2025年山东泰安市高考三模数学试卷（含答案详解）

2025年高三（下）三模考试（泰安）数学试卷

2025.5

本试卷共4页，19小题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条

形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,回答非选择题时，将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4。分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求.

1.已知集合力="1,一2|<2},则NcZ=（）

A.0B.{L2}C.{2,3}D.{1,2,3）

2.在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7,

9,5,8,4,1,则这组数据的平均数和极差分别为（）

A.?,8B.g,8C.口D.

3333

3.已知2ian"1=0,则8S；；sin,二（）

sint/+2cost/

1331

A.-B.—C.D.一

5445

4.正方形48CQ中，而=2而，CQ=2QB,设而几则尸0=（）

1--1一1--1-

A.——a+b7B.a—hC.——a+bTD.a—b

4433

\1Y

5.2x—的展开式中,3项的系数为（）

Ixj

A.-55B.-64C.-80D.-124

6.对于响应变量y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的j称为预

测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份x与该月的对应销量N

试卷第1页，共4页

（单位：万件）整理成如下表格:

月份X12345

销量y0.5S1/1.4

建立y与x的线性回归方程为i=0.21x+0.37,则第2个月和第4个月的残差和为（）

A.-0.919B.-0.1C.O.iD.0.919

7.已知正三棱柱的表面积为6石，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（）

A.3B.辿C.迪D.也

334

8.设双曲线C：的左、右焦点分别为百，鸟，P为C上一动点,则尸到y轴的

距离与Q到片，8距离之和的比值（）

A.恒为定值四B.恒为定值自

42

C.不为定值但有最小值正D.不为定值但有最大值除

42

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知公比为4（g>0）的等比数列｛%｝的前〃项和为S,，已知q+/=3,q-%=T，则

（）

A.a、=6B.夕=&C.^4=2>/2D.S10<78

10.定义复数运算：Z]㊉?2=Z[Z2+ZR2,已知z=l+2i,若复数啰满足z㊉3=10,则（）

A.3可以是3+iB.网的最小值为石

C./在复平面内对应的点不可能位于第二象限D.2@的实部是5

II.定义域为R的函数函力满足:①/（/（》+），））=/（幻+/3），②/"）的图象过点（1/），

则（）

A./（0）=0B.“X）为偶函数

C./（戈）的图象关于点（生）中心对称D.7（2025）=2026

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

试卷第2页，共4页

12.已知V"C中，AB=6/B=T，BC=4,则/1C=_____.

6

/\2025

13.数列｛qj的通项公式为t=2cos7，则2。"=______.

I4/n=|

14.若函数满足:存在整数明实数M(0,1),使得/(。)=/(。+与,则称/(x)是“滞

后的”.已知函数，g(x)=・sin5(0>O)不是“滞后的”，则。的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.已知函数/(x)=sin(s+°)(">0,|同,圆C：卜一;+/=*.

(1)若/(x)两条相邻的对称轴与C相切，求①，0;

(2)若9=5，$("1,2,…)是/但)的极值点，且点(%,0)1=12…)有且仅有两个在C的内部，

求少的取值范围.

16.已知函数/(x)=，一a)lnx+((7-l)x,a>0.

(1)当a=2时，求曲线V=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程：

(2)探究是否为/(幻的极大值点.

17.乒乓球比赛规则规定：在双方打成1()平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛

中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为:，且对以后的每一

2

球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为]，若乙同学在本球中未得分，则

他在下一球的得分概率为;.

(1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率：

(2)求乙同学最终获胜的概率.

18.已知产为抛物线6/=?尸5>0)的焦点，点C(4.0)满足|。川=3|。",其中O为坐标

原点，过尸的直线交上于48两点，点力在第一象限，过点力作直线的垂线，交戈轴

正半轴于点直线8C交直线4”于点N.记△43,VBCF,△OWN的面积分别为5,

S],$3.

