高等数学 上册 第六章习题详细解答

第六章习题答案习题6-11.指出下列微分方程的阶数:(1)；(2)；(3)； (4).解：（1）一阶（2）二阶（3）三阶（4）一阶答案：（1）一阶（2）二阶（3）三阶（4）一阶2.指出下列函数是否为所给微分方程的解：;;;解：（1）由得，代入方程得故是方程的解.（2）代入方程得.故是方程的解.（3）代入方程得.故不是方程的解.（4）代入方程得故是方程的解.答案：（1）是（2）是（3）不是（4）是3.验证下列函数（隐函数）为所给微分方程的解：解：（1）方程两端对x求导：得代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.（2）方程两端对x求导：(*)得.(*)式两端对x再求导得将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.习题6-21.求下列微分方程的通解：（1）（2）； （3）（4）答案(1)解：当时，分离变量，得两边积分，得即为通解（2）解：当时，方程化为两端积分，即得即得到通解解：当时，分离变量，得两边同时积分，得通解为所求微分方程的通解为（4）解：当时，分离变量，得积分得通解为：（其中）2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:;.解：(1)分离变量，得积分得.以代入上式得故方程特解为.(2)分离变量，得积分得将代入上式得故所求特解为.答案：（1）（2）习题6-31.求微分方程的通解。解：（0）变形得（1）变量代换令，则代入方程消去y，得（2）分离变量得，（3）两边积分，得（4）回代微分方程的通解为2.求微分方程的通解．解把原方程化为．令，则，．代入上式并整理得．两端分别积分得．将回代到上式，得通解为，或.3.求微分方程的通解，并解其初值问题.解原方程变形为,令则代入原方程并整理两边积分得即变量回代得所求通解由代入通解，得，故所求初值问题的解为4.求解微分方程解：原方程是齐次微分方程．（1）变量代换令，，即，代入原方程，化简得即（2）分离变量得（3）两边积分，得（4）回代得齐次方程的通解．（5）代入初始条件得所求特解为5.求解微分方程解法一：原方程化为令，则分离变量得积分得即得方程通解为以代入上式得．所求特解为解法二：原方程化为令，则分离变量得积分得得方程通解为以代入上式得．所求特解为习题6-41.求方程的通解．解：套公式，2.求解初值问题定性：x是y的函数，一阶线性微分方程指出套公式得特解为3.解方程解：定性，是一阶非齐线性微分方程套公式得特解为求方程的通解.解这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程的通解.分离变量得,两边积分得lny=2ln(x+1)+lnC,故齐次线性方程的通解为y=C(x+1)2.用常数变易法，把C换成,即令y=C(x)·(x+1)2,代入所给非齐次线性方程,得，即,两边积分,得.再把上式代入y=C(x)(x+1)2中,即得所求方程的通解为.求微分方程的通解及满足初始条件的特解．解把方程化为标准形式，于是．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为．当时，．当时，．综上所述，原方程的通解为.将初始条件代入上式，可得，故所求特解为．注：有些方程本身并非线性方程，但经过适当变形后可转化为线性方程．6.求微分方程的通解及满足初始条件的特解．解这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x看作y的函数，即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，即．于是，．首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为 .将初始条件代入上式，可得．故所求特解为．7.设某企业在t时刻产值y(t)的增长率与产值以及新增投资2bt有关，并有如下关系：，其中a,b均为正常数，,求产值函数.解方程是一阶线性非齐次方程，化为标准形式，于是．由，代入通解公式，可得通解为 .将初始条件代入上式，可得．故所求产值函数为.习题6-51.求方程的通解.解对所给方程相继积分两次,得上式即为所求通解.求解微分方程的初值问题.;;;.解：(1)令，则,原方程可化为由知，，从而有由,得故或.(2)令，则.原方程可化为则以代入上式得则当x=1时，y=0代入得故所求特解为.(3)当，得以x=0,y=0代入上式得故所求特解为.（4）题设方程属型.令代入方程并分离变量后,有两端积分，得即由条件得所以两端再积分,得又由条件得.于是所求初值问题的解为习题6-61.设微分方程，则（其中为任意常数）（）.A.是这个方程的通解 B.是这个方程的特解C.不是这个方程的解 D.是这个方程的解，但既非它的通解也非它的特解解：齐次方程只有通解，没有特解，但是这个方程代入此方程后满足，因此是这个方程的解但不是特解，而上述方程的通解应为，因此也不是通解，选D.参考答案：D设线性无关的函数都是二阶非齐次线性微分方程的解，是任意常数，则该非齐方程的通解是（）. B.C.D.