2025年人教版八年级数学上册同步讲义：三角形全等的判定4（AAS）学生版

专题12.2.4三角形全等的判定4（AAS）

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1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用"/US'条件判定两个三角形全等；

2.使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.

3.通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐「探索的良

好品质以及发现问题的能力.

魏知识精讲

知识点01三角形全等的判定4：（AAS）

知识点

三角形全等的判定4：角角边（AAS）

文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；

符号：在AABC与A4BC中，•=N8'..=AA'B'C'(AAS)

BC=BC

【微点拨】

1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关

键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化.

2.全等三角形对应边上的高也相等.

【知识拓展1］角角边判定三角形全等的条件

例1.（2021•覃塘区八年级期末）如图，点4,B,C,。在同一直线上，ZAEC=ZDFB,AB=DC,请补

充一个条件：，能使用“AAT的方法得AACE经

AE

B

【即学即练】

1.（2021•句容市八年级月考）如图，已知N44C=NQC4,若添加条件,则可由AAS证明

△DCB；若添加条件,则可由“S证明△/WCg/WCB；若添加条件，则可由4S4证明"8C

【知识拓展2】利用AAS判定三角形全等（实际应用）

例2.（2021•南关区八年级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线6。上，转

轴B到地面的距离4。=2.5〃?.小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点4到BD的距离

AC=\.5m.点A到地面的距离AE=1.5m,当他从A处摆动到A时,有

（1）求4到BD的距离；（2）求「到地面的距离.

地面-----------D--------E

【即学即练】

2.[2022•嘉定区八年级期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分

别到达A,8两地，两车行进的路线平行.那么A,8两地到路段MN的距离相等吗？为什么?

【知识拓展3】利用AAS证明三角形全等（求线段的长度）

例3.（2022.黑龙江黑河•八年级期末）如图，在RSAB。中，/ZMO90。，AB=AC,分别过点从C作过点

A的直线的垂线8。，CE,若8Q=7cm,CE=5cm,则。cm.

【即学即练1】

3.（2022•陕西・武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图：E是△A8C的边AC的中点，过点C作

CF//AB,过点£作直线。尸交48于。，交CF于F,若A8=9,CF=6.5,则BO的长为.

【知识拓展4】利用AAS证明三角形全等（求角的度数）

例4.（2022•山东•八年级期末）如图，点。在边4C上，8c与。E交于点P,AB=DB,NC=NE,ZCDE

=NA8。.（IhABC与aOBE全等吗？为什么？（2）已知NA8E=157。，Z£）BC=27°,求NCDE的度数.

【即学即练2】

2.（2021•迁安市期中）如图，在"ABC中，NA=62。，NA8C=90。，点。在AC上，连接8D,过点。作

EELLBD,垂足为。，使。E=8C,连接8E,若NC=NE.(1)求证：AB=BD；(2)若NQBC=34。，求

N8FE的度数.

知识拓展5】利用AAS证明三角形全等(证明类)

例5.(2021•沙坪坝区校级期中)如图，8。是△人中AC边上的中线，过点C作CE〃A8,交8。的延长

线于点E,F为AABC外一点,连接CT7、DF,且DE=DF、NADF=4CDE.求证：

(1)AABD^ACED；(2)CA平分N8CE

即学即练5】

5.(2022.浙江.喘安市八年级阶段练习)如图，在中，AB=BC,NAKC=90。，d)平分ZAG?,AELCD,

垂足为点E,和C4的延长线交于点F.(1)求证：^2ZXC4Z).(2)求证：CD=2AE.

6.(2021•西城区八年级期末)如图，AB〃CO,点E在C8的延长线上，ZA=ZE,AC=ED.

(1)求证：BC=CD；(2)连接BO,求证：ZABD=ZEBD.

E

B

但能力拓展

考法01利用AAS证明三角形全等（探究类）

【典例1】（2022•山东烟台•七年级期末）如图1,已知A48C中，ZACB=9O°,AC=BC,BE、AO分别

与过点C的直线垂直，且垂足分别为£,D.

（1）猜想线段4。、DE、防三者之间的数量关系，并给予证明.

（2）如图2,当过点。的直线绕点C旋转到AA3C的内部，其他条件不变，如图2所示，

①线段A。、DE、跖三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不

改变，请说明理由；②若人。=2.8,。石=1.5时，求8E的长.

变式1.（2022•呼兰区八年级期中）如图，AD//BCfA8_L8C,AB=AD,连接AC过点。作。从LAC于£,

过点4作6/U4C于F.（1）若乙4研=63。，求NAOE的度数；（2）请直接写出线段3尺EF、。后三者间

的数量关系.

