为(x-3/+J?=9.4分

(II)因为直线/与圆C相切.

所以圆心r(3,0)到直线--2=0的距离为3,

所以〃=能斗=3,……6分

解得％=—上.……7分

12

(III)设P(x,y),因为点尸满足|P01=21PC|.

所以Jf+J=2/彳_3产+)，2，即*—4)2+)，=4,...9分

所以点P在以(4,0)为圆心，半径为2的圆上.

又因为点尸在直线/上.

所以圆3-4)2+)2=4与直线/有公共点，……10分

所以圆心(4,0)到直线"一y—2=0的距离d=.中"I<2.

J2?+1

4

解得火……11分

3

(18)(共11分)

解：(I)因为40〃8cAOz平面8CE,8Cu平面8CE.

所以40〃平面8CE.……1分

因为AOu平面皿＞,且平面BCED平面PAD=EF.

所以4。//EE……3分

在中，因为E为尸。的中点,所以厂为孙的中点.……4分

(II)选择条件①.

因为AB工BC,BCLPB,且废0人2=8,所以8C_L平面

因为小u平面as,所以……5分

乂因为且AB[}BC=B.

所以E4I底面4«7X....6分

以A为原点，以A反AD,AP的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向.

建立如图所示的空间直角坐标系.……7分

由题意可知40,0.0),C(x/3,l,0),0(020),E(O,1J),F(O,O,1),G(—,-,0).

22

n-FE=0

所以8分

n-EG=0

y=0,

所以百1n

—x+-y-z=()

22,

令x=2,得z=\/5,所以〃=(2,0,G).9分

同理，求得平面4尸G的法向量m=(-x/3,L0)

可得cos<m,it>=—10分

m\\n\7

乂因为二面角A-AG-E的平面角为钝角.

所以二面角A-FG-E的余弦值为-亨.

11分

选择条件②.

因为A8=G,4C=1,N44C=^，所以AC=2.

2

在AAS中,G为C。的中点,AC=4),所以AG_LCD,且AG=6

在ARAG中,幺=2,46=&,。6=>/7,则PAA.AG.5分

又因为Q4J_AB.

且A8DAG=A,所以B4_L底面A8CZ).6分

下面同条件①.

(19)(共10分)

解：(I)W的方程为x+y+2=01分

£

(II)⑴〃+&=0,2分

2

(ii)法一:

)广

依题意,IH:三+—=1,"(1,0),设直线/:)，=々(4-1),4分

43

设。(％,)，］),。(.小必)・

联立方程、,得(3+4公)/—8h+4公-12=(),5分

3x~+4y-=12,

所以A=144(22+I)>O.

8公4k2-12

6分

…=诉乎"MT

选择①:

因为4=2s2,所以1|41/||3=2心4州|必|),»1=-2%.

7分

所以k{xx-1)=-2k(x2-1),X1+2x2-3=0.

4*2-9

N+2々一3=0%=3+4公

8k243+9

所以X+X,------7所以

1-3+4二3+4公

4k2-124公-12

解得女=±且，所以/的斜率心土正.

……8分

22

选择②:

因为A(3,0),所以AP:y=—^(x—3).

x-3

令x=5,得。(5,义匚).

……7分

-3

同理皿悬）•

2k(x-1)2k(x-1)1)

所以|。目=12=|24

X]-3X]—3r,

22

"|(1+--)-(1+—-)=|4Z;|...8分

王一3x2-3-3(西+%)+91

T71IR\2\lk2+1

124、1

3+4上厂48kJ/?+1

所以冏=|软|...9分

4^-12.16》+15

--------、-------+9

3+4代、3+4k2

48M2+1解得』？

所以

16k2+1584

所以直线/的斜率为k=±3

……10分

4

法二:

22

依题意,W':二+二=1,"(1,0),设直线/:X=ry+1,4分

43'

x=ty+L

设尸（大,乂），。（孙