解：非齐次线性方程的任意两个解之差都是对应齐次方程的解，因此对应齐次方程的一个解为，另一个解为，且线性无关，通解为任意特解加相应齐次方程的通解，因此通解为.参考答案：D3.下列函数组在其定义区间内是线性无关的（）A. B.；C.，；D..答案为ABD4.证明：与是方程的线性无关解，并写出其通解.答案：通解为5.求方程的通解.解特征方程为，.特征根为，.故所求微分方程的通解为.6.求方程的通解及满足条件的特解．解特征方程为．特征根为重根.故所求微分方程的通解为.由代入上式得，从而.求导得．将代入上式得.故所求特解为：.7.求方程的通解．解从特征方程得出.故所求通解为.8.求方程的一个特解．解因为是x的三次多项式，且，，所以取．设方程的特解为．按例5的方法进行求导、代入、比较系数等环节(此处省略，请读者自己完成)．最后求得特解为．9.求方程的一个特解．解不是特征方程的根，取，所以可设原方程的特解为，则，代入原方程得．解得，故方程有一特解为.10.求方程的通解．解可以看成是与之和．所以分别考察方程与方程的特解．容易求得方程的一个特解为：．类似求得方程的一个特解为：．于是原方程的一个特解为＝．又原方程所对应的齐次方程的通解为，故原方程的通解为=.本章自测题1、选择题（1）.函数(其中是任意常数)是微分方程的（）(A)通解；(B)特解；(C)是解，但既非通解，也非特解；(D)不是解。答案：C（2）.微分方程阶数是（）(A)4阶(B)3阶(C)2阶(D)1阶答案：B（3）.在下列微分方程中，通解为的是（）(A)(B)(C)(D)（4）设非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)与y2(x)，C是任意常数，则该方程的通解是.AC［y1(x)+y2(x)］ BC［y1(x)-y2(x)］Cy1(x)+C［y1(x)-y2(x)］ Dy1(x)+C［y1(x)+y2(x)］解非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解，非齐次特解为：所以选择C.（5）微分方程y″+4y=sin2x的一个特解形式是.ACcos2x+Dsin2x BDsin2xCx［Ccos2x+Dsin2x］ Dx·Dsin2x解因为，，是特征方程的根，所以取．设特解为．选择C.2、填空题（1）微分方程的通解中应含的独立常数的个数为()。答案：3（2）微分方程的通解是.答案： （3）微分方程xdy-(x2e－x+y)dx=0的通解是.解方程可化为，通解为.（4）微分方程xy′+y=0满足初始条件y(1)=1的特解是.解分离变量得，通解为，初始条件y(1)=1特解为（5）通解为y=C1ex+C2e2x的微分方程是.解易见这是二阶常系数方程的解，特征根为,特征方程为所以微分方程为.3、解下列一阶微分方程：(1)(1+y2)dx=xy(x+1)dy； (2)x(y′+1)+sin(x+y)=0；(3)； (4)xy′+2y=sinx；(5)tanydx=(siny-x)dy； (6)(y-2xy2)dx=xdy.解(1)分离变量，积分得，化简得；(2)令，原方程化为，积分得，化简并整理得通解：.(3)，原方程化为，积分得方程通解为(4)这是一阶线性非齐次方程，，所以方程通解为(5))设，方程化为，这是一阶线性非齐次方程，，所以方程通解为(6)方程可化，这是伯努利方程，其中，所以方程通解为即.4、解下列二阶微分方程：(1)(1+x)y″+y′=ln(1+x)； (2)y″+3y′+2y=2x2+x+1；(3)y″+2y′-3y=2ex； (4)y″+y=x+cosx.解(1)易见不显含y，令代入方程得，即，所以，两边积分.(2)这是二阶常系数非齐次方程，由设特解为，带入方程并对比两端的系数，得，故非齐次特解为；齐次通解为，从而方程通解为.(3)这是二阶常系数非齐次方程，因为是特征方程的单根，所以取．设特解为，代入原方程后，解得，故方程的一个特解为：.所求的通解为.(4)可以看成是与之和．所以分别考察方程与方程的特解．容易求得方程的一个特解为：．容易求得方程的一个特解为：．于是原方程的一个特解为＝．又原方程所对应的齐次方程的通解为，故原方程的通解为.考研真题解析1.（2006，数一，二）微分方程的通解是解：原方程可化为分离变量为两边积分得故通解为：2.（2008，数二，四）微分方程的通解是．解：可化为由线性方程通解公式得于是得通解为，其中C为任意常数3.（2010，数二）三阶常系数线性齐次微分方程的通解为．解：特征方程为分解因式为：于是得：则该方程通解为4.（2007，数一，二）二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为．解：齐次微分方程的特征方程为特征解为：则齐次方程通解为令非齐次方程特解为代入原方程得则，则原方程通解为竞赛真题赏析1.（第六届全国初赛题，2014）已知和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程为解由解可知，该方程的特征方程有二重根，故特征