《复变函数与积分变换》课件 第1、2章 复数与复变函数、解析函数

复变函数与积分变换及应用背景

（莫里斯克莱恩

）(1908-1992)(《古今数学思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.的概念,从而建立了复变函数理论.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数

复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分.(1)

代数方程

在实数范围内无解.

（阿达马）说:实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.函数理论证明了应用复变(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5)应用于计算渗流问题.

例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.

例如：热炉中温度的计算.

最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,

从而研究机翼的造型问题.变换应用于频谱分析和信号处理等.(7)复变函数理论也是积分变换的重要基础.

积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域．

频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析.随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(8)变换应用于控制问题.

在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(10)Z变换应用于离散控制系统.(11)小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等.(12)复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件(9)第一章复数与复变函数§1.1复数及其运算§1.2复数的几何表示§1.3平面点集§1.4复变函数主要内容

本章主要介绍复数及其运算和几何表示、复变函数及其极限和连续.通过本章的学习，使学生熟练掌握复数的各种表示方法及其运算，了解区域和复变函数的概念，掌握复变函数的极限和连续的概念.§1.1复数及其运算1.1.1复数定义及其运算1.1.2复数的模与共轭复数1.1.1

复数定义及其运算

由于解代数方程的需要,人们引进了复数.例如，简单的代数方程由该等式所定义的数称为在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，18世纪时，数学家Euler首先引入记号并有等式数x+iy(或x+yi)的,并记做

定义1.1设x和y是任意两个实数，称形如x+iy或x+yi的表达式为复数，记作z=x+iy.其中x和y分别称为复当x=0时，z=iy为纯虚数；当y=0时，z=x为实数；当x=y=0时，z=0既是纯虚数，又是实数.注意两个实数可以比较大小，而两个复数不能比较大小，因而实数是有序的，复数是无序的

设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果x1=x2,y1=y2,则称z1和z2相等,记为z1=z2.

复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下：(1)复数的和与差(2)复数的积(3)复数的商复数运算的性质1.交换律2.结合律3.分配律1.1.2复数的模与共轭复数共轭复数

复数x-iy称为复数x+yi的共轭复数

(其中x,y均为实数),并记做.即

复数的模称为复数z=x+iy

的模，记作关于复数的模与共轭复数，有下列关系关于复数的模与共轭复数，有下列关系(1)

解例

1.1设

求所以练习……§1.2复数的几何表示1.2.1复平面与复数的向量式1.2.2复数的三角式与指数形式1.2.3复数的乘幂与方根1.2.4无穷远点与复球面

给定一复数z=x+yi,在坐标平面XOY上存在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应.反之,对XOY平面上的点P(x,y),存在惟一的复数z=x+yi与它对应.根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射.因此可以用XOY平面上的点表示复数z.

这时把XOY平面称为复平面.有时简称为z平面.1.2.1复平面与复数的向量式

显然,实数与x轴上的点一一对应,而x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数与y轴上的点(除原点)对应.因此,称x轴为实轴,y轴为虚轴.

今后把复平面上的点和复数z不加区别,即“点z”和“复数z”是同一个意思.有时用C表示全体复数或复平面.

复数z也可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示(如图).

这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.

用表示复数z时,这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y.

把向量的长度r称为复数z的或称为z的绝对值,并记做|z|.显然复数和与差的模的性质

从几何上看,复数z2-z1所表示的向量,与以z1为起点、z2为终点的向量相等(方向相同,模相等).复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算.共轭复数的几何性质一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的.

如果点P不是原点(即),那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z的辐角,记做Argz.

对每个,都有无穷多个辐角,因为用q0表示复数z的一个辐角时,就是z的辐角的一般表达式.1.2.2复数的三角式与指数形式1．复数z≠0的辐角有时,在进行说明后,把主辐角定义为满足的方向角；但当z=0时,|z|=0.

