高考物理一轮复习 知识点27：圆周运动解析版（基础版）

知识点27：圆周运动考点一：圆周运动的运动学问题题型一：圆周运动物理量计算的问题【知识思维方法技巧】圆周运动物理量的相互关系：【典例1基础题】（多选）如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图．已知质量为60kg的学员在A点位置，质量为70kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0m，B点的转弯半径为4.0m，则学员和教练员(均可视为质点)()A．线速度大小之比为5∶4B．周期之比为5∶4C．向心加速度大小之比为4∶5D．受到的合力大小之比为15∶14【典例1基础题】【答案】AD【解析】学员和教练员一起做圆周运动的角速度相等，根据v＝rω，知半径之比为5∶4，则线速度大小之比为5∶4，A正确；学员和教练员做圆周运动的角速度相等，根据T＝eq\f(2π,ω)，知周期相等，B错误；学员和教练员做圆周运动的角速度相等，半径之比为5∶4，根据a＝rω2，则向心加速度大小之比为5∶4，C错误；所受合力提供做圆周运动所需向心力，根据F＝ma，向心加速度大小之比为5∶4，质量之比为6∶7，则所受合力大小之比为15∶14，D正确．【典例1基础题对应练习】“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现．拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为()A．10m/s2B．100m/s2C．1000m/s2D．10000m/s2【典例1基础题对应练习】【答案】C【解析】纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100πrad/s，由向心加速度：a＝ω2r≈1000m/s2，故选C．题型二：圆周运动的传动问题【知识思维方法技巧】（1）皮带传动特点：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.（2）摩擦传动和齿轮传动特点：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.（3）同轴传动特点：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．【典例2基础题】(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝eq\f(RA,2)，若在传动过程中，皮带不打滑．则()A．A点与C点的角速度大小相等B．A点与C点的线速度大小相等C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4【典例2基础题】【答案】BD【解析】处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝eq\f(RA,2)，所以ωA＝eq\f(ωC,2)，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝eq\f(ωC,2)，可得ωB＝eq\f(ωC,2)，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝eq\f(ωC,2)及关系式a＝ω2R，可得aB＝eq\f(aC,4)，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确．【典例2基础题对应练习】(多选)如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是()．A．从动轮做顺时针转动B．从动轮做逆时针转动C．从动轮的转速为eq\f(r1,r2)nD．从动轮的转速为eq\f(r2,r1)n【典例2基础题对应练习】【答案】BC【解析】因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A错误、B正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的速度大小相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得从动轮的转速为n2＝eq\f(nr1,r2)，C正确、D错误．题型三：圆周运动的周期性和多解性问题【典例3基础题】如图所示，某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A、B.A盘上有一信号发射装置P，能发射出水平红外线，P到A盘圆心的距离为28cm，B盘上有一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到B盘圆心的距离为16cm.P、Q转动的线速度大小相等，都是4πm/s.当P、Q正对时P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，则Q接收到红外线信号的周期可能是()A.0.56s B.0.28s C.0.16s D.0.07s【典例3基础题】【答案】A【解析】P的周期TP＝＝s＝0.14s，Q的周期TQ＝＝s＝0.08s，要使P、Q正对时P发出的红外线再次进入Q的接收窗口，经历的时间必须等于它们各自周期的整数倍，根据数学知识，0.14和0.08的最小公倍数为0.56，故经历的时间最小为0.56s，选项A正确．【典例3基础题对应练习】(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动．一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，则()A.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d B.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2dC.圆筒转动的角速度可能为ω＝π D.