《高等数学 上册》课件 第6章 第五节 二阶常系数线性微分方程

第六章

常微分方程§6.5二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程三、小结作业复习二阶齐线性微分方程的解结构可观察出一个特解若(4)定理2若函数y1(x),y2(x)

、是二阶齐线性方程的两个线性无关的解,是该方程的通解.y″+p(x)y′+Q(x)y=0则y=C1y1(x)+C2y2(x)如果二阶线性微分方程为y

+py

+qy=f(x)，其中p、q均为常数，则称(1)为二阶常系数非齐线性微分方程.y

+py

+qy=

0.(1)(2)称(2)为(1)对应的二阶常系数齐线性微分方程.二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程y

+py

+qy=

0(2)由于指数函数求导后仍为指数函数，设y=erx,(r为常数)

则y

=rerx,y

=r2erx显然y

，y

均为y=erx的常数倍，将y

=rerx,y

=r2erx

及y=erx代入(2)式，得erx(r2+pr+q)=0由于erx

0，因此，只要r

满足方程r2+pr+q=0(3)y=erx

就是(2)式的解.方程(3)称为(2)的特征方程.(3)的根称为特征根.特征方程求解思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化r2+pr+q=0(3)y

+py

+qy=

0(2)1

特征方程具有两个不相等的实根

r1

r2.都是(2)的解，所以y1

与y2

线性无关，通解为方程(2)2

特征方程具有两个相等的实根为(2)的一个特解.根据上一节的定理3，方程(2)的通解为3

特征方程具有一对共轭复根y1=e(a+ib)x与y2=e(a-ib)x.这时(2)有两个线性无关的特解利用欧拉(Euler)公式：可得两个函数eax

cosbx与eaxsinbx

均为(2)式的解，且它们线性无关.方程(2)的通解为由齐线性微分方程解的叠加原理，知

上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为(1)

写出所给方程的特征方程；(2)

求出特征根；

(3)

根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，特征根法，其步骤是：

并写出其通解.实根特征根通解例

1.求方程y

-2y

-3y=0

的通解.

解:该方程的特征方程为r2

-2r–3=0,其对应的两个线性无关的特解为所以方程的通解为它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,y1=e-

x

与y2=e3x例2.

试求初值问题解:特征方程具有两相等的实根故原方程的通解为由初始条件y(0)=1,得C1=1再由y

(0)=2得C2+5C1=2，故

C2=-3从而，所求初值问题的解为y-10y

+25y=

0,y(0)=1,

y

(0)=2的解r2-10r+25=0r1=r2=5y=(C1+C2x)e5xy=(1-3x)e5x例3.求方程2y

+2y

+3y=0

的通解.解:该方程的特征方程为2r2

+2r

+3=0，对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为它有共轭复根例4.求方程y

+4y=0

的通解.解:该方程的特征方程为r2

+4=0，

对应的两个线性无关的解y2=sin2x.所以方程的通解为

它有共轭复根r1,2=2i.

即a=0，b=2.y1=cos2x.练习.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为二阶常系数非齐次线性方程非齐次通解=齐次通解+非齐次特解二阶常系数非齐次线性方程

的通解,是它的一个特解的通解之和.

与它所对应的齐次线性方程y

+py

+qy=f(x)

(1)y

+py

+qy=

0

(2)通解结构非齐次方程(1)特解齐方程(2)通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法类型I：f(x)=e

xPm(x)

为实数,Pm(x)为m次多项式.设特解为y*=eλxQ(x),其中Q(x)为待定多项式,代入原方程(1)

,得Q(x)+(2λ+p)Q(x)+(λ2

+

pλ

+

q

)

Q(x)=Pm(x)(3)

(1)

若不是特征方程的根,这时Q(x)与Pm(x)应同次，可令即λ2

+

pλ

+

q≠0，将Q(x)代入（3）比较等式两端x同次幂的系数，得到含a0,a1,…am的m+1个方程的联立方程组，从而可以定出这些系数ai(i=0,1,…m)并求得特解y*=Qm(x)eλx此时，Q′(x)为m

次多项式,Ceλx(C为常数)为方程(2)的解，故可令λ2

+

pλ

+

q

=0,

2λ+p≠0,Q(x)=xQm(x)(2)若是特征方程的单根,则Q(x)是m

次多项式,此时,C1eλx和C2xeλx(C1、

C2为常数)

故可设均为(2)的解，综上所述，设特解为k=0

不是根1

是单根2

是重根

λ2

+

pλ

+

q

=0,

2λ+p

=0,Q(x)=x

2Qm(x)(3)若

是特征方程的重根,例5.