满足的复数z的称为主辐角(或称辐角的主值),记做argz,则的辐角,这时上式仍然成立.当z=0时,Argz没有意义,即零向量没有确定

当时,有说明：当z在第二象限时，利用直角坐标与极坐标之间的关系数z的三角表示式.复数z=x+yi可表示为称为复复数z=x+yi又可表示为称为复数的指数表示式,其中r=|z|,q=Argz.2．复数的三角表示式3．复数的指数表示式利用Euler公式

复数z=x+yi又可表示为称为复数的指数表示式,其中r=|z|,q=Argz.3．复数的指数表示式利用Euler公式

利用复数的指数式作乘除法较简单，结果可得到两个等式：

应该注意的是中的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的元素相加构成的集合两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为先将z1按逆时针方向旋转角度,再将模变到原来的r2倍,于是所得的向量z就表示乘积例1.2将复数化为三角表示式和指数表示式.解z在第二象限,因此因r=4，所以z

的三角表示式是，指数表示式是.若则特别地，当|z|=r=1时,称之为DeMovie公式（棣摩弗公式）.方根,记做或于是,当时,对给定已知的复数z,方程wn=z的解w称为z的n次如果

可见,除w0,w1,···,wn-1外,均是重复出现的,故这n个复数就是所要求的n个根.当z=0时,w=0就是它的n次方根.常取主辐角.在上面的推导过程中,可取q为一个定值,通若用指数表示式,则当z=reiq时,若用三角表示式,则当时,一般情况下,n个根就是以原点为中心、半径为的圆的内接正多边形的n个顶点所表示的复数.例1.3(1)解方程z3+1=0；（2）.解(1)求方程z3+1=0的解就是求z=-1的全部三次方根.因,所以方程的解是这三个根是内接于中心为原点，半径为1的圆的内接正三角形的三个顶点.（2）求解

因为所以这五个根是内接于中心为原点，半径为的圆的内接正五边形的五个顶点.

复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数.

设S是与复平面C切于原点O的球面.过原点O做垂直于平面C的直线,与S的另一交点为N.原点O称为S的南极(S极),点N称为S的北极(如图).1.2.4无穷远点与复球面

球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.

球面上的北极N不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极

N

越近,它所表示的复数的模越大.

规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作

.

球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.

不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或简称复平面.包括无穷远点的复平面称为扩充复平面.

球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应,这样的球面称为复球面.

对于复数的无穷远点而言,它的实部、虚部,辐角等概念均无意义,规定它的模为正无穷大.(1)加法(2)减法(3)乘法(4)除法§1.3平面点集的一般概念1.3.1邻域1.3.3区域1.3.2曲线1.邻域1.3.1邻域

若z1=x1+iy1,

z2=x2+iy2

，则点z1与z2间的距离d(z1,z2)规定为

显然

设z0为一定点，ρ>0，称满足即以

z0为圆心，以ρ为半径的圆内的全体点所组成的集合记作U(z0,ρ).称U(z

0,ρ)−{z0}为z0的去心ρ邻域，简称为点z0的去心邻域．的点z的全体为点z0的ρ邻域，

满足不等式|z|>R(R>0)的一切点(包括无穷远点)的集合称为无穷远点的邻域.用R<|z|<+

表示无穷远点的去心邻域.下面利用邻域来刻画一些特殊的点与点集．设E是一点集，z0是一定点：

若z0的任意一个邻域内都含有E的无穷多个点，则称z0为E的聚点．若z0∈E且存在某个U(z

0,ρ)，使得U(z

0,ρ)内除z0外再无E的点，则称z0为E的孤立点．若z0∈E且存在某个U(z

0,ρ)，使得U(z

0,ρ)⊂E，则称点z0为E的内点．若存在某个U(z

0,ρ)，使得U(z

0,ρ)内的全部点都不属于E，则称

z0为E的外点．若z0

的任意一个邻域内既有属于E的点，又有不属于E的点，则称z0为E的边界点．称由E的全部边界点组成的集合为E的边界，记作∂E若E的点都是E的内点，则称E为开集．若E的全部聚点都属E，则称E为闭集．若一个平面点集完全包含在原点的某一个邻域内,那么称它是有界集.不是有界集的点集叫做无界集.

例

设z0是定点,r>0是常数,则z0为中心,

以r为半径的圆的内部点,即满足不等式|z-z0|<r

的一切点z所组成的点集(z0的r邻域)是开集.

当0

r<R(r和R均是常数)时,满足不等式r<|z-z0|<R的一切z所组成的点集也是开集.

但满足不等式r<|z-z0|

R的一切点所组成的点集不是开集.因为在圆周|z-z0|=R上的点属于集合r<|z-z0|

R,但这些点不是它的内点,而是边界点.

在圆周|z-z0|=r和圆周|z-z0|=R上的点都是点集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|

R的边界点.

两个圆周上的点都不属于点集r<|z-z0|<R,内圆周|z-z0|=r不属于点集r<|z-z0|

R,外圆周|z-z0|=R属于点集r<|z-z0|

R.(1)连续曲线、Jordan曲线

参数方程x=x(t),y=y(t)(a

t

b)在XOY平面上表示一条曲线C.