圆筒转动的角速度可能为ω＝3π【典例3基础题对应练习】【答案】ACD【解析】子弹在圆筒中运动的时间与自由下落高度h的时间相同，即t＝，则v0＝＝d，故A正确，B错误；在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍，即ωt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)，所以ω＝＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)，故C、D正确．考点二：圆周运动的动力学问题【知识思维方法技巧】圆周运动中的动力学问题：（1）向心力的来源：由合外力提供，只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心力是按力的作用效果命名的，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。（2）向心力的确定：确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置；分析物体的受力情况，合力沿半径方向的分力就是向心力。（3）圆周运动问题的解题步骤：①确定对象：确定物体圆周运动的轨道平面、圆心和半径。②进行分析：分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。分析几何关系，确定圆周运动的圆心、半径等；③选择公式：根据牛顿运动定律和各力的关系列方程求解，向心力大小：F向＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝mr4π2n2＝mωv，有时对结果进行必要的讨论。（4）圆周运动中向心力与合力的关系：①匀速圆周运动：②非匀速圆周运动：题型一：水平式圆周运动的动力学问题类型一：车辆水平转弯模型【典例1a基础题】港珠澳大桥总长约55公里，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的跨海大桥，也是世界公路建设史上技术最复杂、施工难度最高、工程规模最庞大的桥梁．如图所示的路段是一段半径约为120m的圆弧形弯道，路面水平，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面被雨水淋湿，路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车可视为质点，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是()A．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为43.2m/s2B．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6rad/sC．晴天时，汽车以100km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道D．下雨时，汽车以60km/h的速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动【典例1a基础题】【答案】C【解析】汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径R＝120m，运动速率v＝72km/h＝20m/s，向心加速度为a＝eq\f(v2,R)≈3.3m/s2，角速度ω＝eq\f(v,R)＝eq\f(1,6)rad/s，故A、B错误；以汽车为研究对象，当路面对轮胎的径向摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时，此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率vm，设汽车的质量为m，在水平方向上根据牛顿第二定律得Ffm＝eq\f(mvm2,R)，在竖直方向上有FN＝mg，径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，即Ffm＝kFN，以上三式联立解得vm＝eq\r(kgR)≈31.0m/s＝111.6km/h，所以晴天时汽车以100km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道，故C正确；下雨时，路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，有vm′＝eq\r(k′gR)≈21.9m/s≈78.8km/h,60km/h<78.8km/h，所以汽车可以安全通过此圆弧形弯道，且不做离心运动，故D错误．【典例1a基础题对应练习】（多选）如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是()A．车受到地面的支持力方向与车所在平面平行B．转弯时车不发生侧滑的最大速度为eq\r(μgR)C．转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMgD．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小【典例1a基础题对应练习】【答案】BD【解析】车受到的地面的支持力方向垂直地面竖直向上，不与车所在的平面平行，故A错误；设自行车受到地面的弹力为FN，则有Ffm＝μFN，由平衡条件有FN＝Mg，根据牛顿第二定律有Ffm＝Meq\f(veq\o\al(2,m),R)，代入数据解得vm＝eq\r(μgR)，故B正确；对车(包括人)受力分析如图，地面对自行车的弹力FN与摩擦力Ff的合力过人与车的重心，转弯车速较小时，不一定达到最大静摩擦力，所以转弯时车与地面间的静摩擦力不一定为μMg，转弯速度越大，向心力越大，由于Ff＝eq\f(Mg,tanθ)知θ越小，即车所在平面与地面的夹角越小，C错误，D正确。类型二：火车水平转弯模型【典例1b基础题】(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内、外轨道均不受侧向挤压，如图12所示。现要降低火车转弯时的规定速度，需对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是()A.