求方程y″-2y′+y

=的一个特解.解:此时

=1,是特征方程r2-2r+1=0的二重根，

又Pm(x)1,即m=0,故可设代入原方程，得故从而所求特解为y*=

Ax2ex2Aex=

ex例6.解:本题

=2，特征方程为r2-5r+6=0,其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为下页推导求方程y″-5y′+6y

=xe2x的通解.

r1=2，r2=3,-2b0=12b0-b1=0代入方程得整理得y″-5y′+6y

=xe2x练习.

（1）求方程y″-2y′+y

=x的通解；（2）求方程y″-5y′+6y

=x的通解.提示：（3）求方程y″-5y′+6y

=e3x的通解.其中a，

，均为实数.Pm(x)为m次实系数多项式.先求的特解再根据第五节定理6便知y*的实部y1*和虚部y2

*分别是方程的解和类型Ⅱ：f(x)=e

xPm(x)cosx

或e

xPm(x)sinx例7.

求方程的一个特解.解:此时,m=1,α=0,β=2,先求方程的一个特解y*因2i不是特征方程r2+1=0的根，

所以可以设上列方程的特解为代入方程，得从而,-3a=1,,-3b+4ai=0,故

即

y*的实部即为原方程的一个特解，即为原方程的一个特解.作为一种更特殊的情况(或y*=bcosx)

i不是特征方程的根，且方程左端又不出现y

时，利用正弦(或余弦)函数的二阶导数仍为正弦(或余弦)函数可设特解为y*=asinx若f(x)=Asinx或f(x)=Bcosx,这一性质，例8.求方程y

+

y

=sinx

的一个特解.解:

f(x)

=sinx

为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a

=

0，w=1，且a

+

wi=

i是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，设特解为则代入原方程，得比较两端sinx

与cosx

的系数，得故原方程的特解为而对应齐次方程y

+

y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解为类型Ⅲf(x)=e

x[Pn(x)cosx+Pm(x)sinx]型其中a，

，均为实常数.Pn(x)、Pm(x)分别为n、

m次实系数多项式.这种类型可以用类型Ⅱ中方法先分别求出自由项为与

的方程的特解y1*与y2*然后利用第五节定理5得到所需求的特解特解形式为当α

i

不是r2+pr+q=0的根时当α

i

是r2+pr+q=0的根时k

取

1；k

取

0；其中都是l次待定多项式，例9.

求方程的一个特解.解:此时是特征方程

2+1=0的根，因此可设代入原方程，比较两端同类项系数，得解这个方程组得故求得一个特解y*为例10.

写出方程的一个特解y*的形式解:

令

因对应齐方程的特征方程为且有重根于是,方程的特解形式是方程的特解形式是方程的特解形式是其中A,B,C,D,E,F为常数.再根据第四节定理5，即知原方程的特解形式是1、二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

实根特征根通解一、一般形式：y

+py

+qy=f(x)

(1)二、解的结构:三、一个特解:

y=

y*的解法,

f(x)=e

xPm(x)的特解,

类型Ⅰ

f(x)=e

xPm(x)cosx

或f(x)=e

xPm(x)sinx类型Ⅱ类型Ⅲf(x)=e

x[Pn(x)cosx+Pm(x)sinx]型的特解,

2、二阶常系数线性非齐次方程的解法1、（2)(3)(6)2、（2）（4）3、（1）（3）（5）习题6-5提高题2.设函数

(x)连续

且满足求

(x)

的解.1.设函数内具有