理论力学课件 第五章 点的运动

第二篇运动学运动学：研究物体运动几何性质（轨迹、运动方程、速度、加速度等）的科学。物体在不平衡力系作用下运动受力情况初始状态物体惯性在一般工程问题中，取与地面固连的坐标系为参考系称为固定参考系，简称定系要想确定物体在空间的位置，必须选取另一不变形的物体作为参考体。如果将坐标系固连于参考体上就构成了参考坐标系，简称参考系。瞬时：事件发生或终止的时刻时间间隔：两个瞬时之间的秒数轨迹：点在空间所经过的路线。点的直线运动、曲线运动（平面曲线和空间曲线）运动方程：表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。转动导杆机构曲柄摇杆机构双曲柄机构偏心轮第五章点的运动学决定点在空间的位置，矢量法、直角坐标法、（弧坐标）自然坐标法5.1.1点的运动方程选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即5.1

点运动的矢径法MrO5.1.2点的速度动点的速度矢量等于它的矢径对时间的一阶导数。

动点的速度矢量沿着矢径的矢端曲线（运动轨迹）的切线方向，并与该点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr动点在瞬时t

的位置是M，在瞬时t+Δt的位置是定义为动点在时间Δt

内的平均速度矢量。为动点的瞬时速度矢量。5.1.3点的加速度

点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。动点M在瞬时

t的速度

，在瞬时t+Δt的速度为，则速度的变化是：故动点的平均加速度为瞬时加速度为AMBM'vv、v、

点的加速度矢量等于它的速度矢量对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。

有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。

速度矢径矢端曲线切线

加速度速度矢端曲线切线加速度的方向确定直角坐标与矢径坐标之间的关系5.2.1点的运动方程5.2点运动的直角坐标法MOyyxxzz当动点M

在空间运动时，它在任一瞬时的位置可以用直角坐标系的三个坐标x、y、z

来确定，若已知速度的投影，则速度的大小为其方向余弦为5.2.2

点的速度5.2.3

点的加速度若已知加速度的投影，则加速度的大小为其方向余弦为解：取M点的直线轨迹为x

轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：例题

下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA

长为r

，自水平位置开始以匀角速度w转动，即j=wt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx

将j=wt带入上式，得M点的运动方程：将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：例题

如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度（为活塞的速度，

为比例常数)，初速度为。求：活塞的运动规律。解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示例题

一人高h2

，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解:取坐标系x如图所示，由几何关系得:

上式对t求一阶导数，得M点的速度为:h1h2xMx2Mx这就是自然坐标形式的点的运动方程。5.3点运动的自然坐标法5.3.1点的运动方程

设动点M的轨迹已知，为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即MO¢s(+)5.3.2

自然坐标系曲率的倒数称为曲率半径，M点处的曲率半径为定义曲线在M点处的曲率为

圆的曲率半径就是圆的半径。直线的曲率为0，曲率半径。M¢DsDj曲线在

上的平均曲率为

DsMO¢s(+)M¢DsDj在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M`，这两点切线的单位矢量分别为t和t、，其指向与弧坐标正向一致。将t、平移到点M，则t和t、决定一平面。令M`无限趋近点M

，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与t

、n构成右手系。M密切面

则以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标轴系，这三个轴称为自然轴。且三个单位矢量满足右手法则5.3.3点的速度

用矢量表示为：

在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。5.3.4点的加速度——切向加速度式中第一项表示速度代数值的改变情况，第二项表示速度方向的改变情况，现具体说明如下：代入则MOM'△jabc且的极限位置在密切面内而且垂直于曲线在M点的切线，所以导数的方向是沿主法线方向。——切向加速度——法向加速度上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量an的方向永远沿主法线指向曲率中心，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。若将动点的全加速度向自然坐标系上投影，则有

全加速度为at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式决定：大小：方向：5.3.5几种常见的运动（1）直线运动（2）匀速曲线运动（3）匀变速曲线运动直角坐标法和自然法的关系速度的大小:加速度的大小：已知直角运动方程弧坐标运动方程曲率半径

当运动轨迹很明确时，采用自然法比较方便；当运动轨迹不是很明确时，可以采用直角坐标法。例题

已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm。求：点运动轨迹的曲率半径。由点的运动方程，得解：例题

杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知φ＝ωt(ω为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环M的运动方程。故M点的速度大小为其方向余弦为故M点的加速度大小为且有另，也开采用弧坐标sMMjRoj例题

半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