减小内、外轨的高度差 B.增加内、外轨的高度差C.减小弯道半径 D.增大弯道半径【典例1b基础题】【答案】AC【解析】当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示，即mgtanθ＝meq\f(v2,R)，故gRtanθ＝v2，若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内、外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。类型三：飞车走壁模型【典例1c基础题】如图所示，在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，一质量为m的小球在距碗顶高度为h的水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则小球做匀速圆周运动的角速度为（）A.eq\r(\f(gh,R2－h2))B.eq\f(gh,R2－h2)C．geq\r(\f(h,R－h2)) D.eq\r(\f(g,h))【典例1c基础题】【答案】D【解析】根据受力分析和向心力公式可得：mgtanθ＝mrω2，小球做匀速圆周运动的轨道半径为：r＝Rsinθ；解得：ω＝eq\r(\f(g,Rcosθ))＝eq\r(\f(g,h))，故选D.【典例1c基础题对应练习】（多选）如图所示为内壁光滑的半球形容器，半径为R。质量为m的小球在容器内的某个水平面内做匀速圆周运动，小球与球心O连线方向与竖直方向夹角为α。下列说法正确的是()A．小球所受容器的作用力为eq\f(mg,sinα)B．小球所受容器的作用力为eq\f(mg,cosα)C．小球的角速度eq\r(\f(g,Rsinα))D．小球的角速度eq\r(\f(g,Rcosα))【典例1c基础题对应练习】【答案】BD【解析】对小球受力分析，如图所示：根据力的合成，可得小球所受容器的作用力为支持力FN＝eq\f(mg,cosα)，A错误，B正确；根据力的合成，可得小球所受合力F＝mgtanα，小球做圆周运动的轨道半径为r＝Rsinα，根据向心力公式得mgtanα＝mω2r解得角速度ω＝eq\r(\f(g,Rcosα))，C错误，D正确。类型四：圆锥摆运动模型【思维方法技巧】如图，在同一水平面上做匀速圆周运动（圆锥摆）的两个小球，由mgtanθ＝mω2htanθ，可以知道角速度（周期）相同。【典例1d基础题】质量分别为M和m的两个小球A、B，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴小球A、B悬线与竖直方向夹角分别为α和β，如图所示，则()A.cosα＝eq\f(cosβ,2) B.cosα＝2cosβC.tanα＝eq\f(tanβ,2) D.tanα＝tanβ【典例1d基础题】【答案】A【解析】以小球A为研究对象受力分析，由牛顿第二定律得Mgtanα＝Mωeq\o\al(2,1)·2lsinα，解得ωeq\o\al(2,1)＝eq\f(gtanα,2lsinα)＝eq\f(g,2lcosα)。同理，以小球B为研究对象，有ωeq\o\al(2,2)＝eq\f(gtanβ,lsinβ)＝eq\f(g,lcosβ)。因ω1＝ω2，所以2cosα＝cosβ，故A正确。题型二：转盘水平式圆周运动的动力学问题【典例2基础题】（多选）如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，下端拴物体N.若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小为v，物体N处于静止状态，则(不计摩擦)()A．M所需向心力大小等于N所受重力的大小B．M所需向心力大小大于N所受重力的大小C．v2与r成正比D．ω2与r成正比【典例2基础题】【答案】AC【解析】N物体静止不动，绳子拉力与N物体重力相等，M物体做匀速圆周运动，绳子拉力完全提供向心力，即T＝mNg＝F向，所以M所需向心力大小等于N所受重力的大小，A正确，B错误；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝meq\f(v2,r)，则v2与r成正比，C正确；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝mω2r，则ω2与r成反比，D错误．【典例2基础题对应练习】如图所示，是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mP＝2mQ，当整个装置以角速度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时()A．两球受到的向心力大小相等B．P球受到的向心力大于Q球受到的向心力C．两球均受到重力、支持力和向心力三个力的作用D．当ω增大时，Q球将沿杆向外运动【典例2基础题对应练习】【答案】A【解析】两球均受到重力、支持力和绳子的拉力作用，向心力是三个力的合力；两球的重力均与支持力平衡，由绳的拉力提供向心力，则P球受到的向心力大小等于Q球受到的向心力大小，选项A正确，B、C错误；根据向心力大小相等得到mPωeq\o\al(2,P)rP＝mQωeq\o\al(2,Q)rQ，因为角速度相同，此方程与角速度无关，所以当ω增大时，两球半径不变，P球不会向杆外运动，Q球也不会沿杆向外运动，选项D错误。题型三：竖直面内的非匀速圆周运动的动力学问题【知识思维方法技巧】在竖直面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：（1）无支撑的“绳（环）约束模型”：本模型的分析方法和结论适用于“水流星”、“绳球模型”、“过山车”、“竖直固定的光滑内侧圆弧轨道”等，其共同点为：物体做圆周运动的速率时刻在改变，在最低点处的速率最大，在最高点处的速率最小。在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向不确定，临界情况是弹力为零，重力充当向心力。（2）有支撑的“杆（管）约束模型”：本模型的分析方法和结论适用于“过拱形桥”、“杆球模型”、“环形管内光滑轨道”等。