把XOY平面视为复平面时,曲线C的参数方程可表示为

如果x=x(t),y=y(t)(a

t

b)为连续函数时,则称曲线C为连续曲线.1.3.2曲线

曲线C在复平面上的参数方程不仅确定了曲线的形状,实际上还给出了曲线的方向,也就是说,曲线是沿着t增加的方向变化的.

复平面上对应于z(a)=x(a)+iy(a)的点称为曲线C的起点,对应于z(b)=x(b)+iy(b)的点称为曲线C的终点.

若曲线C的起点与终点重合,即z(a)=z(b),则称C是闭曲线.

例如,z=z(t)=r(cost+isint)(0

t2p)是一条闭曲线,因为z(0)=z(2p)=r.对曲线C的参数方程做变量代换可得这两个方程所确定的曲线形状相同,起点和终点互易,从而方向相反.用C¯表示与C形状相同、方向相反的曲线.

如果t1

t2,有z(t1)=z(t2),则称z(t1)=z(t2)是曲线z=z(t)的重点.

如果曲线C:z=z(t)(a

t

b)除起点与终点外无重点,即除t1=a,t2=b之外,如果t1

t2,有z(t1)

z(t2),则称曲线C是简单曲线.连续的简单闭曲线称为Jordan曲线.

任何Jordan曲线C将平面分为两个区域,即内部区域(有界)与外部区域(无界),C是它们的公共边界.内部外部边界下列曲线是否为简单闭曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭关于曲线方向的说明:

设C为平面上给定的一条连续曲线,如果选定

C的两个可能方向中的一个作为正向,则称C为有向曲线.

如果从A到B作为曲线

C的正向,那么从B到A为曲线C的负向,就是C¯.除特殊声明外,正向总是指从起点到终点的方向.CC¯Jordan曲线C有两个方向,当点z沿着C的一个给定方向变化时,若C的内部出现在点z前进方向的左侧,就规定这个方向是正的;否则就说是负的.

如果没有特别说明,约定Jordan曲线的正向为这条曲线的方向.

对于圆周曲线可以简单地说,逆时针方向为曲线的正向,顺时针方向为曲线的负向.(2)光滑曲线

如果曲线C参数方程中的x(t)和y(t)都在[a,b]上存在连续的导函数,且对任何t

[a,b],都有称C是一条光滑曲线.

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.

能求出长度的曲线称为可求长曲线.分段光滑曲线是可求长曲线.光滑曲线分段光滑曲线1.区域

设D是复平面上的点集，如果满足以下两个条件:(1)D是开集；1.3.3区域(2)D内的任何两点z1和z2都可以用一条完全在D内的折线,把z1和z2连接起来(具有这个性质的点集叫做连通的).则称D是复平面上的区域.简单地说,连通开集称为区域.

基本概念的图示区域邻域边界点边界为闭区域,记做

例如,满足不等式|z-z0|

r和r

|z-z0|

R的一切点所组成的点集都是有界的闭区域,满足不等式|z|

R的一切点所组成的点集是无界的闭区域.由区域D和它的边界

D所组成的点集，称(1)圆环域:例

判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.(3)单连通区域与多连通区域

设D是复平面上的一个区域,如果位于D内的任何Jordan曲线的内部区域也都包含于D,则称D为单连通区域.若区域D不是单连通区域,则称它为多连通区域.单连通域多连通域

例

指出下列不等式所确定的点集,是否有界?是否区域?如果是区域,单连通的还是多连通的?无界的单连通区域(如图).解(1)当时,是角形域,无界的单连通域(如图).周外部,无界多连通区域(如图).是以原点为中心,半径为的圆表示到1,–1两点的距离之表示该椭圆的内部,这是有界的单连通区域(如图).和为定值4的点的轨迹,因为所以这是椭圆曲线.内部.这是有界集,但不是区域.令是双叶玫瑰线(也称双纽线).表示双纽线的

例

满足下列条件的点集是否区域?如果是区域,是单连通区域还是多连通区域?这是一条平行于实轴的直线,不是区域.它是单连通区域.这是以为右边界的半平面,不包括直线它是多连通区域.它不是区域.这是以为圆心,以2为半径的去心圆盘.这是以i为端点,斜率为1的半射线,不包括端点i.§1.4复变函数1.4.1复变函数的概念1.4.2复变函数的极限1.4.3复变函数的连续性定义1.2设D与E为复平面上的两个复数集，若存在对应关系f，使对每一个z∈D，都有确定的w∈E与之对应，则称在D上确定一函数，记作

w=f(z),z∈D

习惯上称复变数w是复变数z的函数，简称复变函数.

