第四章指数对数考试题及答案

第四章指数对数考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.化简\(a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{3}{4}}\diva^{\frac{5}{6}}\)的结果是（）A.\(a^{\frac{7}{12}}\)B.\(a^{\frac{13}{12}}\)C.\(a^{\frac{1}{12}}\)D.\(a^{\frac{5}{12}}\)2.若\(2^x=3\)，则\(x\)等于（）A.\(\log_{3}2\)B.\(\log_{2}3\)C.\(\log_{2}x\)D.\(\log_{3}x\)3.计算\(\log_{2}8\)的值为（）A.2B.3C.4D.54.函数\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的图象过点\((2,4)\)，则\(a\)的值为（）A.2B.\(\frac{1}{2}\)C.4D.\(\frac{1}{4}\)5.若\(\log_{a}\frac{1}{2}\gt1\)，则\(a\)的取值范围是（）A.\((0,\frac{1}{2})\)B.\((\frac{1}{2},1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((0,1)\)6.化简\(\sqrt[3]{a^{\frac{9}{2}}\sqrt{a^{-3}}}\)（\(a\gt0\)）的结果是（）A.\(a^{\frac{1}{2}}\)B.\(a\)C.\(a^{2}\)D.\(a^{3}\)7.已知\(\log_{5}3=a\)，\(\log_{5}4=b\)，则\(\log_{5}12\)等于（）A.\(a+b\)B.\(ab\)C.\(a-b\)D.\(\frac{a}{b}\)8.函数\(y=\log_{2}(x-1)\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,1)\)9.指数函数\(y=(m^2-m-1)x^{m^2-2m-3}\)，当\(x\inR\)时为减函数，则实数\(m\)的值为（）A.\(2\)B.\(-1\)C.\(2\)或\(-1\)D.\(-2\)或\(1\)10.已知\(a=\log_{3}2\)，\(b=\log_{5}2\)，\(c=\log_{2}3\)，则（）A.\(a\gtc\gtb\)B.\(c\gta\gtb\)C.\(c\gtb\gta\)D.\(b\gtc\gta\)答案：1.B2.B3.B4.A5.B6.B7.A8.A9.A10.B二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下关于指数函数\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的性质正确的有（）A.当\(a\gt1\)时，函数在\(R\)上单调递增B.当\(0\lta\lt1\)时，函数图象过定点\((0,1)\)C.函数的值域是\((0,+\infty)\)D.函数图象一定在\(x\)轴上方2.下列对数运算正确的是（）A.\(\log_{a}(M\cdotN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(N\gt0\)）B.\(\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(N\gt0\)）C.\(\log_{a}M^n=n\log_{a}M\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(n\inR\)）D.\(\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(b\gt0\)，\(c\gt0\)且\(c\neq1\)）3.已知\(a=\log_{0.5}0.6\)，\(b=\log_{\sqrt{2}}0.5\)，\(c=\log_{\sqrt{3}}\sqrt{5}\)，则（）A.\(a\gtb\)B.\(b\ltc\)C.\(a\ltc\)D.\(b\gtc\)4.函数\(y=\log_{a}(2-x)\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的性质有（）A.当\(a\gt1\)时，函数在\((-\infty,2)\)上单调递减B.当\(0\lta\lt1\)时，函数在\((-\infty,2)\)上单调递增C.函数图象过定点\((1,0)\)D.函数的定义域是\((-\infty,2)\)5.以下与\(2^{\log_{2}5}\)相等的是（）A.5B.\(\log_{2}32\)C.\(\sqrt{25}\)D.\(5^{\log_{5}2}\)6.若指数函数\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）满足\(f(2)=9\)，则（）A.\(a=3\)B.\(f(0)=1\)C.\(f(-1)=\frac{1}{3}\)D.函数单调递增7.对于对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），下列说法正确的是（）A.当\(a\gt1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递增B.当\(0\lta\lt1\)时，函数图象过定点\((1,0)\)C.函数的值域是\(R\)D.函数图象一定在\(y\)轴右侧8.已知\(f(x)=\log_{a}(x+1)\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），则（）A.当\(a\gt1\)时，\(f(x)\)在\((-1,+\infty)\)上单调递增B.当\(0\lta\lt1\)时，\(f(x)\)在\((-1,+\infty)\)上单调递减C.