在最高点的临界情况是所受弹力为零，速度为零。注意：常利用动能定理来建立最高点和最低点的速度联系。类型一：竖直面内球—绳模型（无支撑绳约束模型）【知识思维方法技巧】竖直面内球—绳模型的处理技巧：（1）球运动在最高点时无支撑。球运动到最高点时：若v≥eq\r(gR)，F弹＋mg＝meq\f(v2,R)，绳、轨道对球产生弹力F弹，若v<eq\r(gR)，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。（2）实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等【典例3a基础题】如图所示，杂技演员在表演“水流星”，用长为1.6m轻绳的一端，系一个总质量为0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2，则下列说法正确的是()A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器的底部受到的压力均为零C．“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受力的作用D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N【典例3a基础题】【答案】B【解析】当水对桶底压力为零时，有mg＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(gr)＝4m/s，“水流星”通过最高点的速度为4m/s，知水对桶底压力为零，不会从容器中流出．对水和桶分析，有T＋Mg＝Meq\f(v2,r)，解得T＝0，知此时绳子的拉力为零，故A、D项错误，B项正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C项错误．【典例3a基础题对应练习】如图一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10m，该同学和秋千踏板的总质量约为50kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为()A．200NB．400NC．600N D．800N【典例3a基础题对应练习】【答案】B【解析】该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有2F－mg＝eq\f(mv2,L)，代入数据解得F＝410N，选项B正确。类型二：竖直面内球—杆模型（有支撑杆管约束模型）【知识思维方法技巧】竖直面内球—杆模型的处理技巧：（1）当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心；（2）当0<v<eq\r(gR)时，mg－F弹＝meq\f(v2,R)，F弹背离圆心并随v的增大而减小；（3）当v＝eq\r(gR)时，F弹＝0；（4）当v>eq\r(gR)时，mg＋F弹＝meq\f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大。【典例3b基础题】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图8所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B．小球过最高点的最小速度是eq\r(gR)C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度的增大而增大D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度的增大而减小【典例3b基础题】【答案】A【解析】当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，即当速度v＝eq\r(gR)时，轻杆所受的弹力为零，所以A正确.小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误.小球在最高点，若v<eq\r(gR)，则有：mg－F＝meq\f(v2,R)，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>eq\r(gR)，则有：mg＋F＝meq\f(v2,R)，轻杆的作用力随着速度的增大而增大，所以C、D错误.【典例3b基础题对应练习】如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是()A．小球通过最高点时速度可能小于eq\r(gL)B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小【典例3b基础题对应练习】【答案】A【解析】小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律得：mg－F＝meq\f(v2,L)，则得v＜eq\r(gL)，故A正确。当小球速度为eq\r(gL)时，由重力提供向心力，杆的作用力为零，故B错误。轻杆在最高点可以表现为拉力，此时根据牛顿第二定律有mg＋F＝meq\f(v2,L)，则知v越大，F越大，即随小球速度的增大，杆的拉力增大；小球通过最高点时杆对球的作用力也可以表现为支持力，当表现为支持力时，有mg－F＝meq\f(v2,L)，则知v越大，F越小，即随小球速度的增大，杆的支持力减小，故C、D错误。类型三：竖直面内球—外轨模型【典例3c基础题】一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为()A．3∶1B．3∶2C．1∶3D．1∶2【典例3c基础题】【答案】C【解析】汽车过圆弧形桥最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1＝F′N1，所以由牛顿第二定律可得mg－F′N1＝eq\f(mv2,R)，同样，如图乙所示，F′N2＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F′N2－mg＝eq\f(mv2,R)，由题意可知FN1＝eq\f(1,2)mg，式得FN2＝eq\f(3,2)mg，所以FN1∶FN2＝1∶3.