称集合D为函数的定义域，称D的生成集f(G)={wǀw=f(z),z∈D}

为函数的值域，z与w分别称为函数的自变量与因变量．1.4.1复变函数的概念

以后不特别申明时，所指的复变函数都是单值函数.若依f只有一个确定的w与z对应，则称w=f(z)为单值函数．否则，称w=f(z)为多值函数．例如，w=z2,w=z为单值函数，,w=Argz为多值函数．设有函数w=f(z)，z∈D

，D为区域，若对z1,z2∈D,当z1≠z2时,有f(z1)≠f(z2)，则称w=f(z)为D上的单叶函数，称D为w=f(z)的单叶性区域．例如，w=z+1是复平面上的单叶函数，复平面是该函数的单叶性区域复变函数与实变量的实值函数有无联系呢？为弄清这个问题，来观察一个例子．设w=z2

令z=x+iy，w=u+iv则有

u+iv=(x+iy)2=(x2−y2)+i2xy

于是有

u=x2−

y2，v=2xy由此可知，

函数w=z2的实部与虚部均为二元实值函数．一般而言，对于w=f(z)，z∈D，若令z=x+iy

，w=u+iv

，则由对应关系f与复数相等的定义，易知u与v均是二元实值函数．则有其中u(x,y)和v(x,y)都是实变量的二元函数.因此，研究复变函数可以转化为研究二元实值函数．定义了一个复变函数w=f(z)，相当于定义了两个实变函数u=u(x,y)，v=v(x,y)．为了赋予复变函数以形的解释，从变换或映射的角度来考虑．设有函数w=f(z)，z∈D，值域G=f(D)．取两张复平面，分别称为z平面和w平面，若将定义域放在z平面上，值域G

放在w平面上，则复变函数w=f(z)的几何意义是，将z平面上的集合D变换(映射)为w平面上的集合G

．通常，称D为原象集，称G

为象集．若w0∈G

是由点z0∈D变换(映射)来的，则称w0为z0的象点，z0为w0的原象点．

例1.4设w=f(z)=z2，试问它把z平面上的下列曲线分别映射成w平面上的什么曲线：(1)D=

；(2)G={z|x2−y2=4}

定义1.3

设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e>0,存在d>0,使得对一切满足0<|z-z0|<d的z,都有成立,则称当z趋于z0时,f(z)以A为极限，并记做或注意:定义中z

z0的方式是任意的.1.4.2复变函数的极限定理1.1若函数f(z)

与g(z)

均定义在G上，且f(z)

→A,g(z)→B(z→z0)，则有：(1)[f(z)

±g(z)]→A±B(z→z0)；

(2)[f(z)

⋅

g(z)]→AB(z→z0)；

(3)(z→z0)定理1.2

若f(z)

=u(x,y)+v(x,y),z∈G,

z0=x0+iy0是G的聚点，则的充要条件是limu(x,y)=ReA且limv(x,y)

=ImA

x→x0y→y0x→x0y→y0

定义1.4

设f(z)在z0的邻域内有定义,且则称f(z)在z0处连续.

若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.

关于函数f(z)在连续曲线C上的连续性和闭区域上的连续性,只要把上述定义中的z限制在C或上即可.1.4.3复变函数的连续性定理1.3

设则f(z)在处连续的充分必要条件是都在点连续.定理1.4

设都在点连续,则都在

点连续，而

当时，也在点连续.

定理1.5

设在处连续，

而在点连续，则

复合函数在

点连续.

定理1.6

设f(z)在有界闭区域(或有限长的连续曲线C)上连续，则f(z)在(或C)上有界,即存在M>0,当或z

C时，有为了后面的需要,给出下面一个关于函数有界性的定理.1.复数运算和各种表示法

2.

复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章的重点LeonhardEuler(1707.4.15-1783.9.18)伟大的瑞士数学家及自然科学家.出生于牧师家庭,自幼受父亲的教育.13岁时入读巴塞尔大学.在数学领域内,18世纪可以称为是Euler的世纪.他对数学的研究非常广泛,在半个多世纪的研究生涯中,写下了浩如烟海的书籍和论文,几乎每一个数学领域都可以看到Euler的名字,作出了非凡贡献.28岁时,过度的工作使他右眼失明.