(1)求上的准线方程；

⑵证明•一!一+」一=1•

।川刀.1,4尸|\BF\，

试卷第3页，共4页

1.D

【分析】由绝对值不等式的求解及交集运算可得结果.

【详解】因为力={xlk-2|<2}={H0<x<4},故/cZ={l,2,3}.

故选：D.

2.A

【分析】根据平均数，极差的定义求解.

【详解】根据题意，这组数据的平均数：=1+4+5：7+8+9=二,极差为9-1=8.

63

故选：A.

3.D

【分析】由同角的三角函数关系式，将原式化简为关KanO的式子，然后将己知代入求解

即可.

1二

【详解】由题意可得tan*；,cos0-3sin0_1-3tanO_2_1

sin。+2cos。tan+21+？5

2

故选：D.

4.C

【分析】根据向量的线性运算可求A0.

【详解】

__2__1__

由题设有网=苏+万+殖，其中Q=BQ=-BCT

______2__i__

在正方形45CQ中，BC=AD»所以尸彳++8。=—$+6+铲=—丁+6

故选：C.

5.C

答案第1页，共13页

【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可.

(1V

【详解】2x--展开式的通项公式为

Ix)

加=q•(2x)s-r(—|={一『•方'・G•n25,reN

kx)

令5—21=3,得/,=1,

所以展开式中V项的系数为(-1).2匕(3；=-80.

故选：C.

6.C

【分析】先求平均值，将其代入回归方程，故s+f=2.1,将2,4代入线性回归方程，根据

残差概念计算即可.

-0.5十s十1十/+1.4s+t+2.9

【详解】由题意可得三"2+；+4+5二3,v=-------------=--------•

将其代入回归方程，得7=1，故s+/=2.1,

将2,4代入线性回归方程，则第2,4个月的预测值分别为£=0.21X2+0.37=0.79,

「=0.21x4+0.37=1.21,

故第2个月和第4个月的残差和为5-0.79+-1.21=0.1.

故选：C.

7.B

【分析】设正三棱柱的底面边长为。，高为力，由已知可得〃=与二，0<a<2栏,求出

体积P的表达式，利用导数求最大值得解.

【详解】设正三棱柱的底面边长为。，高为力，

q

则其表面积S=2x立“2+3"=6④，得〃=12r，又力>0,所以0<q<2>/J，

42。3a

故正三棱柱的体积P=立。%=]2a-a^,

48

则片⑷=[一),当0<"2时,r(a)>0,『(a)单调递增,

28

当2<"2小时,叫小0,/(。)单调递减,

所以当。=2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为独.

答案第2页，共13页

故选：B.

8.A

【分析】设点P（x/）,由两点间的距离公式得到。到y轴的距离与P到片，入距离之和的

J(x-&)’+y2-,卜+可+y

比为,再结合双曲线的定义即可判断.

4x/2

【详解】不妨设点?（x,y）,且易有片（-四,0）,^（x/2,0）,且四二小+可+/,

代入得P到y轴的距离与P到£,乃距离之和的比值为

H,卜一勾+/卜可

M+J'

J(x_0)'+/+J(x+可+/（x-后）+/_1+屈）_/

W,1可+/,4+可+/卜0+产«+，>丁

4尬

J（.・可+产正用+y2等价于点P到士与鸟的距离

由于尸为双曲线C上一点，故

之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2,

故原式等价于j=正，为定值.

4V24

故选：A.

9.BCD

【分析】由等比数列通项公式求得首项及公比，进而逐项判断即可.

【详解】联立方程，解得4=1,%=2,故A错误;

<72=-=2,解得g=&:负值己舍），故B正确:

%

（=%=。1x/=2板，故C正确;

lx(x/2,0-l)

=31(收+1)<31x|<78，故D正确.

5,0=V2-1

答案第3页，共13页

故选：BCD.

10.BCD

【分析】由新定义的运算化简可得“-2/)=5,即可判断A,由复数的模长公式即可判断B,

由复数的几何意义即可判断C,由复数的乘法运算，即可判断D.

