高等数学 上册 第2章习题过程及答案

习题2-11.设函数，求.解：，故.2.下列各题中均假定，按照导数定义观察下列极限，求的值：(1)(2)解：（1），故.（2），故.3.设函数求解：4.讨论函数在点处的连续性和可导性.解：,故函数在点处连续.因,故函数在点处不可导.5.设函数为了使函数在点处可导，应取什么值？解：因，，要使在处连续，则有又要使在处可导，则必须，即故当时，在处连续且可导.习题2-21.计算下列函数的导数：(1)；(2)；(3)； (4)；(5)； (6).解：(1)，；；2.使用复合函数求导法则计算下列函数的导数：(1);(2);(3);(4);(5)；(6)（a为常数）；(7)；(8).解：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸；⑹；⑺；⑻；3.已知函数求.解：，.答案：4.试求曲线在点及点处的切线方程和法线方程.解：，故在点处的切线方程为：，即，法线方程为：，即.在点处不可导，其切线方程为：，法线方程为：.5.求下列隐函数的导数：(1)（为常数）；(2)；(3)；(4)；解：(1)两边求导，得：，解得.(2)两边求导，得：，解得.(3)两边求导，得：，解得.(4)两边求导，得：，解得.6.利用对数求导法求下列函数的导数：(1)(2)解：(1)(2)7.求由下列参数方程所确定的函数的导数：（1）(为常数)；（2）解：（1）（2）.习题2-31.求下列函数在指定点的高阶导数：(1)，求;(2),求,;(3)求，.解：(1).(2)(3)故，.2.已知存在，求下列函数的二阶导数：(1)；(2).解：(1)(2)3.求次多项式的阶导数.解：4.设函数，且，求.5.验证：函数满足关系式.解：故.6.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数：(1)（a,b为常数）；(2)；(3)；(4).解：(1)两边对求导，得.(2)两边对求导，得.(3)两边对求导，得 (4)两边对求导，得答案：（1）（2）（3）（4）7.求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数：⑴(为常数)；⑵存在且不为0.解：⑴⑵.习题2-41.根据下列所给的值，求函数的及：（1）；（2）.解：（1）（2）2．求函数在处的微分.解：.3.利用微分求下列数的近似值：⑴；⑵；⑶.解：⑴利用近似公式，有.⑵利用近似公式，有⑶取，令，而，则4.求下列函数的微分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.解：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5.求由下列方程所确定的隐函数的微分：⑴；⑵；解：（1）对等式两端微分，得即，于是（2）对等式两端微分，得解得6.利用一阶微分的形式不变性求函数的微分，其中和均为可微函数.解：自测题单项选择题（每小题3分，共15分）1.设函数其中是正整数，则（A）A.B.C.D.解：等于对任意一项求导之后乘以其他项再求和，除了对求导的那一项之外，其余项都由于存在，在时为0，因此只剩一项为，把代入得2.设函数，为其导数，则（C）. A.是当时的无穷小B.是当时的无穷大C.不是当时的无穷小，但在内有界D.不是当时的无穷大，但在内无界解：，，因此既不是无穷大也不是无穷小，而是有界量，选C.3.设函数在点处连续，下列结论中错误的是（D）.A.若存在，则 B.若存在，则C.若存在，则存在D.若存在，则存在解：若存在，则又函数在点处连续，故选项A正确.若存在，则又函数在点处连续，故选项B正确.若存在，则存在，即存在.选项C正确.设此时存在，但不存在.选项D错误.4.设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分.若，则（A）.A.B.C.D.解：，由于，故.5.设，函数，则在内（C）.A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点解：，，，，则是的不可导点，故选.二、填空题（每小题3分，共15分）6.曲线上与直线垂直的切线方程为.解：与直线垂直的切线的斜率为1，曲线上斜率为1的点为，此时，切线方程为7.已知函数则.解：8.设，，则.解：9.设是由方程所确定的隐函数，则.解：把代入方程得，对方程两边微分得10.设（为参数），则.解：，三、计算题（每小题5分，共25分）11.;解：;12．；解：13．；解：设，求;解：15．，求;解：四、综合题综合题（每小题5分，共25分）16.讨论函数在处的连续性与可导性；解：因为故函数在处连续.又,故函数在处可导.求函数的二阶微分；解：,若，，求.解：19.若函数，求.解：令，则,即.20.设是由参数方程所确定的隐函数，求.解：分别对已知方程组的两边关于求导，得：再对求一次导，得将代入上述各式，得五、应用题（每小题10分，共20分）21.垂直向上抛某个物体，其上升高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系式为求：（1）物体从t=1s到t=1.2s的平均速度；（2）速度函数