D

变式2.（2021•华容县八年级期末）如图，已知ZkABC中，ZBAC=9Q°,A8=A。，点P为8C边上一动点

（BPVCP）,分别过8、C作8£L4尸于£,_LAP于尸.（1）求证：EF=CF-BE.（2）若点P为8。延

长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF,£尸是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结

考法02全等中的坐标问题

【典例2】（2022•黑龙江牡丹江•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中A（0,2）,B（-1,0）,以点A

为直角顶点，A3为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC.（1）设点。的坐标为（mb）,求af的值.（2）

求四边形OAC8的面积.（3）在（1）的条件下，坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△%B与"BC

全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.

变式1.（2022・全国•八年级专题练习）如图，在"CB中，N4c8=90°,4LBC,点。的坐标为（-2,0）,

点B的坐标为（1,5）,则A点的坐标是.

变式2.（2022•福建宁德•八年级期中）在平面直角坐标系中，等腰直角△A8C顶点A、C分别在y轴、x轴

上，且4c8=90。，AC=3C.⑴如图1,当A（0,-2）,C（l,0）,点4在第四象限时，直接写出点B的坐

标.（2）如图2,当点C在x轴正半轴上运动，点A（0«）在），轴正半轴上运动，点8（〃?,〃）在第四象限时，作

轴于点。，求。，加，〃之间的关系.

M分层提分

题组A基础过关练

I.（2021•河南洛阳•八年级期中）已知：如图，AC=DEfZ1=Z2,要使△"。江。产E,需添加一个条件,

则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（）

A.ZA=NO（ASA）B,AB=DF（SAS）C.BC=FE（SSA）D.ZB=ZF（ASA）

2.12022•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一AABC的是（）

A.A8=6,BC=5,ZA=50°B.ZA=50°,ZB=80°,8C=8

C.A3=5,BC=6,AC=\3D.NA=40。，ZB=50°,ZC=90°

3.（2021•北京市师达中学八年级期中）如图，AELABRAE=ABt3cLe。且3c=CD,请按照图中所标注

的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（）

4.（2021.山东烟台.九年级期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△。E凡数据如图，如果把

小敏画的三角形面积记作SAABC.小颖画的三角形面积记作SAOEE那么你认为（）

小敏画的三角形小颖画的三角形

A.S^ABC>S^DEFB.SxABC<S&DEFC.S〉ABC=S&DEFD.不能确定

5.（2022春•蜀山区校级期中）如图，直线/上有三个正方形，若a,c的面积分别为5和II,则。的面积

为（）

BCE,

A.55B.16C.6D.4

6.（2022・全国•八年级专题练习）如图，在△ABC中，NAC8=90。，AC=BC,BELCE,AQ_LCE于。，AD

7.（2021秋•长春期末）如图，小张同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，ZACB

=90。，AC=BC,若每个长方体教具百度均为6cm,则两摞长方体教具之间的距离OE的长为cm.

8.（2022・天津蓟州•八年级期末）如图，已知AC,B。相交于点O,AB//CDBF=DE,ZOAE=ZOCF.求证

AE=CF.

9.（2022・安徽合肥•八年级期末）如图，在△ABC和ACQE中，点仄D、。在同一直线上，已知NACB=N

E,AC=CE,AB//DE,求证：AABC/ACDE.

10.（2021•苏州期末）如图，AD,即相交于点。，人8〃。/，A8=DF,点石与点。在"上，且BE=CF.（I）

求正：AABgADFE；（2）求证：点。为B/的中点.

组B能力提升练

1.（2021.广东.东莞市沙田实验中学八年级期中）如图，AB〃CD,AD//BC,AELBD,C凡LB。垂足分别

为&F两点,则图中全等的三角形有（）

C.3对D.4对

ZC=ZE,ZCDE=55°,则N48E的度数为（）

A.155°B.125°C.135°D.145°

3.（2022・四川南充•八年级期末）如图，点8,C,E在同一直线上，且AC=CE,ZB=ZD=90°,ACA.CD,

下列结论不一定成立的是（）

A

A.ZA=Z2B.ZA+Z£=90°C.BC=DED.ZBCD=ZACE

4.12021•沙坪坝区•重庆南开中学七年级期中）如图，在AABC中，D、E分别足边AC、BC上的点，BD

是AA3C的一条角平分线.再添加一个条件仍不能证明AM心也△口出的是（）

A.ZDAB=ZDEBB.AB=EBC.ZADB=ZEDBD.AD=ED

5.（2022•广东•深圳大学附属中学七年级期末）如图，ZE=ZF=90°,NB=NC,AE=AF.给出下列结论:

①N1=N2；②BE=C/；③△ACNg/iABM：®CD=DN.其中符合题意结论的序号是.

