2025年高一数学暑假作业8：统计与概率（北师大版）含解析

高一暑假作业8：统计与概率（北师大版）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，

下列说法正确的是（）

A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体

C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100

2.下列说法正确的个数为（）

①彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就肯定能中奖；

②概率为零的事件一定不会发生；

③抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大；

④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小

球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么这种游戏是公平的.

A.1B.2C.3D.0

3.（2025•浙江省•单元测试）某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视

形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年

级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）

A.32B.45C.64D.90

4.（2025•安徽省蚌埠市•期木考试）抛掷颗质地均匀的骰了，有如下随机事件：A="点数不大丁3”，

B=”点数不小于3"，C="点数大于4"，D="点数为奇数”，E="点数为偶数”，下列结论正

确的是（）

A.A,3为互斥事件B.B,。为对立事件C.C,。为互斥事件D.O,E为对立事件

5.（2025•湖北省•同步练习）“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时

候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车.已知李明骑单车的概率为0.7,乘坐公共汽车的概率为0.3,而且

骑单车与乘坐公共汽车时，李明淮时到校的概率分别为0.9与0.8,则李明准时到校的概率是（）

A.0.9B.0.87C.0.83D.0.8

6.（2025•河北省•单元测试）为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整

数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均

取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）

A.甲班众数小于乙班众数B.乙班成绩的75百分位数为79

C.甲班的中位数为74D.甲班平均数大于乙班平均数估计值

7.（2025•重庆市市辖区•月考试卷）在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进•个白球，此时由这个口袋中

取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大则口袋中原有小球的个数为（）

22

A.5B.6C.10D.11

8.（2025•浙江省温州市•同步练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德

巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数（质数是指在大于1的自然数中，除了1和

它本身以外不再有其他因数的自然数）的和，例如：8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的

数，其和等于14的概率为（）

1cl-1r]

A.-B.—C.—D.—

6121415

二'多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.（2025•广东省♦单元测试）下列说法正确的是（）

A.用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为

1

而

B.将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；

C.将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；

D.一组数据内，与，，Noo的平均数是5,方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数

据的方差是-

10.(2025•山东省•模拟题)如图是2。24年11月27日国家统计局发布的2023年1-10月到2024年1—10月

的各月累计营业收入与利润总额同比增速的折线图，则()

同比增速/%25・

-25卜

2023年1-11月1T2月202碑1-3月1T月1-5月1-6月1-7月1-8月［-9月10月

IT0月1-2月

—累计营业收入同比增速一•一累计利润总额同比增速

A.累计营业收入同比增速的方差大于累计利润总额同比增速的方差

B.累计利润总额同比增速的极差为18

C.累计营业收入同比增速的众数为2.9

D.累计利润总额同比增速的40%分位数为-2.3

11.(2025•湖南省郴州市•月考试卷j某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项

中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分已知某选择题的正确答案是CD,且甲、

乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是()

A.甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是g

B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是,

6

C.丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是9

D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率'

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2025•江苏省南通市•月考试卷语事件A与8相互独立，P(A)=0.7,P(3)=0.8,则

P(AuB)=

⑴写出9的所有无序2拆分；

(2)从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为-ABC的三边长”的概率.

17.12025•江苏省无锡市•月考试卷)(本小撅15分)

某企业生产两种如图所示的电路子模块R,Q：要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元

件，且备选电子元件为A，B,。型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响.在电路子模块

R中，当1号位元件与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q

中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工

作.

模块R模块。

⑴若备选电子元件4,B型正常工作的概率分别为0.9,0.8,依次接入位置1,2,求此时电路子模块R

能正常工作的概率；

(2)若备选电子元件A,。型正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,试问如何接入备选电子元件，电

路子模块。能正常工作的概率最大，并说明理由.

18.(2025•湖南省•单元测试)(本小题17分)

某部门举办法律知识问答活动，随机从该市18〜68岁的人群中抽取了一个容量为〃的样本，并将样本数

据分成五组：[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68],再将其分别编号为第1组、第2组、…、第5组.该部

门对I可答问题的情况进行统计后，绘制了下表和如图所示的频率分布直方图.

回答正确回答正碉的人数占

组号分俎八频率

的人数本组的比例

第1组（18,28）50.50.030--------------------

0.025--------------------------

第2组（28.38）18a0.020---------------

0.015-------------------------------

第3组[38.48）270.9

0.010---1-

第4俎（48.58）X0.36

-------——--------------->-

O182838485868年龄后）

第5组[58.68]30.2

⑴分别求出小x的值.

(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人?

⑶在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率.