【详解】设。=。+加,代入z由。=10,即(l-2i)(肉一历)+(l+2i)(a+bi)=10,

解得2)=5.

对于A,3-2=1不满足。-26=5,故A错误；

对于B,|^|=y/a2+b2=+201+25=6x{(b+2＞+l,

故国的最小值为石，故B正确;

对于C,。-26=5n^=；a],所以。在复平面内对应的点坐标为(小三公],

当等＞0,则。＞5,所以该点不可能位于第二象限，故C正确；

对于D,Z/=3+加)(l+2i)=a-26+(24+6)i,其实部为a-2b,

因为。-26=5,即其实部为5,故D正确.

故选：BCD.

11.AC

【分析】令x=l,y=O,即可判断A；令^=一工，结合A即可判断B：令y=l-x,即可

判断C：由上述结论得出/(X)=/(x-l)+l即可判断D.

【详解】由①，〃/(x+j))=/(x)+/(y),

对于A,令x=l,y=o,则于/。))=/(1)+/(0),

由②可知〃1)=1,所以"1)=。。)+〃。),解得/(知=0,故A正确;

对于B,令31,则/(f(0))=/a)+/(r)=/(0)=0,BPf(-x)=-f(x)t

故/(x)为奇函数，故B错误；

对于C,令y=i-x,则/(/(l))=/(x)+/(l—幻=/⑴川，

即/(X)的图象关于点(3,；)中心对称，故C正确；

对于D,由于“X)+/。-X)=1且/(-x)=-/(x),

则有/(x)-/(x-l)=l,即/(x)=f(x-1)+1,

所以/(2)=/⑴+1=2,/⑶="2)+1=3,…,7(2025)=2025,故D错误,

答案第4页，共13页

故选：AC.

12.V7

【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解.

【详解】在V/8C中，AB=6/B=JBC=4,

由余弦定理得：JC2=(>A)2+42-2V3-4COS^=7,解得力。=屿.

6

故答案为："

13.V2

【分析】根据题意，得到c”+8=%，得到｛g｝是以8为周期的数列，结合数列的周期性，即

可求解.

【详解】由g=2cos(q|,可得C“+8=2COS("：)允=2co(])=j

所以｛。｝是以8为周期的数列，且2025=8x253+1,…+q=(),

2025

所以工g=。+0+…+425=253x0+。=&.

n=1

故答案为：血.

14.(0,l]U｛^｝

【分析】根据给定条件，利用“滞后的”的定义，结合单调性及零点分类求解.

【详解】由“滞后的”的定义,知单调函数必不为“滞后的”,

当0<0«1时，则8'(*)=1-3853"0,函数g(x)在R上单调递增，符合题意；

依题意，g(0)=0-sin0=0,若g(x)在(0,1)上存在零点，则g(x)符合“滞后的”定义,

有g(l)=l-sinoNO,当且仅当/=：+2E,斤wZ时取等号，

当。>1且+左wZ时，gx(0)=l-6y<0,g(l)>0,

因此函数g(x)在区间(0,1)上一定存在零点，不符合题意；

当o=；+2E,keZ,421时，函数g(x)在区间(0,1)上至少存在1个零点，不符合题意：

2

当。=微，g(6r)=«-sin69t7,〃eZ,则sin的eZ,g(a)wZ,

答案第5页，共13页

而g3+b)=a+Z)-sin写伍+划不为整数，符合题意，

所以0的取值范围为(O,l]Ug}.

故答案为：(o1]ug

7in

15.⑴3=彳，^=-7

36

⑵俘

【分析】(1)根据题意，可得马=3,求得"，再根据x=2是/(x)其中一条对称轴求得。的

(0

值；

(2)由题可得妙+?=W+E,AeZ,求得x=如，AwZ,又圆。与x轴交点分别为

22(0

(-1,0),(2,0),得-1＜竺＜2(%wZ),易知人能且仅能取0,1两个值，由此求得答案.