年近花甲时,双目失明.Euler完全失明以后，仍然以惊人的毅力,凭着记忆和心算进行研究,直到逝世,竟达17年之久．他在物理、天文、建筑等方面也取得了辉煌的成就.Gauss说:“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法.”Laplace说:“读读Euler,他是我们大家的老师.”生于法国,1688年移居英国.在概率论、复数理法国数学家.在分析学、代数学和几何学等方面都有很大的成就.1887年给出曲线的第一个定义.AbrahamdeMoivre(1667.5.26-1754.11.27)论等领域做了一些出色的工作.CamilleJordan(1838.1.5-19221.21)AugustinLouisCauchy

(1789.8.21-1857.5.23)法国数学家,历史上有数的大分析学家.1805年入理工科大学,1816年成为那里的教授.他给出了微积分的严密基础,同时其工作遍及数学的各个领域,而且在天文学、光学、弹性力学等方面也做出了突出的贡献.他的论文超过了七百篇,在数量上仅次于Euler.他甚至研究过诗歌.GeorgFriedrichBernhardRiemann(1826.9.17-1866.7.20)德国数学家.1846年入哥廷根大学,成为Gauss晚年的学生.1851年以论文“复变函数论的基础”取得博士学位,Gauss在审阅这篇论文时给予极高的评价.1854年写出了将函数表示成三角级数的一篇重要论文,同年另一篇论文开辟了几何学的新领域.1859年成为哥廷根大学教授,同年提出著名的Riemannz函数.第二章解析函数§2.1复变函数的导数§2.2解析函数§2.3初等函数主要内容这一章，首先引入判断函数可微和解析的条件——柯西-黎曼条件;其次，将在实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并研究其性质.§2.1

复变函数的导数2.1.1复变函数的导数2.1.2复变函数的微分2.1.1复变函数的导数定义2.1

设函数w=f(z)定义在区域D内，

存在，则称此极限为函数w=f(z)在点z0的导数，记作f′(z0)或

f′(z0)=

此时，称函数w=f(z)在点z0可导，否则，称函数w=f(z)在点z0不可导．z0∈D,(z0+∆z)∈D，若极限，即

要特别注意的是，虽然复变函数导数定义的形式与一元实函数导数定义形式一致，但是复变函数导数定义中的要求∆z→0时的路径是任意的，这一点要比一元实函数导数定义中的∆x→0要严格的多.

因导数f′(z0)与高等数学中f′(x0)的定义是一样的，所以可直接获得关于f′(z0)的一些相应结果，如导函数的概念、导数的四则运算法则、反函数与复合函数的求导法则及求导公式等．例2.1

试证函数f(z)

=zn(n为自然数)在复平面上处处可导，且f′(z)

=nzn−1证

用定义来证明．

对于复平面上的任意一点

z，由导数定义有

=

=nzn−1于是，f(z)

=zn在点z的导数存在且等于nzn−1．由点z在复平面上的任意性，证得f(z)

=zn在复平面上处处可导．例2.2讨论

在复平面上可导性．解因

当∆z平行于虚轴的直线趋于０(即∆x=0,∆y→0)时，有而当∆z平行于实轴的直线趋于０(即∆x→0,∆y＝0)时，故极限不存在，所以

在复平面上处处不可导．

若函数

w=f(z)在点z0可导，则

w=f(z)在点

z0连续

反之，则未必．由连续的定义可看出，在复变函数中，像这样在复平面上处处连续却又处处不可导的函数还有很多，如：但在实平面上，具有这样性质的函数却很难构造.等。在复平面上处处连续．

2.1.2复变函数的微分同导数一样，复变函数的微分概念在形式上与高等数学中微分概念也完全相同．事实上，若函数w=f(z)在点z可导，则有于是有

由此得 ∆w=f′(z)

∆z+∆z,与高等数学一样，称f′(z)

∆z为函数w=f(z)在点z的微分，记作dw=f′(z)

∆z或df=f′(z)

∆z即由此可见,函数w=f(z)在z可导与在z可微是等价的。特别,当f(z)=z时,得.于是上式可变为若f(z)在区域D内处处可微,则称f(z)在D内可微。§2.2

解析函数2.2.1解析函数的概念2.2.2柯西-黎曼条件(C-R条件)2.2.3调和函数如果f(z)在z0不解析,则称z0为f(z)的奇点2.2.1解析函数的概念定义2.2如果函数w=f(z)在z0点及z0的某个邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0解析．此时称点z0为函数的解析点．若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称函数f(z)在区域D内解析．此时，也称f(z)为区域D内的解析函数，区域D又称为函数f(z)的解析区域．由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是,函数在一点处解析和在一点处可导不等价。即,函数在一点处可导,不一定在该点处解析。函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多。2.2.2柯西-黎曼条件(C-R条件)定理2.1若函数f(z)