\(f(0)=0\)D.\(f(x)\)的定义域是\((-1,+\infty)\)9.化简\(\sqrt{\log_{2}^25-4\log_{2}5+4}\)的结果可能是（）A.\(2-\log_{2}5\)B.\(\log_{2}5-2\)C.\(\vert\log_{2}5-2\vert\)D.\(2+\log_{2}5\)10.已知\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，函数\(y=a^{x}\)与\(y=\log_{a}x\)的图象（）A.关于直线\(y=x\)对称B.当\(a\gt1\)时，两函数图象有两个交点C.当\(0\lta\lt1\)时，两函数图象有一个交点D.两函数的定义域与值域互换答案：1.ABCD2.ABCD3.ABC4.ABCD5.ABC6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.AC10.AD三、判断题（每题2分，共20分）1.\(2^{\frac{1}{2}}\times2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{6}}\)。（）2.\(\log_{2}3+\log_{2}5=\log_{2}8\)。（）3.指数函数\(y=2^{-x}\)在\(R\)上单调递增。（）4.对数函数\(y=\log_{0.5}x\)的定义域是\((0,+\infty)\)。（）5.\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)（\(a\gt0\)，\(m,n\inN^\)，\(n\gt1\)）。（）6.若\(\log_{a}x\gt\log_{a}y\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），则\(x\gty\)。（）7.函数\(y=\log_{2}(x^2+1)\)的值域是\([0,+\infty)\)。（）8.指数函数\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的图象恒过点\((1,0)\)。（）9.\(\log_{a}a=1\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）。（）10.若\(a^x=b^y\)（\(a,b\gt0\)且\(a,b\neq1\)），则\(x=y\)。（）答案：1.×2.×3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.×四、简答题（每题5分，共20分）1.化简：\((2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})\div(-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})\)答案：先根据指数运算法则，系数运算为\(2×(-6)÷(-3)=4\)。同底数幂相乘除，底数不变指数相加减，\(a\)的指数为\(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=1\)，\(b\)的指数为\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=0\)，所以结果为\(4a\)。2.已知\(\log_{3}x=2\)，求\(x\)的值。答案：根据对数的定义，若\(\log_{a}N=b\)，则\(N=a^b\)。已知\(\log_{3}x=2\)，那么\(x=3^2=9\)。3.求函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)\)的定义域。答案：要使函数有意义，则\(x^2-3x+2\gt0\)，即\((x-1)(x-2)\gt0\)，解得\(x\lt1\)或\(x\gt2\)，所以定义域为\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)。4.比较\(\log_{0.7}0.8\)与\(\log_{0.7}0.9\)的大小。答案：因为对数函数\(y=\log_{0.7}x\)，底数\(0\lt0.7\lt1\)，该函数在\((0,+\infty)\)上单调递减。又\(0.8\lt0.9\)，所以\(\log_{0.7}0.8\gt\log_{0.7}0.9\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.指数函数与对数函数在实际生活中有哪些应用？举例说明。答案：指数函数如在计算复利时，本金\(P\)以年利率\(r\)复利计算，\(n\)年后本息和\(A=P(1+r)^n\)。对数函数可用于衡量地震强度，里氏震级\(M=\log_{10}\frac{I}{I_0}\)，\(I\)是地震波强度，\(I_0\)是标准强度。2.当底数\(a\)在不同范围时，指数函数\(y=a^x\)和对数函数\(y=\log_{a}x\)的单调性和图象特征有何不同？答案：当\(a\gt1\)，指数函数\(y=a^x\)在\(R\)上单调递增，图象过\((0,1)\)且上升；对数函数\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)单调递增，图象过\((1,0)\)且上升。当\(0\lta\lt1\)，指数函数\(y=a^x\)在\(R\)上单调递减，图象过\((0,1)\)且下降；对数函数\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)单调递减，图象过\((1,0)\)且下降。3.如何利用指数函数和对数函数的性质来解决方程和不等式问题？答案：对于指数方程，可通过两边取对数求解；对数方程可化为同底数对数利用对数性质求解。指数不等式，根据指数函数单调性转化求解；对数不等式，依据对数函数单调性并注意定义域求解。如\(2^x=8\)，即\(2^x=2^3\)得\(x=3\)；\(\log_{2}x\gt\lo