高考物理一轮复习 知识点34：天体的追及与相遇问题（提高解析版）

知识点34：天体的追及与相遇问题【知识思维方法技巧】天体相遇与追及问题的处理技巧：（1）首先根据eq\f(GMm,r2)＝mrω2判断出谁的角速度大（2）根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即θa－θb＝ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1,2,3，…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即θa－θb＝ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)。考点一：地球卫星模型的追及相遇问题题型一：地球卫星与赤道上物体的追及相遇问题【典例1提高题】地球赤道上有一位观察者A，赤道平面内有一颗自西向东运行的近地卫星b，A观测发现，其正上方有一颗静止不动的卫星c，卫星b相邻两次从观察者A正上方飞过的时间间隔为T(T与卫星b的运行周期不相等)。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是()A．c的加速度大于b的加速度B．A的线速度大于c的线速度C．地球的质量为eq\f(4π2R3,GT2)D．c的周期为eq\f(2πT\r(R),T\r(g)－2π\r(R))【典例1提高题】【答案】D【解析】根据题意，赤道正上方静止不动的卫星c为地球同步卫星，其轨道半径最大，由Geq\f(Mm,r2)＝ma可知c的加速度小于b的加速度，选项A错误；地球赤道上的观察者A随地球一起运动，相对于地球同步卫星静止，与同步卫星有相同的角速度，根据v＝ωr可知，A的线速度小于c的线速度，选项B错误；由Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,Tb2)，可得地球质量M＝eq\f(4π2R3,GTb2)，而近地卫星运动周期Tb不等于T，选项C错误；由于地球自转周期与地球同步卫星周期相同，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,Tb)－\f(2π,Tc)))T＝2π，对卫星b根据meq\f(4π2,Tb2)R＝mg，联立解得c的周期为Tc＝eq\f(2πT\r(R),T\r(g)－2π\r(R))，选项D正确。【典例1提高题对应练习】人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h，地球同步卫星b离地面高度为H，且h<H。两卫星共面且旋转方向相同，某时刻卫星a恰好出现在赤道上某建筑物c的正上方，设地球赤道半径为R，地面重力加速度为g，则()A．a、b线速度大小之比为eq\r(\f(R＋h,R＋H))B．a、c角速度之比为eq\r(\f(R＋H3,R＋h3))C．b、c向心加速度大小之比为eq\r(\f(R3,R＋H3))D．a下一次通过c正上方所需时间t＝eq\f(2π\r(gR3),\r(R＋h3)－\r(R＋H3))【典例1提高题对应练习】【答案】B【解析】设卫星的线速度为v，地球对卫星的万有引力提供向心力，则有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，所以v＝eq\r(\f(GM,r))，可知a、b线速度大小之比为eq\r(\f(R＋H,R＋h))，故A错误；地球对卫星的万有引力提供向心力，则有eq\f(GMm,r2)＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知a、b角速度之比为eq\f(ωa,ωb)＝eq\r(\f(R＋H3,R＋h3))，又由于同步卫星b的角速度与c的角速度相同，所以eq\f(ωa,ωc)＝eq\r(\f(R＋H3,R＋h3))，故B正确；同步卫星b的角速度与c的角速度相同，根据向心加速度公式a＝ω2r可得eq\f(ab,ac)＝eq\f(R＋H,R)，故C错误；设经过时间t卫星a再次通过建筑物c上方，根据几何关系有(ωa－ωc)t＝2π，对在地球表面上质量为m0的物体有eq\f(GMm0,R2)＝m0g，联立解得t＝eq\f(2π,ωa－ωc)＝eq\f(2π,\r(\f(gR2,R＋h3))－\r(\f(gR2,R＋H3)))，故D错误。题型二：地球卫星与地球卫星的追及相遇问题【典例2提高题】（多选）假设在赤道平面内有一颗侦察卫星绕地球做匀速圆周运动，某一时刻恰好处在一颗同步卫星的正下方．已知地球半径为R，同步卫星的离地高度h1＝5.6R，侦察卫星的离地高度h2＝0.65R，则有()A.同步卫星和侦察卫星的线速度大小之比为2∶1 B.