《高等数学上册》(教案大纲)

《高等数学C》课程教学大纲课程基本信息课程名称高等数学课程代码11331007-11331008课程类别学科专业基础必修课课程学分10课程学时160授课对象计算机与自动化学院先修课程初等数学培养方案2024版开课单位二、课程简介高等数学C是为本校计算机与自动化学院学生量身打造的高阶学科基础必修课程。相较于本校其他专业的高等数学课程，本课程不仅增加了知识内容和课时，还引入了更为深入和广泛的数学理论和应用，旨在为学生奠定坚实的数学基础，以支持他们在工程和技术领域的学术与职业发展。课程内容全面覆盖了一元函数及多元函数的极限、连续性、求导与微分、积分等核心数学概念和理论，并深入探讨了空间解析几何、向量代数、无穷级数等重要主题。同时，在微分方程、一元函数积分学的应用、多元函数积分学、无穷级数等章节中融入了难度较高的知识模块。通过这些扩展的主题，学生将能够掌握更为复杂和高级的数学工具及理论，为解决高级工程问题和开展科研工作奠定坚实基础。本课程精心设计课程内容，通过逐步提升的教学环节，致力于培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象和综合分析能力。此外，课程还着重于培养学生的科学精神、团队合作意识以及诚实守信的品质，这些都是未来科研和职业生涯中不可或缺的素质。三、课程目标通过本课程的学习，学生获得以下方面的知识、能力和素质：目标1：获得一元函数及多元函数的极限、连续、求导与微分、积分、微分方程以及空间解析几何与向量代数、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本方法，能够求一元函数和多元函数的极限、导数、微分、积分，并应用这些知识解决数学问题。目标2：能够用微分学知识建立优化模型，解决优化问题，用积分表达一些几何量和物理量。目标3：能够用高等数学相关知识对几何、物理、工程中的问题进行分析、建模和求解。目标4：能够具备敬业、严谨、精益、创新的科学精神和团队合作意识以及诚实守信的优良品质。课程目标与毕业要求标点对应矩阵业求标点1.工程知识能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题课程目标32.问题分析能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。课程目标1课程目标212.终身学习具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力课程目标4四、教学内容及要求（一）理论教学序号教学内容学时目标要求教学方法支撑课程目标1函数与极限1.映射与函数2.数列的极限3.函数的极限4.极限的运算法则5.极限存在准则与两个重要极限6.无穷小与无穷大7.函数的连续与间断8.闭区间上连续函数的性质161.掌握集合、区间、邻域概念，理解函数概念，掌握函数表示法。2.了解函数的几种特性——有界性、单调性、奇偶性、周期性。3.了解反函数的概念，理解复合函数的概念。4.掌握基本初等函数性质及其图形，理解初等函数概念。5.理解数列极限、函数极限的概念及其几何意义。理解函数在处的左，右极限与函数在处极限的关系。（极限的定量描述不做过高要求）掌握收敛数列的有界性和收敛函数的局部保号性。6.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的性质，并会利用无穷小的性质求极限，了解无穷大与无穷小之间的关系。7.掌握极限的四则运算法则——和、差、积、商规则，掌握复合函数极限的运算法则（换元法）。掌握两个极限存在准则——夹逼准则和单调有界准则，并会利用它来求极限。掌握两个重要极限并会利用它来求极限。8.理解无穷小比较的定义，掌握等价无穷小性质，会用等价无穷小的替换求极限。9.理解函数连续性（在点处连续，在处左、右连续，在区间连续）概念以及在点处连续与在处左、右连续的关系，会判断函数的函数间断点的类型。10.了解初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质。运用集合、区间、邻域等概念分析数学问题。11.根据函数的特性解决实际问题。12.准确计算基本初等函数的值，推导出其性质。13.灵活运用极限理论求解复杂极限问题。14.通过函数、极限与连续的学习，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及家国情怀和使命担当。讲授法分组讨论法问题导向学习课程目标1，课程目标42第二章导数与微分1.导数的概念2.导数的计算3.高阶导数4.微分及其运算101.理解导数与微分概念。理解导数与微分几何意义以及函数连续性、可导性、可微性关系。能用导数描述一些物理量。会求平面曲线的切线方程和法线方程。2.熟悉导数和微分的法则（含微分形式不变性）及导数和微分的基本公式。了解高阶导数概念。并能熟练的求初等函数的一阶、二阶导数。会求一些简单的分段函数的导数。会使用取对数求导数法。3.掌握隐函数及由参数方程确定的函数的一阶导数的求法。4.会利用微分做近似计算。