《高等数学 上册》课件 3-5函数的凹凸性与拐点

第五节：曲线的凹凸性与拐点第三章：微分中值定理与导数的应用讲解：大学数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法三、小结01曲线的凹凸性2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性1、下面两个函数的单调性是否相同？问题2、两函数增加的快慢程度是否相同？先平缓（缓慢增加）后陡峭（快速增加）先陡峭（快速增加）后平缓（缓慢增加）凹函数凸函数凹、凸也代表了弯曲方向的不同2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性凹凸图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2.那么称f(x)那么称f(x)(1)如果恒有(2)如果恒有在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)定义1曲线的凹凸性2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性凹凸性的判定2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性凹凸性的判定用定义判断凹凸性比较麻烦，有没有更简便的方法？2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性定理1

凹凸性的判定正凹负凸2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性

解：显然y=lnx的二阶导数在区间(0,+∞)内处处为负（3）那么曲线y=lnx在区间(0,+∞)内是凸的.（2）因为例题12.曲线的拐点1.曲线的凹凸性求函数的凹凸区间。

（2）解：令得：（3）列表：𝒙(−∞,𝟎)(𝟎,+∞)(𝟎,+∞)凹区间为，凸区间为注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点。例题202曲线的拐点及其求法2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性曲线的拐点注意:拐点是曲线上的点(x0,y0).曲线拐点只可能是使f''(x)=0或f''(x)不存在.定义如果连续曲线y=f(x)上的点(x0,y0)的一侧是凹的，而另一侧是凸的，那么称点(x0,y0)是曲线y=f(x)的拐点.曲线凹凸区间的分界点称为函数的拐点.2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性(1)确定函数定义域；(2)求二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点；(3)利用（2）中求出的点将定义域分为几个子区间，并逐一判断子区间上二阶导数的正负性，从而确定凹凸区间.确定函数凹凸区间的步骤：𝒙(−∞,𝟎)𝟎(𝟎,+∞)2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性解：例题3x(−∞,0)02.曲线的拐点1.曲线的凹凸性解:例题42.曲线的拐点1.曲线的凹凸性𝒙(−∞,2)2(2,+∞)2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性解：例题52.曲线的拐点1.曲线的凹凸性比较：求函数的单调区间vs求函数的凹凸区间一阶导数的正负二阶导数的正负

求下列函数的凹凸区间及拐点.凹区间为凸区间为2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性凹区间为凸区间为拐点为练习2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性判断曲线

的凹凸性，是否存在拐点？

解：显然只有当x=0时，

，当

时

故(0,0)不是拐点.（2）因为例题6曲线在

上是凹的，没有拐点.曲线拐点的求法2设函数f(x)在x0的领域内三阶可导，

f″(x0)=0，那么(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.而f‴(x0)≠0，例.求曲线y=sinx+cosx

([0,2π]内)的拐点解:∴在[0,2π]内曲线有拐点注意:若f″(x0)不存在，点(x0,f(x0))也可能是连续曲线y=f(x)的拐点.如图：2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性确定函数

的极值和拐点.

（2）解：（3）列表：

练习2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性判断下列函数的极值与拐点.极大值极小值

练习小结1、曲线的弯曲方向——凹凸性;3、改变弯曲方向的点——拐点;2、凹凸性的判定.拐点的求法f″(x)>0，x∈If″(x)<0，x∈I曲线y=f(x)在I上向上凹曲线y=f(x