考点三：圆周运动的临界问题题型一：轻绳断裂与松弛的临界极值问题【知识思维方法技巧】轻绳断裂与松弛的临界极值条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。【典例1基础题】（多选）如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是(g＝10m/s2)()A．2rad/sB．2.5rad/sC．3rad/sD．4rad/s【典例1基础题】【答案】BC【解析】当BC绳刚好拉直时(BC绳中的张力为0)，此时小球的角速度最小，则有mgtan30°＝mωmin2Lsin30°，解得ωmin＝eq\r(\f(g,Lcos30°))，代入数据得ωmin≈2.4rad/s；当角速度继续增大时，AC绳中拉力减小，BC绳中张力增大，当AC绳中拉力为0(AC绳刚好拉直)时，小球角速度最大，则有mgtan45°＝mωmax2Lsin30°，代入数据得ωmax≈3.16rad/s，综上所述，B、C项正确。【典例1基础题对应练习】（多选）质量为m的小球M由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点．如图所示，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，a绳与水平方向成θ角，b绳在水平方向上且长为l，下列说法正确的是()A．a绳的张力不可能为零B．a绳的张力随角速度的增大而增大C．当角速度ω>eq\r(\f(gcotθ,l))时，b绳中存在张力D．当b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化【典例1基础题对应练习】【答案】AC【解析】小球做匀速圆周运动，在竖直方向上，受到的合力为零，受到的水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力大小相等，可知a绳的张力不可能为零，A正确；根据小球在竖直方向上受力平衡得Tasinθ＝mg，解得Ta＝eq\f(mg,sinθ)，可知a绳的张力不变，B错误；b绳对小球不一定有力的作用，当b绳中不存在张力时有eq\f(mg,tanθ)＝mlω2，解得ω＝eq\r(\f(gcotθ,l))，当角速度ω>eq\r(\f(gcotθ,l))时，b绳中存在张力，C正确；由于b绳可能不存在张力，故b绳突然被剪断，a绳的张力可能不变，D错误．题型二：物体接触与脱离的临界极值问题【知识思维方法技巧】运动物体与固定相接触或脱离临界条件是：物体间的弹力恰好为零类型一：水平式圆周运动的锥体模型【典例2a基础题】如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，若要小球离开锥面，小球的角速度ω0至少为(g取10m/s2)()A．eq\r(2)rad/sB．2rad/sC．eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s D．5eq\r(2)rad/s【典例2a基础题】【答案】C【解析】若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)lsinθ解得：ωeq\o\al(2,0)＝eq\f(g,lcosθ)即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s。故选项C正确。类型二：竖直面内圆周运动的内轨模型【典例2b基础题】北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于()A.eq\f(h,k＋1)B.eq\f(h,k)C.eq\f(2h,k)D.eq\f(2h,k－1)【典例2b基础题【答案】D【解析】运动员从a到c根据动能定理有mgh＝eq\f(1,2)mvc2，在c点有FNc－mg＝meq\f(vc2,Rc)，FNc≤kmg，联立有Rc≥eq\f(2h,k－1)，故选D.类型三：竖直面内圆周运动的外轨模型【典例2c基础题】一汽车通过拱形桥顶时速度为10m/s，车对桥顶的压力为车重的eq\f(3,4)，如果要使汽车在该桥顶对桥面恰好没有压力，车速为()A．15m/sB．20m/sC．25m/s D．30m/s【典例2c基础题】【答案】B【解析】当FN′＝FN＝eq\f(3,4)G时，因为G－FN′＝meq\f(v2,r)，所以eq\f(1,4)G＝meq\f(v2,r)；当FN＝0时，G＝meq\f(v′2,r)，所以v′＝2v＝20m/s，选项B正确．题型三：物体相对滑动的临界极值问题【知识思维方法技巧】物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。（1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝eq\f(mv2,r)，静摩擦力方向一定指向圆心。（2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。类型一：水平转盘静摩擦力控制物体的不发生相对滑动模型【典例3a基础题】（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝eq\r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg【典例3a基础题】【答案】AC【解析】小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa＝mωa2l，当Ffa＝kmg时，kmg＝mωa2l，ωa＝eq\r(\f(kg,l))；对木块b：Ffb＝mωb2·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa<Ffb，选项B错误；当ω＝eq\r(\f(kg,2l))时，b刚开始滑动，选项C正确；ω＝eq\r(\f(2kg,3l))<ωa＝eq\r(\f(kg,l))，a没有滑动，则Ffa＝mω2l＝eq\f(