运用导数描述和分析物理量，建立数学模型解决实际问题。5.熟练求解初等函数的一阶、二阶导数，以及处理简单的分段函数求导问题。6.掌握取对数求导数法等技巧，提高求解复杂函数的效率。7.利用微分进行近似计算，处理无法精确求解的问题。8.勇于探索未知领域，敢于创新，不断尝试新的解题方法和思路,增强以及家国情怀和使命担当。讲授法，案例分析分组讨论问题导向学习课程目标1，课程目标33微分中值定理与导数的应用1.微分中值定理2.洛必达法则3.函数的单调性与极值4.函数的最值及其应用5.曲线的凹凸性与拐点6.曲线的渐近线和函数图形的描绘121.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式。掌握的麦克罗林公式。会用直接法和间接法求一些简单函数的泰勒公式。了解柯西中值定理。会用泰勒公式做近似计算。2.掌握洛必达法则。3.理解极值概念。掌握利用函数求导数的极值以及判断函数单调性、函数图形的凹凸性、求函数图形拐点的方法。会描述一些函数的图形（包括渐近线）。会求一些简单函数的最大值的应用问题。4.熟练运用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式及麦克罗林公式，掌握直接法和间接法求解简单函数的泰勒公式。5.了解并能在适当情境下应用柯西中值定理，熟练运用泰勒公式进行近似计算。6.熟练掌握洛必达法则，准确求解特定类型的极限问题。7.理解极值概念，能利用导数求解函数极值，判断函数单调性、凹凸性，并确定函数图形的拐点。8.描述函数图形特征，包括渐近线，并能解决简单函数的最大值应用问题。9.强化实践能力，将数学知识应用于实际问题解决中，提升问题解决能力，培养严谨的逻辑思维和创新意识，以及科学思维与创新意识。讲授法，案例分析分组讨论合作学习课程目标2课程目标34第四章不定积分1.不定积分的概念与性质2.换元积分法3.分部积分法4.有理函数的积分8掌握原函数与不定积分的定义、性质及关系。熟悉不定积分的基本公式与特殊类型函数的积分方法。理解并掌握不定积分的换元法与分部积分法。培养数学逻辑思维，提升问题解决与自主学习能力，以及家国情怀和使命担当。讲授法，案例分析法分组讨论法课程目标1课程目标45第五章定积分1.定积分的概念与性质2.微积分基本公式3.定积分的换元积分法和分部积分法4.反常积分5.定积分的应用18明确定积分的概念、性质及中值定理，掌握变上限的定积分性质及求导定理。熟记并应用牛顿——莱布尼茨公式，准确求解各类定积分问题。了解反常积分的定义及计算方法，正确识别并求解反常积分。理解定积分应用的元素法原理，理解并掌握使用定积分计算各类几何量的方法，包括平面图形面积、旋转体体积及特定立体体积、曲线的弧长和旋转体的侧面积。增强空间想象能力和几何直观感，提升数学模型的构建能力，培养将数学理论应用于实际问题解决的能力。培养细致、严谨的数学工作态度，确保计算准确性与问题解决的有效性，提升质量意识与社会责任。讲授法，案例教学法，分组讨论法问题导向学习课程目标2课程目标36第六章常微分方程1.微分方程的基本概念2.可分离变量的微分方程3.齐次方程4.一阶线性微分方程5.可降解的高阶微分方程6.二阶常系数线性微分方程12掌握微分方程及其相关概念，包括阶、解、通解、特解等。识别并分类可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等类型。深入理解可分离变量方程及一阶线性方程的解法。熟悉常数变易法的原理与应用。掌握齐次方程与贝努理方程的解法，理解变量代换法。了解全微分方程的解法及积分因子的概念。初步了解二阶线性方程的解的性质与结构。能根据方程类型选择合适的解法，准确求解微分方程。熟练运用可分离变量方程及一阶线性方程解决实际问题。灵活运用变量代换法解决复杂方程，提升解题技巧。掌握全微分方程的求解方法，并尝试求解积分因子。培养严谨的逻辑思维和数学推理能力，提升数学素养，以及工程伦理与系统思维。讲授法，分组讨论法合作学习课程目标1课程目标37第七章向量与空间解析几何1.空间直角坐标系2.向量及其运算3.空间平面与空间直线4.空间曲面与空间曲线101.理解空间直角坐标系及其基本问题。2.掌握向量的各种运算。3.理解投影概念与投影定理。4.熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表示。5.理解曲面方程概念，掌握常用二次曲面的方程及图形。6.熟练掌握用坐标、表达式进行向量运算。7.掌握平面方程和直线方程及其求法。8.能够将空间曲面的参数方程与一般方程进行互相转换。9.知道空间曲面在坐标平面的投影，并会求之。10.培养空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决空间几何问题的能力。11.通过向量和空间解析几何的学习，增强数学建模和问题分析的能力，培养工程责任与实践能力。讲授法分组讨论法演示法课程目标1课程目标48第八章多元函数微分学1.多元函数的基本概念2.多元函数的极限与连续性3.偏导数4.全微分及其应用5.复合函数的微分法6.