=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则函数f(z)在区域D内为解析函数的充分必要条件是：(1)u(x,y)

与v(x,y)在D内可微；(2)ux=vy,uy=−vx

在D内成立．条件(2)常称为柯西-黎曼条件(C-R条件)．从定理2.1，可以有下面几点收获：

①定理2.1给出了解析函数的充分必要条件．

②解析函数的实部与虚部受到十分苛刻的限制，这些限制深刻地揭示了解析函数在“结构”上的特征．

③提供了识别解析函数的一种方法．④提供了一种利用ux,uy,vx,

vy

计算f′(z)的方法：若f(z)

=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，则f′(z)=ux+ivx=vy−iuy

如将定理中“D内任一点”改为“D内某一点”，则定理变为函数f(z)在某点可导的充要条件，因而定理可以判断函数在区域上的解析性，也可判断函数在某点的可导性.例2.3试证函数在复平面上处处解析，，得

在复平面内这四个偏导数处处连续，，可知满足C-R条件，所以函数在复平面内处处解析,且.并求其导数．则u(x,y)与v(x,y)在复平面上可微，又证例2.4判定下列函数的可导性与解析性.;

解

(1)由，得在复平面内这四个偏导数处处连续，则u(x,y)与v(x,y)在复平面上可微，仅当时，C-R条件才成立.所以，函数仅在上可导，在复平面上处处不解析.在

(2)由，知，于是

这四个偏导数在复平面上处处连续，但仅当时，C-R条件才成立.所以，函数仅在点

可导，在复平面上处处不解析.例2.5设函数

在区域D内解析，在D内为常数；在D内解析．(1)

(2)函数试证(1)与(2)等价．证(1)⇒(2)因为常数，所以的实部、虚部在在D内为常数，于是，在D内解析，即推得(2)．(2)⇒(1)令f(z)

=u+iv，则因在D内解析，所以，有又因在D内解析，所以，有ux=−vy,uy=vx

由上两式得ux=vy=uy=vx=0

从而得u与v均为常数，也为常数，即推得(1)．于是可知综上所述，(1)与(2)是等价的．当在D内解析时，还有下列命题也是等价的：①为常数；②=0③为常数；④为常数；⑤为常数.2.2.3调和函数定义2.3

设二元实函数g(x,y)定义在区域D内，若g(x,y)在D内具有连续的二阶偏导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程

gxx

+gyy

=0则称g(x,y)为D内的调和函数．定理2.2

设f(z)

=u+iv，若f(z)在区域D内解析，则u与v均为D内的调和函数．

定义2.4若在区域D内，u与v均为调和函数，且满足C-R条件：则称v为u的共轭调和函数．注意：①当v、u是调和函数时，f(z)=u+iv未必是解析的；②当v为u的共轭调和函数时，f(z)=u+iv是解析的；③v为u的共轭调和函数，这里的共轭概念不具有对称性，而是（-u）为v的共轭调和函数.定理2.3设u(x,y)在区域D内为调和函数，则存在由公式确定的函数v(x,y)，使得函数f(z)=u+iv在区域D内解析.其中,点(x,y)为D内的动点，点(x0,y0)为D内一定点，C为常数．类似，若已知v(x,y)，可求u(x,y)，使得f(z)=u+iv在区域D内解析，其中例2.6已知调和函数u(x,y)=x2−y2+xy，试求解析函数f(z)=u+iv．解

方法1(线积分法)由u(x,y)=x2−y2+xy，得=

例2.6已知调和函数u(x,y)=x2−y2+xy，试求解析函数f(z)=u+iv．解

方法1(线积分法)由u(x,y)=x2−y2+xy，得

从而得f(z)=u+iv=x2−y2+xy+=方法2(偏积分法)依C-R条件有：2y−x=−uy=vx

于是由此得vy=2x+C′(y)=ux=2x+y从而有所以§2.3

初等函数2.3.1指数函数2.3.2对数函数2.3.3三角函数与反三角函数2.3.4一般幂函数与一般指数函数2.3.1指数函数定义2.5设z=x+iy，称

为指数函数，其等式右端中e为自然对数的底，即e=2.71828…．指数函数的性质：

(1)(加法定理)对任意两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2