2025-2026学年辽宁省沈阳市沈文新高考研究联盟高二上学期10月质检数学试卷（含答案）

第=page99页，共=sectionpages99页2025-2026学年沈阳市沈文新高考研究联盟高二上学期10月质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题中，假命题是(

)A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件

2.在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OP=2PAA.-23a-12b+13.已知向量a→=(2,1,1),b→=(9,x,A.762 B.63 4.已知空间三点A(4,1,3)，B(2,5,-3)，C(3,x,0)共线，则实数A.3 B.5 C.-3 D.5.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是(

)A.若m//α，α//β，则m/​/βB.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C.若m⊥α，n⊥6.如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，且点B和点D到平面α的距离均为22，则平面A1C1D与平面α的夹角的余弦值A.12 B.22 C.17.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在▵ABC中，若三个内角均小于120∘，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120∘时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，A.3-23 B.3+23 C.8.在平面直角坐标系中，定义：ABn=x1-x2n+y1A.若A,B关于x轴对称，则ABs=ABt

B.若A,B关于直线y=x对称，则ABs二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，已知四面体ABCD，点E,F分别是BC,CD的中点，下列说法正确的是(

)A.AB+BC+CD=AD B.AB10.已知点M(-1,1)，N(2,1)，且点P(a,b)在直线A.a2+b2-a-2b的最小值为398 B.|PM|+|PN|11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点M(-a,0)，N(a,0)距离之积等于a2a>0的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当A.点P的横坐标的取值范围是[-2,2] B.|OP|的最大值是22

C.▵PMN面积的最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离d=

．13.设点A(-2,0)和B(0,3)，在直线l：x-14.△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=2，点D满足DA=AC，点E是BD所在直线上一点，若CE=xCA+yCB，则x+2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l：y=kx+k+1．

(1)求证：直线l恒过定点A(-1,1)；

(2)已知两点B(-4,4)，C(0,2).过点A的直线l与线段16.(本小题15分)

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，D是AB的中点．

(Ⅰ)求证：BC1/​/平面A1CD；

(Ⅱ17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O为AC中点，D是BC上一点，OP⊥底面ABC，BC⊥面POD．

(Ⅰ)求证：点D为BC中点；

(Ⅱ)当18.(本小题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，(1)求证：PB⊥(2)若PB=23，求平面PAB与平面19.(本小题17分)

人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则欧几里得距离D(A,B)=(x1-x2)2+(y1-y2)2；曼哈顿距离d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦距离参考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.C

6.A

7.B

8.C

9.ABC

10.ABD

11.BCD

12.|AP13.1714.2

(-15.解：(1)证明：由y=kx+k+1，可得k(x+1)=y-1，

令x+1=0y-1=0，得x=-1y=1，

∴直线l恒过定点A(-1,1)；

(2)∵A(-1,1)，B(-4,4)，C(0,2)，

∴k16.解：(Ⅰ)证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，

因为O，D分别是AC1，AB的中点，

所以OD是△ABC1的中位线，

所以OD/​/BC1，

因为BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，

所以BC1/​/平面A1CD；

(Ⅱ)设△ABC的面积为S，棱长AA1的长度为h，B到平面A1CD的距离为d，

因为直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=Sh=4，

因为D是AB的中点，

所以△ACD的面积为12S，

所以三棱锥A1-17.解：(Ⅰ)证明：由BC⊥平面POD，得BC⊥OD，

又AB⊥BC，则OD/​/AB，

又O为AC中点，所以点D为BC的中点，

(Ⅱ)如图，

过O作OF⊥PD于点F，

由OF⊥PD，OF⊥BC，PD∩BC=D，

∴OF⊥平面PBC，

又F为PD的中点，∴△POD为等腰三角形，

∴PO=18.解：(1)证明：取AD的中点M，连接MB，则BC//MD且所以四边形BCDM为平行四边形，所以CD//BM且在▵ABDBD所以BD=6=所以BM⊥AD，所以BM⊥BC，所以则PC2+又BC,PC⊂平面PBC所以CD⊥平面PBC又PB⊂平面PBC，所以PB(2)在▵PBC，所以∠PCB=120如图，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则A(4故PB=设平面PAB的法向量为m=(x1,y则有令y1=1,y则，所以平面PAB与平面PBD夹角的余弦值为313319.解：(1)d(A,B)=|-1-35|+|2-45|=8+65=145，

cos(A,B)=cos〈OA,OB〉=OA⋅OB|OA||OB|=-35+855×1=55，

e(A,B)=1-cos(A,B)=1-55=5-55；

(2)设N(x,y)，由题意得：d(M,N)=|2-x|+|1-y|=1，

即|x-2|+