隐函数的求导141.理解邻域、内点、界点、聚点、开集、边界、闭集、有界集、区域等概念。2.理解多元函数概念，了解二元函数的极限与连续性，会求部分二元函数的极限。知道有界闭区域上二元连续函数性质。3.理解偏导数、全微分概念，偏导数存在与连续性、可微与连续性关系。了解全微分存在的必要条件与充分条件。4.熟练掌握复合函数的求导法。能熟练求二阶偏导。5.熟练掌握隐函数的偏导计算方法。6.能够运用多元函数微分学的知识进行近似计算。7.能够分析和求解涉及多元函数的微分问题。8.通过多元函数微分学的学习，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。9.增强学生解决复杂数学问题的能力，提高数学素养和科学精神，以及工程伦理与系统思维。讲授法案例教学法分组讨论法问题导向学习课程目标1课程目标39第九章多元函数微分学的其应用1.空间曲线的切线与法平面2.空间曲面的切平面与法线3.方向导数4.多元函数的极值及其求法101.理解空间曲线的切线与法平面的概念及其计算方法。2.理解曲面的切平面与法线的概念，并掌握它们的求法。3.理解方向导数和梯度的概念，掌握计算方法。4.理解多元函数极值的概念，掌握极值存在的必要条件及充分条件。5.了解条件极值概念，掌握拉格朗日乘数法求条件极值。6.能够运用空间曲线的切线与法平面的计算方法解决相关问题。7.能够运用曲面的切平面与法线的求法解决实际问题。8.能够运用方向导数和梯度的概念解决实际问题，如最速降线问题。9.能够运用多元函数极值的知识求解最值应用题，包括条件极值问题。10.通过多元函数微分学的应用学习，培养严谨的逻辑思维和创新意识，培养工程伦理理念与系统思维。11.提高解决实际问题的能力，增强数学建模和问题分析的能力。讲授法案例教学法分组讨论法合作学习课程目标2课程目标310第十章多元函数积分学（I）1.二重积分2.三重积分3.重积分的应用4.对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）5.对面积的曲面积分201.理解二重积分的概念，了解重积分性质，以及积分中值定理。2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。3.掌握对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）的概念，掌握计算方法。4.理解对面积的曲面积分的概念，掌握计算方法。5.熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。6.能够计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。7.掌握对弧长的曲线积分的计算方法，并能够应用于实际问题。8.掌握对面积的曲面积分的计算方法，并能够应用于实际问题。9.通过多元函数积分学的学习，增强数学建模和问题分析的能力。10.培养严谨的逻辑思维和创新意识，提高解决实际问题的能力，绿色能源意识与环境保护意识。讲授法案例教学法分组讨论法课程目标1课程目标211第十一章多元函数积分学（II）1.对坐标的曲线积分的概念与性质（第二类曲线积分）2.对坐标的曲线积分的计算3.曲线积分与路径无关的条件4.对坐标的曲面积分的概念5.对坐标的曲面积分的计算6.高斯公式与斯托克斯公式7.两类曲线积分、曲面积分的联系141.理解对坐标的曲线积分概念，了解曲线积分性质。2.掌握对坐标的曲线积分的计算。3.熟悉格林公式。4.理解对坐标的曲面积分的概念，掌握对坐标的曲面积分的计算。5.掌握高斯公式，了解斯托克斯公式。6.了解两类曲线积分之间、两类曲面积分之间的关系。7.熟练掌握对坐标的曲线积分的计算。8.会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的“原函数”。9.掌握计算对坐标的曲面积分的方法。10.通过多元函数积分学的学习，增强数学建模和问题分析的能力。11.培养严谨的逻辑思维和创新意识，提高解决实际问题的能力，以及科学探索精神与实践能力。讲授法案例教学法分组讨论法问题导向学习课程目标1课程目标212第十二章无穷级数1.常数项级数的概念和性质2.正项级数敛散判别法3.任意项级数敛散性判别法4.函数项级数5.函数展开成幂级数6.傅里叶级数141.理解无穷级数收敛、发散及和的概念，掌握收敛的必要条件和基本性质。2.掌握正项级数的收敛判别法，包括比较判别法、根值判别法和比值判别法，理解交错级数的莱布尼茨判别定理。3.了解绝对收敛与条件收敛的概念，并知道二者之间的关系，掌握绝对收敛级数的性质。4.理解函数项级数的收敛域及和函数的概念，知道函数项级数的一致收敛概念及其基本性质。5.掌握一般幂级数的收敛半径、收敛区域的求法，了解幂级数的运算，知道幂级数的和函数在其收敛区域内的基本性质。6.了解函数的泰勒级数及特例麦克劳林公式，知道函数展开成泰勒级数的充要条件，掌握直接法和间接法展开函数的方法与步骤，掌握基本初等函数的麦克劳林展开式。7.