时间序列分析 课件 第一章 引言

自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina01知行合一、经世致用

第一章引言

时间序列事实上是一个随机过程。时间序列分析就是通过研究样本时间序列的规律，对时间序列建立适合的模型，并用模型预测和控制时间序列。本章首先介绍时间序列和一些相关知识的概念以及基本结论，然后概述时间序列分析常用的方法，最后介绍时间序列数据的采集和整理。CentralSouthUniversity自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina1.1.1时间序列的定义从理论上来看，时间序列是随机过程的一个分类。从应用上来看，它是随机过程的一个实现。现实社会中，数据通常分为横向数据和纵向数据，或者分为静态数据和动态数据，时间序列就是指纵向的、动态的数据。时间序列并不是只指随时间变化的数据，只要是按照某个顺序排列的数据都称为时间序列。时间序列分析是针对时间序列，也即是针对纵向、动态数据进行研究的一门学科。数千年前，就有着时间序列的记载，人们就开始按照某些时间序列的变化规律来进行生产活动。时间序列分析正式形成一门学科，是上个世纪七十年代。几十年来，该学科发展迅速，目前已具有深入的理论研究和广泛的实际应用。时间序列在实际中随处可见，下面是两个例子。例1.1.1

1985年至2021年的中国人口出生率（‰）年度数据是一个时间序列，具体数据如表1.1.1所示，图1.1.1展示了这一时间序列的折线图。知行合一、经世致用CentralSouthUniversity第一节时间序列的概念自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity表1.1.11985年至2021年的中国人口出生率年份人口出生率年份人口出生率年份人口出生率198521.04199815.64201113.27198622.43199914.64201214.57198723.33200014.03201313.03198822.37200113.38201413.83198921.58200212.86201511.99199021.06200312.41201613.57199119.68200412.29201712.64199218.24200512.4201810.86199318.09200612.09201910.41199417.7200712.120208.52199517.12200812.1420217.52199616.98200911.95

199716.57201011.9

自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina图1.1.11985年至2021年的中国人口出生率知行合一、经世致用CentralSouthUniversity表1.1.11985年至2021年的中国人口出生率图1.1.11985年至2021年的中国人口出生率自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina

图1.1.22019.10-2022.9我国食品类居民消费价格指数知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

例1.1.2

2019年10月至2022年9月我国食品类居民消费价格指数共36个数据如下：115.5，119.1，117.4，120.6，121.9，118.3，114.8，110.6，111.1，113.2，111.2，107.9，102.2，98，101.2，101.6，99.8，99.3，99.3，100.3，98.3，96.3，95.9，94.8，97.6，101.6，98.8，96.2，96.1，98.5，101.9，102.3，102.9，106.3，106.1，108.8其时间序列散点图如图1.1.2所示。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity1.1.2相关知识自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity图1.1.3正态标准白噪声序列自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

1.2.1常见的分类

时间序列变量与其延迟变量（也称为滞后变量）之间往往是相关的，这不同于其它随机样本里各个变量之间是相互独立的情况。因此，时间序列的统计建模方法或者统计推断方法都有着自己的独特之处。

时间序列分析的方法有很多，可以将它们从不同的角度进行分类。例如，如果研究的是一个时间序列自身的变化规律，则称之为一元时间序列分析。而如果探究的是多个时间序列之间的关系，则称之为多元时间序列分析。本书介绍一元时间序列分析。

常见的时间序列分析方法分类还有时域分析与频域分析。频域分析主要是研究时间序列中存在的周期性，该方法基于假设时间序列都是由不同频率的正弦波和余弦波叠加而成。而主要研究时间序列中变量与其延迟变量之间相关关系的方法称为时域分析。对于平稳的时间序列而言，时域分析的所有结果与频域分析的对应结果相同，也即是这两种方法的所有结果可以互相转换。本书只介绍时域分析。第二节时间序列分析方法概述时间序列分析方法还常常分为确定性时间序列分析和随机性时间序列分析。确定性时间序列分析一般指不涉及到序列变量分布的研究方法。而随机时间序列分析需要对序列变量的分布有所设定，例如，假设序列变量的二阶矩存在等等。确定性时间序列分析与随机性时间序列分析不是对立的，而是相互补充，相互借鉴，甚至可以互相转换。本书中介绍几种常用的确定性时间序列分析方法，主要着重于介绍一元随机时间序列分析方法，并有两者结合的讨论。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

时间序列分析方法还常常分为确定性时间序列分析和随机性时间序列分析。确定性时间序列分析一般指不涉及到序列变量分布的研究方法。而随机时间序列分析需要对序列变量的分布有所设定，例如，假设序列变量的二阶矩存在等等。确定性时间序列分析与随机性时间序列分析不是对立的，而是相互补充，相互借鉴，甚至可以互相转换。本书中介绍几种常用的确定性时间序列分析方法，主要着重于介绍一元随机时间序列分析方法，并有两者结合的讨论。