19.(2025•江苏省无锡市♦月考试卷j(本小题17分)

某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏.其规则是：将沙包扔向指

定区域内，该区域共分为A,B,C三个部分.如果扔进A部分一次，或者扔进8部分两次，或者扔进C

部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏.小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A

部分的概率为P，扔进B部分的概率是扔进A部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立.

⑴若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为!，求p；

4

(2)设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为R；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为

巴，试比较R与鸟的大小.

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查对统计中的基本概念的理解，也容易出错，是基础题目.

根据统计中的总体、个体、样本和样本容量的定义判断.

【解答】

解：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况：

总体是100()名运动员的年龄；

个体是每个运动员的年龄；

样本是100名运动员的年龄；

样本容量是100，只有。正确.

故选D.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题以命题的真假判断为载体考查了概率的定义及实际意义，属于基础题.

根据概率的定义及实际含义，分别判断4个结论的真假，可得结论.

【解答】

解：对于①，彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就不一定能中奖，故错误：

对干②，概率为零的事件为不可能事件，一定不会发生，故正确；

对「③，抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面一样大，故

错误；

对于④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个

I2

小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，则甲、乙获胜的概率分别为一，一，那么这种游戏是不公平的，

33

故错误；

故说法正确的个数为I个.

故选：A.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查分层抽样，考查扇形图和频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，

是基础题.

由扇形图和频率分布直方图求解高一近视人数以及高三人数，然后根据分层抽样求解.

【解答】

解：由题意可知，高一近视人数为1800x0.1=180

抽取比例为黑=:，

1805

故抽取到的高三学生数为1500x0.3x1=90,

故选D.

4.【答案】D

【解析】解：A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，

则样本空间为{123,4,5,6},

事件A包含的基本事件有点数为1,点数为2,点数为3,

事件8包含的某本事件有点数为3,点数为4,点数为5,点数为6,

由于AcB有共同的基本事件，即点数为3,AC3W0,故4,8不为互斥事件，A错误；

3选项，事件C包含的基本事件有点数为5,点数为6,

结合4选项，显然B,。包含共同的基本事件，不互斥，不对立，8错误；

C选项，事件。包含的基本事件有点数为I，点数为3,点数为5,

结合8选项，可知C,。包含共同的基本事件，不互斥，C错误；

。选项，事件E包含的基本事件有点:数为2,点数为4,点数为6,

结合C选项，DcE=0,且=

所以。，£为对立事件，。正确.

故选：D.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了互斥事件和相互独立事件同时发生的概率，属丁基础题.

利用相互独立事件同时发生的概率得李明骑单车和乘坐公共汽车准时到校的概率，进而即可得出结论.

【解答】

解：因为李明骑单车的概率为0.7,乘坐公共汽车的概率为0.3,而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准

时到校的概率分别为0.9与0.8,

所以李明骑单车准时到校的概率为0.7x0.9=0.63,李明乘坐公共汽车准时到校的概率为0.3x0.8=0.24,

因此李明准时到校的概率是0.63+0.24=0.87.

故选：B.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查频率、频数分布直方图，考查百分位数、平均数、中位数、众数，属于中档题.

利用频率、频数分布直方图，结合百分位数、平均数、中位数、众数的定义逐项分析即可判断.

【解答】

解：对于A,由图知：甲、乙两个班级学生的物理成绩的众数分别为79,75,所以甲班众数大于乙班众

数，故人错误；

对干8,由图知：(0.020+0.025+0.030)x10=0.75,

所以乙班成绩的75百分位数为80,故〃错误；

对十C,甲班学生的20个物理成绩的中位数为：从低到高排列的第10与第11位成绩的平均值，由图知：

第10与第11位成绩均为79,故甲班物理成绩的中位数为79,故C错误；

对于由图知：甲班随机抽查的20个成绩的平均数为

《(2x57+58+59+67+2x68+2x69+6x79+87+2x88+89+98)=74.8.

由图知：乙班随机抽查的20个成绩的平均数估计值为

(55x0.020+65x0.025+75x0.030+85x0.020+95x0.005)x10=71.5,

用样本估计总体，甲班平均数大于乙班平均数估计值，故。正确.

故选D

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查古典概型概率的求法，是拔高题.

设口袋中原有小球的个数为Zi个，即装有白球八个和黑球八个口袋中放进一个白球，由此时由这个口袋中

取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大」列出方程能求出口袋中原有小球的个

22

数.

【解答】

解：设口袋中原有小球的个数为〃个，

即装有白球x个和黑球”个口袋中放进一个白球,

此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出i个白球的概率大一，

22

x+1x_I

2x+l2x22

解得x=5,

口袋中原有小球的个数为2.K=10.

故选：C.

