《工业机器人技术》-第4章

工业机器人逆向运动学机器人逆向运动学求解实例机器人坐标系的标定010302目录学习成果达成要求了解工业机器人逆向运动学的可解性条件了解工业机器人标定的方法掌握基于D-H矩阵变换的机器人逆向运动学求解方法

如何判断机器人末端连杆坐标系的原点的运动轨迹是否在工作空间内，是机器人逆运动学要解决的问题之一。

如果机器人末端连杆坐标系的原点的运动轨迹位于工作空间内，机器人从初始位姿运到指定的位姿时每个关节运动了多少角度，则是机器人逆向运动学问题需要解决的问题之二。本节主要讨论第二个方面的问题。4.1工业机器人逆向运动学4.1.1工业机器人逆向运动学可解性分析对于一个n自由度机器人，其逆向运动学，就是在机器人末端执行器的位姿矩阵给定的情况下，确定每个关节的运动角度

。Z

i-1Y

i-1XiZidiY

i-1Z

i-1Z

i-1Z

i-1Yi-1YiXiXi-1Zi-1X

i-1X

i-1Y

i-1轴i-1轴i连杆i-1连杆iai-1aiX

i-1由于机器人作业时，工具坐标系{T}（末端执行器坐标系）的位姿才是机器人工作所需要的位姿，而工具坐标系“固定”在机器人末端连杆n的法兰盘上（1）根据指定的机器人末端执行器的位姿

，确定机器人末端连杆的位姿矩阵

012n-1

n…3基座连杆1连杆2连杆3连杆n-14.1.1工业机器人逆向运动学可解性分析对于机器人运动学方程式由于右端

已知，需要确定人所有关节变量

的值。根据式可得：（2）根据机器人末端连杆的位姿

求解关节变量

4.1.1工业机器人逆向运动学可解性分析由“两个矩阵相等，则矩阵对应元素分别相等”，可以得到如下12个方程上述12个方程一般为非线性超越方程，共有6个独立方程，因此求解这6个非线性超越方程较为困难，目前尚没有通用的求解方法。自由度n>6的机器人也称为冗余自由度机器人自由度n<6的机器人也称为欠自由度机器人。当机器人自由度n=6时，独立的关节变量n=6时，理论上方程组一般有唯一解。因而一般的通用工业机器人有六个自由度。而通用工业机器人每个连杆上的两个关节轴线一般不是取为平行就是垂直，降低了逆向运动学问题的求解难度。4.1.1工业机器人逆向运动学可解性分析4.1.1工业机器人逆向运动学可解性分析有些情况下虽难以获得机器人逆向运动学问题的封闭解，但可以在满足一定精度要求的条件下求得的近似解，就是数值解。

数值解

解析解

封闭解即解析解，即机器人的每个关节变量由包含机器人末端位置和姿态参数的分式、三角函数、指数、对数和无穷级数等基本初等函数所表达的解。4.1.1工业机器人逆向运动学可解性分析当六自由度串联机器人满足下列条件之一时，逆向运动学问题有封闭解：（1）三个相邻关节轴线相交于一点；（2）三个相邻关节轴线相互平行。

PUMA机器人满足条件（1）因而有封闭解KUKA机器人和ABB机器人满足条件（2）因而也有封闭解4.1.2工业机器人逆向运动学求解方法对于工业机器人，其逆向运动学求解方法中最常用的是利用矩阵变换的方法以及基于旋量的方法。下面为大家介绍一种矩阵变换的方法，即利用位姿矩的逆阵对运动学方程实施变换，以期获得关于机器人关节变量的有效三角方程（方程组）的方法。（1）分别用D-H矩阵的逆阵或逆阵的组合，得到方程：(Eq(i))(Eq(n-1))4.1.2工业机器人逆向运动学求解方法（2）比较矩阵方两边的对应元素，以期得到尽可能多的有效的三角方程