同步卫星和侦察卫星的周期之比为8∶1C.再经过h两颗卫星距离最远 D.再经过h两颗卫星距离最远【典例2提高题】【答案】BD【解析】同步卫星距地心r1＝R＋h1＝6.6R，侦察卫星距地心r2＝R＋h2＝1.65R，设地球质量为M，两卫星质量分别为m1、m2，根据万有引力提供向心有G＝m，得v＝，代入卫星到地心的距离可得＝＝，则同步卫星和侦察卫星的线速度大小之比为1∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有G＝mω2r，得ω＝，代入卫星到地心的距离可得＝＝，根据T＝，得同步卫星和侦察卫星的周期之比为8∶1，故B正确；同步卫星T同步＝24h，由T同步∶T侦察＝8∶1，知T侦查＝3h，当两颗卫星相距最远时，两卫星转过的角度应相差θ1＝π＋2nπ(n＝0,1,2…)，且满足θ1＝(－)t，解得t＝(＋n)h(n＝0,1,2…)，当n＝0时，t＝h，故C错误，D正确．【典例2提高题对应练习】人造卫星甲、乙分别绕地球做匀速圆周运动，卫星乙是地球同步卫星，卫星甲、乙的轨道平面互相垂直，乙的轨道半径是甲轨道半径的eq\r(3,25)倍，某时刻两卫星和地心在同一直线上，且乙在甲的正上方(称为相遇)，如图所示。在这以后，甲运动8周的时间内，它们相遇了()A．4次B．3次C．2次 D．6次【典例2提高题对应练习】【答案】B【解析】根据周期公式T＝2πeq\r(\f(r3,GM))得eq\f(T乙,T甲)＝5，又因eq\f(2π,T甲)t＝n1π(n1＝1,2，…，16)，eq\f(2π,T乙)t＝n2π(n2＝1,2,3，…)，解得t＝eq\f(n1,2)T甲＝eq\f(n2,2)T乙，当n2＝1时，n1＝5，当n2＝2时，n1＝10，当n2＝3时，n1＝15，所以在这以后，甲运动8周的时间内，它们相遇了3次，B正确。考点二：行星冲日（合日）及偏离现象的追及相遇问题题型一：行星合日（冲日）现象【典例1提高题】（多选）“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知()A．“火星合日”约每1年出现一次B．“火星合日”约每2年出现一次C．火星的公转半径约为地球公转半径的eq\r(3,4)倍D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍【典例1提高题】【答案】BC【解析】由开普勒定律可得：eq\f(R\o\al(3,火),T\o\al(2,火))＝eq\f(R\o\al(3,地),T\o\al(2,地))，eq\f(R火,R地)＝eq\r(3,\f(T\o\al(2,火),T\o\al(2,地)))＝eq\r(3,4)，选项C正确，选项D错误；地球绕太阳的公转周期为1年，根据“火星合日”的特点，可得eq\f(2π,T地)t－eq\f(2π,T火)t＝2π，可得：t＝eq\f(T地×T火,T火－T地)＝2年，选项A错误，选项B正确．【典例1提高题对应练习】(多选)2018年7月27日将发生火星冲日现象，我国整夜可见，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列在同一条直线上，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮且易于观察。地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍，则()A．地球的公转周期比火星的公转周期小B．地球的运行速度比火星的运行速度小C．火星冲日现象每年都会出现D．地球与火星的公转周期之比为eq\r(8)∶eq\r(27)【典例1提高题对应练习】【答案】AD【解析】已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知轨道半径越大，周期越大，故火星的公转周期比地球的大，选项A正确；又由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，则轨道半径越大，线速度(即运行速度)越小，故火星的运行速度比地球的小，选项B错误；根据开普勒第三定律得，eq\f(T火,T地)＝eq\f(\r(r\o\al(3,火)),\r(r\o\al(3,地)))＝eq\f(\r(27),\r(8))，因为地球的公转周期为1年，所以火星的公转周期大于1年，不是每年都出现火星冲日现象，故选项C错误，D正确。题型二：天体周期性的追及相遇问题【典例2提高题】如图，A为太阳系中的天王星，它绕太阳O运行的轨道视为圆时，运动的轨道半径为R0，周期为T0的匀速圆周运动。天文学家长期观测发现，天主星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔t0