8.【答案】。

【解析】【分析】

本题考查了古典概型的计算与应用，求出总基本事件数和满足条件的事件数是解题的关键，属于基础题.

总基本事件有15个，满足要求的只有1个，即可得到答案.

【解答】

解：不超过14的素数有2,3,5,7,11,13其6个，

从这6个素数中任取2个，

有2与3,2与5,2与7,2与II,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,

5与7,5与II,5与13,7与11,7与13,11与13共15种结果，

其中和等于的14有一组3与11,

所以在不超过14的素数中随机述取两个不同的数其和等于14的概率为

故答案选：D.

9.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查分层随机抽样、随机事件发生的概率、平均数、方差，属于基础题.

结合分层随机抽样、随机事件发生的概率、平均数、方差的概念逐项分析判断即可.

【解答】

解：对A:分层抽样时，每个个体被抽到的概率均耍相等，A正确；

对B:将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍，8正确；

对C：将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的9倍，C错误；

对D：一组数据内，A-2,,百仅)的平均数是5,方差为1,现将其中一个值为5的数据剔除后，

余下99个数据的平均数仍旧为5,方差为1X10015—5)2=吧,故。正确.

故选ABD.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于人，因为方差是用来衡量一组数据波动大小检量，

所以由折线图知：累计营业收入同比增速的折线相对累计利润总额同比增速的折线波动较小，

因此累计营业收入同比增速的方差小于累计利润总额同比增速的方差，故4错误：

对于从由折线图知：累计利润总额同比增速的极差为10.2-(-7.8)=18,故8正确；

对于C，由折线图知：在累计营业收入同比增速中，2.9出现了3次，

因此累计营业收入同比增速的众数为2.9,故C正确；

对卜Q,因为累计利润总额同比增速的数据从小到大排序为：

一7.8、-4.4、-4.3>-3.5>-2.3>0.5、3.4、3.5、3.6、4.3、4.3、10.2共12个，而

12x40%=4.8,

所以累计利润总额同比增速的40%分位数为-2.3,故D正确.

故选：BCD.

11.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查古典概型的计算与应用，属「中档题.

对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率

后可得正确的选项.

【解答】

解：甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为{A}.{8},{C},{。},

随机事件”若能得2分”中有基本事件{C},{。},则“能得2分”的概率为!，故A正确；

乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为{A8},{A,C},{AO},{3,C},{3,O},{C,D},

随机事件“能得5分”中有基本事件{C。},则“能得5分”的概率为:，故8正确；

丙同学随机选择选项(丙至少选择一项)，由A、6中的分析可知共有基本事件15种，分别为：

选择一项：{川，{团,{。},{。}；

选择两项：{AB},{AC},{AO},{B,C}44,O},{C。}；

选择三项或全选：{A8,C},[A1,D},{ACO},{8,C。},{A8,C,。},

随机事件''能得分”中有基本事件{C},{0,{C。},则“能得分”的概率为K31故C正确；

丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知：共有基本事件11个,

随机事件“能得分”中有基本事件｛C。｝,则“能得分”的概率为《，故。错误:

故本题选ABC.

12.【答案】0.94

【解析】【分析】

本题考查相互独立事件的概率，考查数学运算能力，属于基础题.

由并事件的概率和相互独立事件的概率公式计算可得.

【解答】

解：因为A、B相互独立，P(A)=0.7,尸(8)=0.8,

所以P(AI3)=P(A)xP(«)=0.7x0.8=0.56,

所以P(A<JB)=P(A)+P{B)-P(/W)=0.7+0.8-0.56=0.94,

故答案为：0.94.

13.【答案】0.32

【解析】【分析】

甲队以4：1获胜包含的情况有:

①前5场比赛中，第一场负,另外4场全胜,

②前5场比赛中,第二场负，另外4场全胜,

③前5场比赛中，第三场负,另外4场全胜,

④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率.

本题主要考查相互独立事件.

【解答】

解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”

设甲队主场取胜的概率为0.8,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,

甲队以4：1获胜包含的情况有：

①前5场比赛中，笫一场负，另外4场全胜，其概率为:R=0.2x0.8x0.5x0.5x0.8=0.032,

②前5场比赛中，笫二场负,另外4场全胜，其概率为:=().8X0.2X().5X().5X().8=0.032,

③前5场比赛中，第三场负,另外4场全胜，其概率为:=08x().8x().5x0.5x().8=().128,

④前5场比赛中，第四场负,另外4场全胜，其概率为:=0.8x0.8x0.5x0.5x0.8=0.128,

则甲队以4：1获胜的概率为:

p=0.032+0.032+0.128+0.128=0.32.

故答案为：0.32.