(O

【详解】(1)由题，/(X)相邻对称轴间的距离为乌，又圆。的直径为3,则巴=3,得

又圆心c(g,o),所以/(x)其中一条对称轴为X=2,

2X—4-^=—+^71,得9=一色+%瓦，keZ,又刨《四，:.(p=-^~.

32626

(2)若8=],则/(x)的极值点满足s+=kwZ,得*=崇,AeZ,

又圆C与x轴交点分别为(-1,0),(2,0),

所以原题设等价于有且仅有2个攵的值满足-1＜—＜2(^GZ),

(0

整理得-竺＜%〈加，故4:能且仅能取0」两个值，

itn

所以1＜阴42,解得“e停用.

7T12」

16.(1)^=1

(2)不是极大值点

【分析】(1)根据导数的几何意义求解：

(2)假设是/(X)的极大值点，由极值点定义推理找到矛盾，得解.

【详解】(1)当〃=2时，/(x)=(？-2)lnx+x,/(1)=1,

则/")=2xlnx+二心+1,川)=0,

X

答案第6页，共13页

所以曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为尸1=0.

(2)易得(x)=2xInx+——+a-1,

假设x=4是/(X)的极大值点，则/⑷=0,即2aln。+巴二+。-1=0,

a

化简得alna+a=1,

当0<。<1时，alna<0,tilna+a<1,

当时，6/lntz>0,a\na-\-a>\,只有当a=1时，上式成立，

故r(x)=2x\nx+---,当x>1时，2xln.r>0,-——->0,则/。，

但由假设知x=a=1是/(x)的极大值点，

于是由极大值的定义知存在与，使得xw(l，4)时，/'("<0,与假设矛盾.

所以x=a不足/(X)的极大值点.

17.(1)!

9

⑵M

【分析】(1)根据条件概率的计算公式求解:

(2)设事件。为“乙嬴了本局“，事件"为“乙赢了上一局”，设事件。(r-1,0,1)为，、当前

乙同学分数与甲同学分数之差为，时，最终乙同学获胜”，由于初始q(C)=",故乙同学最

终获胜的概率等价于而)，分，.=1,j=-i,i=0三种情况讨论求出概率的表达式，解

方程组求出尸(4何)得解.

【详解】(1)在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球,

设事件A为“再打两球后结束”，事件8为“乙赢得比赛”,

12222P（^）=lIx12=|2

则p（4）=—x—+—x—

33333

故/⑶/力।）\二P（木4B2）

3

(2)设事件。为“乙赢了本局“，事件M为“乙赢了上一局”,

设事件=0』)为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为/•时，最终乙同学获胜”,

答案第7页，共13页

当i=l时，乙肯定赢了上一局，此时。(C)=g,若赢球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜

的概率为尸(卬间，

所以P(A)=P(A|C).P(C)+P⑷

同理，当/=7时，乙肯定输了上一局，此时p(c)=g,若输球则输掉比赛，若赢球则获胜

的概率为P(A|M),

所以尸(2)=P9JC).P(C)+P(QT@.P©=[P(RA/),

当i=0时，若乙赢了上一局，此时玖C)=],若赢球则获胜的概率为p(2),

若输球则获胜的概率为产(。一3

_?1

所以P(AM=P(A)P(C)+P(2)P(C=5P(A)+5P(必),

若乙输了上一局，P(C)=；,

同理可得尸(4|町二尸(。)尸(c)+pgjp©=；Q(A)+“9J,

又初始尸(c)=1,故乙同学最终获胜的概率等价于川41间，

尸(4)=汨尸。。忖)

P(2J=；P(O°M)

解得尸(A的)=[.

所以21

P(Q°M=§P(QJ+V)

明问=+(")+》(QJ

2

所以乙同学最终获胜的概率为

18.(l)x=-l

(2)证明见解析

(3)最小值日，此时力(2,2五)

【分析】(1)根据|C尸|=3|O9列出关于。的方程,即可求解:

(2)设直线48:、=叩+1(加工0),4(%,乂)，8伍,为)，与抛物线方程联立得出韦达定理,

再根据抛物线焦半径公式即可证明：

答案第8页，共13页

⑶令乂=2，（/>1）,则为=-：，x=/，即力（『,2/）,3仪,一,，求出见,6,

进而得出母-S?）^,根据导数即可求解最小值及点力的坐标.