理解Fourier级数的概念，了解Fourier级数的收敛定理，了解三角函数系的正交性，掌握将以2π为周期的函数展开成Fourier级数的方法，会将函数展开成正弦级数和余弦级数。8.能够运用无穷级数的知识解决实际问题，掌握无穷级数的收敛性判别方法，并能够应用于实际问题。9.能够求解幂级数的收敛半径和收敛区域，能够展开函数成泰勒级数或Fourier级数，并应用于实际问题。10.通过无穷级数的学习，增强数学建模和问题分析的能力，培养严谨的逻辑思维和创新意识，提高解决实际问题的能力，以及科学思维与创新意识。讲授法案例教学法分组讨论法课程目标1课程目标3（二）课程思政教学序号模块名称教学内容结合点思政元素1函数与极限极限的概念（刘徽的割圆术及庄子中的截丈问题）家国情怀和使命担当2导数与微分导数的概念（中国高铁的运行视频来引入）家国情怀和使命担当3微分中值定理与导数的应用洛必达法则（特定条件下通过求导来简化极限计算）科学思维与创新意识4定积分定积分的累积性质（“化整为零、积零为整”）家国情怀和使命担当5定积分微分元素法（讨论其在产品检测等领域的应用）质量意识与社会责任6常微分方程微分方程学习（人口增长模型）工程伦理与系统思维7向量与空间解析几何向量在工程制图中的应用（向量在解决空间几何问题中的应用，如工程制图中的力的分解与合成）工程责任与实践能力8多元函数微分学多元函数的极限与连续性、偏导数等概念（讨论多元函数在某一点处的可微性与方向导数的关系）辨证思维与科学精神9多元函数微分学的应用空间曲线的切线与法平面等应用（春晚机器人运动规划）工程伦理与系统思维10多元函数积分学（I）二重积分的物理应用（在计算物体表面积，如太阳能电池板的面积计算）绿色能源与环境保护意识11多元函数积分学（II）曲线积分与路径无关的应用（曲线积分在电场强度计算中的应用，展示路径无关性）科学探索精神与实践能力12无穷级数无穷级数的敛散性判别（人生规划的长期性和稳定性）科学思维与创新意识五、考核方式及成绩评定1．考核方式本课程考核包括平时考查和期末考试两个部分。平时考查针对学生学习过程评价，包括作业、课堂表现和讨论等方面。期末考试采用闭卷笔试形式，以考查学生基础知识应用能力为主。2．成绩评定本课程由平时考查成绩（40%）和期末考试成绩（60%）两个部分按百分制综合评定成绩，其中平时考查成绩包括作业（40%）、课堂表现（30%）、研讨（30%）三个方面。课程目标考核权值分配课程目标考核方式及占比合计作业课堂表现研讨期末考试课程目标1823040课程目标282028课程目标3121022课程目标41010分值16121260100作业情况评价标准课程目标分值标准90-100分75-89分60-74分0-59分课程目标1能很好的完成课堂测验，并能按时提交作业，书写规范，准确率高；完全掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。能较好的完成课堂测验，并能按时提交作业，书写规范，准确率较高；较好的掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。能完成大部分课堂测验，基本能按时提交作业，书写较为规范；基本高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。不完成课堂测验，不能按时提交作业，或作业存在抄袭；未能掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。课程目标2能很好的用微分学知识建立优化模型，解决优化问题，用积分表达一些几何量和物理量。能较好的用微分学知识建立优化模型，解决优化问题，用积分表达一些几何量和物理量。基本能用微分学知识建立优化模型，解决优化问题，用积分表达一些几何量和物理量。不能用微分学知识建立优化模型，解决优化问题，不能用积分表达一些几何量和物理量。课堂表现评价标准课程目标分值标准90-100分75-89分60-74分0-59分课程目标1上课无迟到、旷课、请假情况，能积极完整的回答老师提出的问题；完全掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。上课基本无迟到、旷课、请假情况，能较好的回答老师提出的问题；较好的掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。上课有迟到、旷课、请假情况，基本能够回答老师提出的问题；基本高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。上课经常迟到、旷课、请假。不能回答问题或者态度敷衍散漫。未能掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。课程目标4上课能高度集中注意力，不存在玩手机、睡觉情况。完全具备敬业、严谨、精益、创新的科学精神和团队合作意识以及诚实守信的优良品质。上课能集中注意力，偶有玩手机或睡觉。较好具备敬业、严谨、精益、创新的科学精神和团队合作意识以及诚实守信的优良品质。上课注意力一般，存在玩手机、睡觉情况。基本具备敬业、严谨、精益、创新的