时域分析方法属于随机时间序列分析。它最初的形成是来自G.U.Yule于1927年提出的AR模型，以及G.T.Walker于1931年提出的MA模型和ARMA模型。直到1970年，以G.E.P.Box和G.M.Jenkins等撰写的专著《TimeSeriesAnalysisForecastingandControl》为代表，标志着时间序列分析正式成为一门学科。该时期的时间序列分析方法，主要集中在单变量、同方差、线性模型的场合。迄今这一部分内容，仍然是时间序列分析学科的重要基础知识，也是本书的主要内容。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity随后，时间序列分析方法不断的发展，汤家豪等1980年提出门限自回归模型，RobertF.Engle1982年提出ARCH模型，以及Bollerslev1986年提出GARCH模型等条件异方差模型，这些都属于非线性时间序列分析方法，本书将在最后一章中介绍。近十几年，机器学习方法开始盛行，其中的长短期记忆神经网络可以用于非线性时间序列研究，取得不错的效果，本书也将在最后一章中涉及。现代时间序列分析方法发展迅速、多种多样，各种时间序列分析方法之间并不是对立关系，而是可以相互融合或者相互补充。各种时间序列分析方法互相促进，使得时间序列分析方法的理论研究更加的深入，应用领域更加的广泛。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

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对于趋势和周期，可以对它们进行建模或者消除。关于趋势的确定性分析方法包括：移动平均法、指数平滑法和时间回归法等，关于周期的确定性分析方法包括：季节估计、三角函数拟合等。关于趋势和周期的随机性分析方法也很多，常见的有：差分法消除趋势或者周期，建立ARIMA模型、组合模型和乘积季节模型等。

线性时间序列分析是一元时间序列分析中基础而又重要的内容，一般包括：平稳线性时间序列模型的基本理论、建模方法和预测等。其中基本理论包括ARMA模型的性质、模型的等价形式、自相关函数和偏自相关函数的特点等；建模方法中包括模型的识别、参数估计、模型的诊断等；模型的预测包括预测的原理、预测的计算公式和误差分析等。由上一节中的讨论可知，当平稳随机序列呈现出正态分布形式时，较适合对其建立线性时间序列模型。当平稳随机序列呈现出非正态分布形式时，则需要考虑对其建立非线性时间序列模型。在非线性时间序列分析里，又常分为非线性参数模型和非线性非参数模型，以及非线性半参数模型等。其中常见的非线性参数模型有：门限自回归模型、条件异方差模型和长短期记忆神经网络等。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity第三节时间序列的采集和整理

针对某个需要解决的问题，首先是搜集与之相关的数据，然后通过分析数据，找到解决问题的办法。所以，采集时间序列是进行时间序列分析的第一步。采集到的时间序列一般不能直接用于建模分析，而需要对它们进行整理。常见的数据整理包括：缺失值的补充、异常值的处理等。1.3.1数据的采集

采集时间序列就是按照一定的时间间隔对所研究的现象进行记录或观察。采样的间隔时间可以相等，也可以不等，本书中只讨论采样间隔时间相等的数据。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

例如，对于天气气温时间序列，国家气象部门一般采用间隔六小时的采样，或者间隔三小时的采样。根据需要，他们也提供间隔一小时或半小时的采样等等。采样间隔越小，采集的数据越多，得到的信息就越多，分析得到的结果越准确。但数据越多，处理起来越困难，耗费的人力物力越大。所以，必须在不损失信息和不浪费财力之间做出合理的选择。

对于同一个时间序列，序列值通常是某个指标的值，指标的定义要求一致。例如，日平均气温序列，国家气象部门统一规定，日平均气温是每天02时、08时、14时、20时，四次测量的气温的算术平均。

事实上，很多情况下，我们使用的是专门人员或行业人员收集过来的数据，即所谓二手数据。这些数据可以在在公开的网站或行业内部等地方找到。使用这些数据时，同样需要了解这些数据采集的方式、指标的含义等。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina知行合一、经世致用CentralSouthUniversity1.3.2缺失值的补充数据分析结果的准确性，首先依赖于数据提供的信息的准确性。有两种比较常见的数据问题：一是数据中存在缺失值；二是数据中存在异常值。由于采集失误或者记录失误等原因，造成时间序列在某些时刻的数据没有得到，这些数据称为缺失值。一方面，时间不能倒流，不可能再次采集那些时刻的数据。另一方面，对带有缺失值的时间序列进行分析，结果显然是不可靠的。而且数据的完整性，一般也是时间序列分析软件能够运作的基本要求。所以，我们必须按照某种方法，估算这些缺失值，将估算得到的值补充到时间序列中去。自强不息厚德载物TsinghuaUniversi