湖北省部分重点高中2025-2026学年高二数学第一学期期末检测试题含解析

湖北省部分重点高中2025-2026学年高二数学第一学期期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()A. B.C. D.2．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.23．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（）A. B.C. D.5．已知数列满足，，则（）A. B.C.1 D.26．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234概率0.10.16030.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.747．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）A.12 B.10C.8 D.68．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A. B.4C.3 D.29．实数m变化时，方程表示的曲线不可以是（）A.直线 B.圆C椭圆 D.双曲线10．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（）A. B.C. D.11．已知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（）条A.0 B.1C.2 D.312．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.14．曲线在点处的切线方程为__________15．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.16．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R时，证明l与C总相交；（2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长18．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，两点，的中点坐标为.（1）求直线l的方程；（2）求的面积.19．（12分）已知点，.（1）求以为直径的圆的方程；（2）若直线被圆截得的弦长为，求值20．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.21．（12分）在等差数列中，，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和22．（10分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）试讨论函数的单调性.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用古典概型计算公式计算即可【详解】从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球共有种不同的取法,恰好有两个小球编号相邻的有:,共有6种所以概率为故选:C2、D【解析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：因，，所以，因为，所以，即，解得，故选：D.3、B【解析】函数既有极大值又有极小值转化为导函数在定义域上有两个不同的零点.【详解】因为既有极大值又有极小值，且，所以有两个不等的正实数解，所以，且，解得，且.故选:B.4、B【解析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为是平行六面体，所以，所以有：，因此有：，因为，，，，，所以，所以，故选：B5、C【解析】结合递推关系式依次求得的值.【详解】因为，，所以，得由，得.故选：C6、D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：故选：D【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题7、A【解析】根据众数的概念，求得的值，再根据平均数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，甲组数据的众数为16，得，所以乙组数据的平均数为故选：A.8、C【解析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【详解】由纯虚数，∴，解得：，则，故选：C9、B【解析】根据的取值分类讨论说明【详解】时方程化为，为直线，时，方程化为，为椭圆，时，方程化为，为双曲线，而，因此曲线不可能是圆故选：B10、A【解析】设双曲线半焦距为c，求出，由给定的正三角形建立等量关系，结合计算作答.【详解】设双曲线半焦距为c，则，而轴，由得，从而有，而是正三角形，即有，则，整理得，因此有，而，解得，所以C的离心率为.故选：A11、D【解析】设出过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程，再与的方程联立借助判别式计算、判断作答.【详解】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，由消去y并整理得：，则，解得或，因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.故选：D12、A【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，∴点P到直线和直线的距离之和，∴当B，P，F三点共线时，最小，∵，∴，∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为设,由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）则，又设直线PN方程为由到直线PN的距离为1，得，整理得则，又，故则直线PN的方程为，故，由，解得，故椭圆的离心率故答案为：【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。14、【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当时，，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故答案为：15、##【解析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知∴∴.故答案为：16、2【解析】利用双曲线的渐近线的倾斜角，求解，关系，然后求解离心率，即可求解.【详解】双曲线一条渐近线的倾斜角为，可得，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）当时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为.【解析】（1）求出直线l的定点，进而判断定点和圆C的位置关系，最后得到答案；（2）当圆心C到直线l的距离最大时，弦长最短，进而求出m，然后根据勾股定理求出弦长.【详解】（1）直线l的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，则l过定点P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交（2）圆的C方程可化为：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如图所示，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短，此时PC⊥l，又，所以直线l的斜率为，则，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故当时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为.18、（1）（2）【解析】（1）设，根据AB的中点坐标可得，再利用点差法求得直线的斜率，即可求出直线方程；（2）易得直线过左焦点，联立直线和椭圆方程，消，利用韦达定理求得，再根据即可得出答案.【小问1详解】解：设，因为的中点坐标为，所以，则，两式相减得，即，即，所以直线l的斜率为1，所以直线l的方程为，即；【小问2详解】在直线中，当时，，由椭圆：，得，则直线过点，联立，消整理得，则，.19、(1).(2)或【解析】（1）根据题意，有A、B的坐标可得线段AB的中点即C的坐标，求出AB的长即可得圆C的半径，由圆的标准方程即可得答案；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C到直线x﹣my+1＝0的距离d，结合点到直线的距离公式可得，解可得m的值，即可得答案【详解】（1）根据题意，点，，则线段的中点为，即的坐标为；圆是以线段为直径的圆，则其半径，圆的方程为.（2）根据题意，若直线被圆截得的弦长为，则点到直线的距离，又由，则有，变形可得：，解可得或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题20、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性；（2）根据（1）中所求，求得，以及，再求其取值范围即可.【小问1详解】因为，故可得，令，可得或；当时，，此时在上单调递增；当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，和单调递增，在单调递减；当时，在和单调递增，在单调递减.【小问2详解】由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增又，，故在单调递减，在单调递增.则的最小值；又，当时，的最大值，此时；当时，的最大值，此时，令，则，所以在上单调递减，所以，所以；所以的取值范围为.21、（1）；（2）.【解析】(1)根据等差数列的通项公式求解；