5.12022•南昌期中）如图，若ABLBC于点B,4E_LDE于点E,AB=AE,ZACB=ZADE,ZACD=Z

ADC=1Q°,ZBAD=60°,则N8AE的度数是.

6.（2022•郸都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线8。上一点，NA=NBEC,ZABD=

/BCE,且AO=8E.（1）证明：©A^BD^AECB；②AD//BC；（2）若BC=15,AD=6,请求出OE的

氏度.

7.（2022♦雁塔区八年级月考）如图，AB=AC,E在线段AC上，£＞在八6的延长线上，口有BD=CE,连

DE交BC于F,过石作EGLBC于G,试判断尸G、BF、CG之间的数量关系，并说明理由.

8.（2022・陕西榆林•七年级期末）如图，在△ABC中，点E在边AC上，RZAEB=ZABC..

（1）请你判断/4BE与NC的数量关系，并说明理由;

⑵若44E的平分线AF交跖于点八FD//BC交AC于点D,设AA=g,4?=10,求d）的长.

9.（2021・河北・石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在m中，ZC=90°,AC=8cm：BC=6cm,

点D在AC上，且AQ=6cm,过点A作射线A£LAC（AE与8。在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射

线AE匀速运动，运动速度为lcm/s,设点。运动时间为/秒.连接P。、BD.

（I）如图①，当时，求证：“DA/ADBC；（2）如图②，当于点/时，求此时/的值.

10.（2022•辽宁锦州•八年级期中）如图，将等腰直角三角形A3C的直角顶点置于直线/上，且过A,3两点

分别作直线/的垂线，垂足分别为。，E.

（1）请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明.（2）如果将直线/绕点。进行旋转，其它条件不变，（I）

中的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形.

备用图

题组C培优拔尖练

1.（2021•陇县期末）如图，AB1CD,且A8=CO,CEVAD于E,BFVAD于立若CE=6,BF=3,EF

C.5D.4

2.（2022•山东淄博•七年级期末）如图，AB1BC,N1=N2,AD=AB.下列结论中：(1)N1=NEFD；

(2)BE=EC；(3)BF=DF=CD；(4)FD//BC.正确的个数是().

E

A.1

3.（2022•湖南岳阳•八年级期中）如图，。是NAOB平分线上的点，PO_LOB于点O,R7_LQ4于点C,则

下列结论：®PC=PDx®OD=OCi③△POC与△POD的面积相等；④NFOC+NOF£>=90。.其中正确

4.12021•喀喇沁旗期末）如图，在△A8C和△。/3c中，NACB=NDBC=90。,£是8c的中点，DE1AB,

垂足为点F,且4若8。=8cm，则AC的长为

5（2022.广东•执信中学八年级期中）AABC和aDBC中，ZBAC=ZBDC=90°,延长CD、BA交于点E.

（1）如图I,若AB=AC,试说明BO=EC；（2）如图2,NM0N为直角，它的两边OM、ON分别与AB、

EC所在直线交于点M、N,如果OM=ON,那么BM与CO是否相等？请说明理由.

B,

图1图2

6.(2022•金东区期中)已知：△ABC的高4。所在直线与高8E圻在直线相交于点P,过点”作PG〃6C,

交直线A8于点G.(1)如图1,若△ABC为锐角三角形，且/A8C=45。.求证：①②FG+QC

=AD；(2)如图2,若NA8C=135。，直接写出尸G、DC、AD之间满足的数量关系.

7.(2022・全国•九年级单元测试)在△/WC中，Z4CT=90°,AC=BC,直线MN经过点C且AOLWN于

Q,4E_LMV于E.(1)当直线A/N绕点C旋转到图1的位置时，求证：①/。。且△(?£»；②。£=AO+跳;;

(2)当直线MN烧点、C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BEx(3)当直线MN绕点。旋转到图3的位置

时，试问。E、AD.BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

8.(2021♦北京市师达中学八年级期中)在平面直角坐标系中，"8C是等腰直角三角形，且/4C8=90。,

AC=BC,顶点A、C分别在y轴、上轴上.

（1）如图，已知点A（0,-2）,C（1,O）,点B在第四象限时，则点3的坐标为

（2）如图，点C、人分别在x轴、），轴的负半轴上，边交1y轴于点。，/W边交x轴于点E,若八。平分N8/IC,

点B坐标为（〃?,〃）.探究线段A。、0C、0。之间的数量关系.请回答下列问题:

①点B到工轴的距离为,到y轴的距离为:

②写出点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为

③直接写出线段AD、0C、0。之间的数量关系：.

9.（2022•河南平顶山•七年级期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形,

如下图I.

（1）已知：在“IBC中，N84C=90。，AB=AC,直线/经过点A,直线/,CEJ_直线/,垂足分别为点。、

E.则线段DE与80、C£