求解这些三角方程,以求得某些关节变量的解析表达式。（3）对于那些尚不能确定的关节变量，则需要利用其余的方程

通过比较这些矩阵方程两边的对应元素而获得有效的三角方程，再由这些三角方程求解这些关节变量，直至求解出所有关节变量。其中：lix、liy、di、l1x、l1y、l2x、l2y、d1、d2分别为常数。对于上述三类方程，可以利用三角恒等变换求出关节变量

i或

j。4.1.2工业机器人逆向运动学求解方法求解机器人逆向运动学问题应该注意以下几点：（1）在利用三角函数方程求解关节变量时，应充分利用反正切函数（2）机构奇异性问题具体而言，就是在求得关节变量

时，应讨论yi和xi同时为0的情况。（3）逆运动学求解过程中会出现多解问题。4.2机器人逆向运动学求解实例KUKA机器人FL-KR6-900逆向运动学求解：a2a5d2Z3Z2Z4Z5Z6Z0Z1a34.2机器人逆向运动学求解实例

式中：①4.2机器人逆向运动学求解实例（1）求；

；

式中：②4.2机器人逆向运动学求解实例令上式矩阵等式两端元素(2,4)（第二行第四列元素）相等可得令其中代入上式得利用反正切函数atan2（y,x）可得故：4.2机器人逆向运动学求解实例（2）求令矩阵等式（1,4）、元素（2,3）分别相等，可得以下两个有效的三角方程将上两式两边平方并相加得：由上式得：其中：4.2机器人逆向运动学求解实例（3）求在式①两端左乘逆变换矩阵

可得：③4.2机器人逆向运动学求解实例令③两边元素（1,4）和元素（2,4）分别相等可得：由上式可得可得：式中

和

分母相等，且为正，用利用反正切函数atan2（y,x）可得：即：4.2机器人逆向运动学求解实例（4）求由于

和

已知，③中元素都为已知数，令其两边元素（1,3）元素和（3,3）元素分别对应相等可得：只要

，就可以求得：当

时，机器人处于奇异位姿，产生了退化。此时关节轴4和轴6重合，只能解出

和

的和或差。奇异位姿可以由

的结果判断，当两个变量都为0则为奇异位姿。4.2机器人逆向运动学求解实例（5）求在式①两端左乘逆变换

可得：④其中均为已知4.2机器人逆向运动学求解实例⑤即：令⑤矩阵两边元素（1,3）和元素（3,3）分别相等可得：有上式可得：4.2机器人逆向运动学求解实例（5）求在式①两端左乘逆变换

可得：令⑥矩阵两边元素（3,1）和元素（1,1）分别对应相等可得：⑥联立可得：至此，该机器人的逆运动学问题得以解决，逆运动共有八种可能的反解。可以根据关节变量的运动范围、运动的连续性以及避障要求剔除多余的解。4.3机器人坐标系的标定零点：机器人每个关节轴都有一个基准位置，称为“零点”或“机械零位”，旋转关节的角位移和移动关节的线位移都是以零点位置为基准。不同厂家、不同型号的机器人其每个轴的“零点”位置设置一般不相同，以KUKA机器人为例，两种不同型号的机器人6个轴的“零点”位置如图所示4.3.1工业机器人零点校正4.3.1工业机器人零点校正原则上机器人在运动前必须处于零点的状态，因而在下列情况下必须进行零点标定：（1）机器人安装完毕后要投入运行；（2）在移动或更换了“零点”位置开关后；（3）未通过机器人控制器移动了机器人轴；（4）当机器人进行了机械维修；（5）机器人运动过程中受到碰撞后。“零点”标定一般采用千分表或者电子测量器4.3.2工业机器人位姿精度测量位姿精度：机器人末端执行器的实际位置与标准位置之间的差距，差距越小，说明精度越高机器人的位姿准确定表示指令位姿和从同一方向接近指令位姿时的实到位姿平均值之间的偏差，它包括位置准确度和姿态准确度机器人位置的准确度和重复性示意图姿态准确度和重复度性示意图4.3.2.1工业机器人位置准确度和重复性测量工业机器人位置精度包括位置准确度和重复性测量方法：定位探针方法、轨迹比较方法、三边测量方法、极坐标测量方法、三角测量方法、惯性测量方法、三坐标测量方法和轨迹描述方法等。4.3.2.2工业机器人位置准确度和重复性测量位置准确度测量：指令位置与从同一方向接近指令位置的平均位置之间的偏差，它表示机器人对同一指令位姿与从同一方向重复n次后实到位置的一致程度；具体而言，就是机器人的指令位置与实到位置集群重心之差位置重复性测量：指令位置与从同一方向接近指令位置的平均位置之间的偏差，它表示机器人对同一指令位姿与从同一方向重复n次后实到位置的一致程度；具体而言，就是机器人的指令位置与实到位置集群重心之差4.3.2.2工业机器人姿态准确度和重复性测量测量方法：包括惯性测量方法、三坐标测量方法、激光跟踪仪和基于CCD的测量方法等姿态准确度：对于工业机器人而言，其姿态准确度表示机器人对同一指令姿态与从同一方向重复n次后实到位姿态平均值一致程度姿态重复性为：1）以位置集群中心为球心的球半径RPl值2）围绕姿态角度（俯仰角，横滚角和偏航角）