【详解】（1）点。（4,0）满足|b|=3|O可，则4-§=3x§,解得p=2.

乙1

故£:y2=4x,准线方程：x=-1.

（2）设直线/<6：.*=〃少十1,（〃50,否则直线4V〃x轴，不合题意）,

联立0x=m7v+1消元得、-4〃吐4=。，

设4（和凹）,8（多必），则必必=T,中,=岑2=1,

16

由抛物线定义有I4尸1=再+1,|8"卜W+1,

L+」1I$+再+2_/+跖+2

则1,得证.

|AF||BF|X)+1x2+1工]/+m+石+12+跖+2

（3）令乂=2«/>1）,则为=[,代入抛物线方程可得再=巴X2=]_f即/（/？），

_1_二、

B

厂t）

由于4且直线45的斜率％=九二乜=/，

西一马r-1

故直线4W：X一/二一二⑶一力），即.丫=一三y+

r-1r-\r-1

r+3»

令y=o,则得点〃的横坐标为X”

/2-1

（12、47'-1

由Ba,一一,C（4,0）可得直线8C:x=--------y+4,

2/'

=__2t_r+3/

联立「y『一1,解得点心纵坐标八="二上

.竺二iy+4'〃"+1

2t

因此，(S|-$2)$3=-\CF\\y]+y2\--(xM-4)|>;v|

L3xN」gj2/(/4-/2+4)

2t2(--14/4-r+1

t"+4『_3(xj+4/

42

一*4t-t+\4x：-X]+\

答案第9页，共13页

记/（X）=号。

,x>\,

2(.r2-,V+4)(2A-1)(4x2-x+l)x2-x+f(8x-)

则r（x）=

(4x2-x+1)2

X2-X+4)[2(2X-1)(4X2-X+1)-(V2-X+4j|

(4x2-x+1)-

(X2-X+4)(8X3-3X2-27X+2)

(4x2-x+1)-

(JV-2)(X2-X+4)(8X2+13A--1)

(4x2-x+l)~

因为当X>1时，y=x2-r+4>0,y=8x2+13x-1>0,

所以xc（l,2）时，/"（x）＜D,xw（2,+e）时，f（x）＞0,

故/（x）在区间。，2）上单调递减，在（2,+a））上单调递增，

因此当玉=2时，（S「S2）S3取到最小值葭，此时/（2,2贝）.

【分析】（1）由题可得/历1。=二，即，利用线面垂直的判定定理证明4。_1平面尸＜8,

2

根据面面垂直的判定定理得证；

（2）作尸，1/8,得尸H_L平面力8CQ,^]PB2+PA2=AB2=\6,利用基本不等式得

PA-PBJ*”B=8,结合三角形面积公式得?"=丝善41=2,同理可得

2AB4

答案第10页，共13页

由此得解；

(3)取力8的中点N,以汽为原点，N8为x轴，过点M且平行于力。的直线为N轴，过点

N且平行于尸〃的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，由几何关系可得

尸[土三一,0,亭J,设点C(2/cos%2&sine+2,0),其中NCM，=]—a,求出正和平

面力6c。的一个法向量，表示直线PC与平面H6C。所成角的正弦值，根据三角函数求出最

值得解.

【详解】(1)由题，四边形力8CQ在球O的一个圆面的圆周上，故/BAD+NBCDr

7T

又BCLCD,故NBAD=—,故141加)，

2

由P8_L平面。力。，/Ou平面尸/。，得PB上4D,

又ABcPB=B,48u平面48,PBu平面PAB,

故4O_L平面48,

又4Ou平面力8C。，故平面R48_L平面力8CQ.

(2)作尸H_L48,由平面P/18_L平面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,PHu平面PAB,

可得