《高等数学 上册》课件 3-3单调性与极值

第三节：函数的单调性与极值第三章：微分中值定理与导数的应用讲解：大学数学教研室单位：公共课部一、函数单调性的判别三、小结二、函数的极值目录CONTENTS01武汉市气象局监测得2021年12月1日的气温变化如图所示，请根据图像描述这一段时间内武汉市的气温变化情况01函数单调性的判别1.函数单调性的判别锐角单调上升单调下降切线的斜率>0切线的斜率<0tanα>0tanα<0f′(x)>0f′(x)<0钝角2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式(1)若在(a,b)内

，定理1设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.

判断区间单调性

判断区间内导数正负号(2)若在(a,b)内

，

注：若在(a,b)内只有个别点使得f′(x)=0，

则仍为严格单调2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式解：例题12.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式解：例题2x=0就是单调性的分界点，该点也是导数为0的点。2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式例题3解：x=0就是单调性的分界点，该点是不可导点。2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式分界点求法X0y1分界点界点导数等于零的点不可导点分界点可能是不可导点；如果可导，则导数为0。2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式单调区间求法确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数定义域；

2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式确定函数

的单调区间.

（2）解：令得：（3）列表：单调增区间为,单调减区间为.例题4x-2(-2,2)22.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式确定函数的单调区间.

（2）解：令得：（3）列表：单调增区间为

，单调减区间为.练习x-1(-1,1)12.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式确定函数的单调区间.练习x(−∞,-1)-1(-1,1)1(𝟏,+∞)

（2）解：（3）列表：0分界点分界点单调增区间为

，单调减区间为

.2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式确定函数

的单调区间.

（2）解：为不可导点（3）列表：𝒙(−∞,𝟎)0(𝟎,+∞)单调增区间为单调减区间为.例题52.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式分界点求法X0y1分界点界点导数等于零的点不可导点不可导点和驻点一定是单调性的分界点吗？确定函数的单调性.

（2）解：（3）列表：𝒙(−∞,𝟎)(𝟎,+∞)单调增区间为所以该函数为单调增加的.令得：例求出导数为0的点只是可疑分界点2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式驻点和不可导点只是可疑分界点例（2）解：为不可导点𝒙(−∞,𝟎)(𝟎,+∞)

（3）列表：2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式解：例题62.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式证:则f(x)在区间[0,+∞)上连续.令f(x)=ln(1+x)-x可知，f(x)在[0,+∞)严格单调减少，证明不等式ln(1+x)<x，x>0从而有ln(1+x)<x，x>0∵f(0)=ln(1+0)-0=0∴f(x)<f(0)=0即ln(1+x)-x<0例题72.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式证:则f(x)在区间[0,+∞)上连续.令可知，f(x)在[0,+∞)严格单调增加，证明不等式

，x>0从而有

，x>0∵f(0)=1-(1+0)=0∴f(x)>f(0)=0练习02函数的极值1函数的极值函数的极值定义设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，若对该邻域内任意一点x≠x0(1)f(x0)>f(x)，则称f(x0)

为函数f(x)

的极大值，x0

称为

f(x)的极大值点；(2)f(x0)<f(x)，则称

f(x0)

为函数f(x)的极小值，x0

称为

f(x)的极小值点；极大值点、极小值点统称为

f(x)的极值点.,有2.第一充分条件1.函数的极值3.第二充分条件注：极值是一个局部概念，邻域内的最大或最小（不唯一）.为极小值.为极大值.如何找极值可疑点？与单调性分界点的关系？1.函数的极值

定理1（必要条件）除了驻点，还要考虑哪些点？（不可导点）2.第一充分条件3.第二充分条件1.函数的极值(驻点不是极值点情形)(驻点是极值点情形)注意:驻点和导数不存在的点都有可能是极值点，统称为极值嫌疑点.注意:极值点附近单调性会发生改变.2.第一充分条件3.第二充分条件1.函数的极值(1)若定理2（第一充分条件）

(2)若

2.第一充分条件3.第二充分条件左正右负极大值左负右正极小值1.函数的极值(1)确定函数定义域；(2)找极值嫌疑点：导数为零的点和导数不存在的点；(3)讨论嫌疑点左右两边导数符号，从而确定极大（小）.(4)求极值点函数值.确定极值步骤：2.第一充分条件3.第二充分条件

1.函数的极值x-1(-1,3)3确定函数

的极值.

（2）解：令得驻点：（3）列表：

例题82.第一充分条件3.第二充分条件练习求出函数

的极值解:极大值极小值得驻点

x1=-1,x2=3，列表讨论D:(－∞,+∞)极大值为：f(-1)=17，极小值为：f(3)=-47图形如下

1.函数的极值x-1(-1,1)1确定函数

的极值.

（2）解：令得：（3）列表：

练习2.第一充分条件3.第二充分条件1.函数的极值为导数为0的点为导数不存在的点x(−∞,0)0(0,1)1(𝟏,+∞)确定函数

的极值.

（2）解：（3）列表：

不可导极大值极小值例题92.第一充分条件3.第二充分条件1.函数的极值x(−∞,−𝟏)-11(𝟏,+∞)确定函数

的极值.

（2）解：令得：（3）列表：

练习2.第一充分条件3.第二充分条件x(−∞,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2,5)5(5,+∞)确定函数

的极值.

（2）解：令得：（3）列表：练习还有不可导点极大值极小值1.函数的极值

则：判断极大极小（第二充分条件）

2.第一充分条件3.第二充分条件例题10解:x=1是极小值点x=-1是极大值点极大值为：f(-1)=2，极小值为：f(1)=-2用第二充分条件判断函数

的极值驻点且满足第二充分条件时用二阶导判断更方便（2）用第二充分条件判断这两个驻点是否是极值点。

令

可得极值嫌疑点：驻点x=-1和驻点x=1。（1）

练习解:x=3是极小值点x=-1是极大值点极大值为：f(-1)=17，极小值为：f(3)=-47用第二充分条件判断函数

的极值驻点且满足第二充分条件时用二阶导判断更方便（2）用第二充分条件判断这两个驻点是否是极值点。

令

可得极值嫌疑点：驻点x=-1和驻点x=3。（1）

练习当a为何值时，函数

在

处取得极值？它是极大值还是极小值？f(x)为可导函数，故在得

a=2.

所以是极大值点，处取得极值，必有而即即

f′(x)=2cosx+cos3x极大值为解：用第一充分条件需判断驻点左右两侧导数正负号，不方便函数的极值1、当时，定理失效.（此时是否是极值？如何判断？）比如：所有极值嫌疑点都可以用二阶导判断极大极小吗？2、当嫌疑点是不可导点时，不能使用.确定函数极值的方法汇总：（4）找出极值点求出极值函数的极值确定函数

的极值.

（2）解：（3）

例题11x(−∞,−𝟏)-11(𝟏,+∞)函数的极值（4）

x(−∞,-1)-1(-1,1)1(𝟏,+∞)0无法判断极值建议：当有的点需要用第一充分条件时，所有点都采用第一充分条件判断03小结小结(1)、确定定义域。(2)、找可疑分界点：f′(x)=0的点或f′(x)不存在的点。(3)、分区间并根据f′(x)符号判别函数y=