14.【答案】100；(

【解析】【分析】

此题考查分层抽样和古典概型的计算，属于中档题.

根据分层抽样求得〃的值，再一一列出总的基本事件和符合条件的基本事件•，求概率即可.

【解答】

n45

解：由题意，根据分层随机抽样的方法，可得——=—,解得〃=10();

1000450

因为选择物理与选择历史的女生人数的比为2:1,

所以按分层随机抽样抽取的6名女生中有4人选择物理，

设为小b,c,d,2人选择历史，设为4,B,

从中选取3人的样本空间C={(a,b,c),(a,b,d),(a,b,A),(a,b,8),(ac,d),(0,c,d),

(b,c,A),(b,c,B),(c,d,4),(c,d,8),(a,c,A),S,d,A),(b,d,B),(a,d,A),

(a,d、B),

(a,A6),(b,A、B),(c,A,B),(d,A,8)},

共有20个样本点,

设事件C=”2人选择历史”，

则C={(a,AB),(b,AAA8)},n(C)=4,

〃(C)41

所以P(C)----=—=—

〃(C)205

故答案为100;—.

15.【答案】解:⑴由题意,

焉=*(23+31+29+26+22+32

+18+27+23+19)=25,

--1

^=_x(27+23+24+28+18+22

+33+25+30+20)=25；

即甲、乙两块地小麦的平均株高均为25cm；

(2)Sj=^[(25-23尸+(25_3]了十(25-29)2

+(25-26)2+(25-22)2+(25-32)：+(25-18)2

+(25-27f+Q5_23卢+(25-19)2]=20.8,

S；=、[(25-27)2+(25-23/+(25-24)2

+(25-28产+Q5_18>+(25-22)2+(25-33)2

+(25-25)2+(25-30)2+(25-20)[=19.0,

因为靡>S：,

所以乙地的小麦幼苗长得整齐.

【解析】本题考查平均数的计算，方差的应用，属于基础题.

⑴利用平均数计算公式求解即可：

(2)结合平均数，利用方差计算公式求解即可.

16.【答案】解:(1)9的所有无序2拆分为{1,8},{2,7},{3,6},{4,5},共4个.

(2)9的所有无序3拆分为：

{1,1,7},{1,26),{1,3,5},仅4,4},⑵2,5},{2,3,4},{3,3,3),共7个.

把每个“9的无序3拆分”看作一个样本点，用M表示“所取拆分中的3个数可以作为-A3c的三边

长”，

则M中含有{1,4,4},{2,3,4}和{3,3,3},共3个样本点.

由于每个样本点被选中的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，

所以“所取拆分中的3个数可以作为二ABC的三边长”的概率尸=3.

7

【解析】本题考查概率的求法，考查古典概率、列举法等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题.⑴

利用列举法能求出9的所有无序2拆分.

(2)求出9的所有无序3拆分共7个.用M表示“所取拆分中的3个数可以作为，ABC的三边长”，求出

M中含有3个样本点，由此能求出“所取拆分中的3个数可以作为.ABC的三边长”的概率.

17.【答案】解：⑴假设事件4,B,C分别表示电子元件4,B,C正常工作，

电路子模块R不能正常工作的概行为P(而「由于事件A,8互相独立，

所以=P(A)P(B)=(1-0.9)x(1-0.8)=0.02,

因此电路子模块R能正常工作的概率为1-0.02=0.98.

(2)由于当I号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，

电路子模块。才能正常工作，

①若1号位元件为电子元件A,

则电路子模块。正常工作的概率为

P(A)[1-=0.7(0.8+0.9-0.8x0.9)=0.686：

②若1号位元件为电子元件8,则电路子模块Q正常工作的概率为：

P(或[1一产(衣力=0.8(0.7+0.9-0.7x0.9)=0.776；

③若1号位元件为电子元件C,贝]电路子模块。正常工作的概率为：

P(C)[1-P(而)]=0.9(0.7+0.8-0.7X0.8)=0.846；

因此，1号位接入正常工作概率最大的元件。时，电路子模块。正常工作的概率最大.

【解析】本题考查了独立事件的概率求法，属于中档题.

⑴事件48相互独立，运用独立事件的乘法概率公式，运用公式即可.

(2)当一号元件正常工作且二号和三号中至少有一个正常工作时，才能正常工作，运用公式求解即可.

18.【答案】解：⑴第1组人数5+0.5=10,

所以〃=10+0.1=100,

第2组频率为：0.2,人数为：100x0.2=20,

所以4=18+20=0.9,

第4组人数100x0.25=25,

所以x=25x0.36=9,

(2)第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:9=2:3:1,

所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，3人，I人

(3)记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A,

抽取的6人中，第2组的设为q,%,