的平均值

的角度散布

4.3.3工业机器人其它性能参数工业机器人的其它性能参数，包括距离准确度和距离重复性、位置稳定时间、位置超调量、位姿特性漂移、互换性、轨迹准确度和轨迹重复性(位置)、拐角偏差、轨迹速度特性、静态柔顺性等，它们的测量可以按照ISO/TR13309-1995[8]标准的规定进行。4.3.4工业机器人位姿精度标定对于工业机器人而言，所谓标定就是基于精密的测量手段和参数辨识方法确定工业机器人运动学模型的准确参数，从而提高机器人末端执行器坐标系的位姿精度。机器人标定一般包括机器人运动学建模、位姿测量、运动学模型参数识别和位姿误差补偿四个过程。X3X4X6Z3a2d3Z2X2X1d2Z0Z1Z5Z6X5a5Z4a3机器人运动学建模可以测量机器人默认的末端执行器坐标系（定义在机器人末端连杆法兰上）的位姿精度，也可以测量机器人实际安装的末端执行器TCS的位置和姿态测量。如果不能获得机器人的D-H参数，则用户只能根据机器人的结构特点和运动尺寸，根据D-H坐标系的建立原则，自行建立机器人各连杆的坐标系，从而确定各连杆的D-H参数对于工业机器人而言，为确定默认的工具坐标系的位姿精度，每一个制造商都根据国际标准ISO9283:1998建立自己的测量方法及实施规范。机器人末端执行器位姿测量运动学模型参数识别位姿误差补偿4.3.4工业机器人位姿精度标定一般商业机器人都提供机器人的各关节轴的D-H参数，基于D-H参数可以建立机器人各连杆的坐标系，即可获得机器人的运动学模型。通过典型位姿测量的方式对机器人的运动学参数进行了修正，从而提高了机器人的位姿精度。加入你的标题描述4.3.5与机器人作业相关的坐标系的建立及标定工作台坐标系{S}是为便于描述工件运动轨迹设定的坐标系，但是机器人的运动指令都是以机器人基坐标系{B}为基准给出的，因而需要把该运动轨迹通过工作台坐标系{S}与机器人基坐标系{B}的关系转换到基坐标系中。4.3.5与机器人作业相关的坐标系的建立及标定零点校正：按照机器人使用说明书的具体要求，用测量仪器或千分尺标定机器人每一个轴的“零点”。。机器人位姿和轨迹标定：按照机器人使用说明书的具体要求，完成机器人位置精度、姿态精度和轨迹精度的标定。ImageImageImageImage（1）零点校正（2）机器人位姿和轨迹标定（3）设定工具坐标系TCS

4.3.5