《高等数学 上册》课件 第一章：函数与极限

第1章函数与极限§1.1映射与函数(1)目录CONTENTS三、函数的几何特性一、基本概念二、反函数四、小结01基本概念闭区间设和

都是实数，且

，数集{x|a≤x≤b}叫做闭区间，记作[a,b].即[a,b]={x|a≤x≤b}.区间长度为b-a1.1区间与邻域1.2映射1.3函数开区间半开半闭区间[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}(a,b)={x|a<x<b}abx(a,b)[a,b)ax(a,b]abx闭区间[a,b]={x|a≤x≤b}[a,b]abx有限区间，区间长度为b-ab1.1区间与邻域1.2映射1.3函数关键词标题xaxabxxbx无限区间无穷大1.1区间与邻域1.2映射1.3函数几何特征邻域定义中心半径区间长度到

的距离小于

的点的集合数集

称为点

的

邻域，记作.设

与

为两个实数，且

，1.1区间与邻域1.2映射1.3函数几何特征去心邻域定义将邻域中心去掉，称为点

的去心邻域，记作.这里

就表示.到

的距离小于

的点的集合，不包括

.1.1区间与邻域1.2映射1.3函数0.1-0.10-0.0100.01无论邻域半径大小，都有无数个点围绕在中心点周围邻域特点分析令=0,=0.1和=0.011.1区间与邻域1.2映射1.3函数半径为0.01半径为0.1-0.0100.01

0.10.10数列极限为0以极限0为中心从邻域角度看极限无论邻域多小，数列中都有无数点聚集在0的周围.总结第二节极限会详细研究1.1区间与邻域1.2映射1.3函数左邻域

右邻域

左去心邻域右去心邻域1.1区间与邻域1.2映射1.3函数单侧极限的极限过程(在1.3节详细讲解)

-0

这个极限过程可以用x=0处的左去心邻域刻画1.1区间与邻域1.2映射1.3函数1.1

区间与邻域1.2

映射1.3函数按一定规则查号某教室座位的集合按一定规则入座某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合按一定规则入座引例：1.1区间与邻域1.2

映射1.3函数定义设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应法则f,使得有唯一确定的与之对应,则称

f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.1.1区间与邻域1.2

映射1.3函数注意:1)映射的三要素元素x

的像y

是唯一的,

但y

的原像不一定唯一.定义域对应法则

值域

对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.1.1区间与邻域1.2

映射1.3函数逆映射单射1.1区间与邻域1.2

映射1.3函数1.1区间与邻域1.2

映射1.3函数复合映射函数——数集与数集间的映射设A、B是两个实数集，如果有某一法则

f,对于每个数x

A,均有一个确定的数y

B与之对应，则称f是从A到B内的函数.或说,y是x的函数.

因变量自变量定义域值域对应法则对应法则就是函数表达式1.1区间与邻域1.2映射1.3函数函数定义域的求法使函数表达式有意义的自变量的取值范围，称为函数的定义域定义域实际意义函数概念例1确定函数的三要素定义域对应法则判断下列各对函数是否相同？(1)f(x)=x(不同)(2)f(x)=x(不同)(3)f1(x)=1(相同)f2(x)=sin2x+cos2x函数概念值域例2求函数的定义域.解

要使函数有意义，x必须满足即因此函数的定义域为由此有4-x2≥0,x-1>0,函数概念用区间表示下列函数的定义域.练习102反函数2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数自变量和因变量的对应顺序进行交换习惯上用x表示自变量，y表示因变量，因此反函数常改写成

y=f-1(x).x=f-1(y),设给定函数y=f(x)，其值域为Rf.都有从关系式y=f(x)中唯一确定的x值与之对应，x为因变量的函数，记为则得到一个定义在Rf上的以y为自变量，x=f-1(y).称为函数y=f(x)的反函数,如果对于Rf中的每一个y值，反函数定义2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数注：直接函数必须是一一对应关系，才会有反函数！直接函数反函数1、验证给定函数y=f(x)在定义域Df和值域Rf上存在一一对应关系根据定义求反函数步骤：3、交换字母：2、由

y=f(x)解出

x=f-1(y)，定义域为Rf，值域为Df

(与直接函数相反)y=f-1(x)，定义域为Rf，值域为Df2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数解：由y=x3解出交换字母：y=x3,x∈(－∞,+∞)，求其反函数2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数例3y=x3定义域为(－∞,+∞)，值域为(－∞,+∞)，一一对应，在定义域上存在反函数y=f-1(x)为

y=f(x)的反函数.

因此反函数

y=f-1(x)与函数

y=f(x)的图像关于直线

y=x对称

只是自变量与因变量交换了记号，由于对应关系f-1未变，从几何上看:y=f(x)

2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数已学函数中存在反函数关系的函数示例例4正弦函数

在整个定义域上有反函数吗？

任给y存在多个x与之对应，没有反函数2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数例5

是一一对应，有反函数2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数正弦函数在区间

的反函数：反正弦函数反正弦函数正弦函数值角度2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数求下列反正弦函数值注例62.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数余弦函数在区间

的反函数：反余弦函数反余弦函数余弦函数值角度2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数注：求下列反余弦函数值例72.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数正切函数的反函数：反正切函数2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数注：求下列反正切函数值例82.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数2.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数余切函数的反函数：反余切函数注：求下列反余切函数值例92.2反函数特征2.1反函数定义回顾2.3三角函数的反函数03函数的几何特性3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性xyoabf(x)在(a,b)内有上界M1.M1xyoabM2f(x)在(a,b)内有下界M2.有界性定义1

3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性有界性定义2对任一x

D

都有

f(x)的图像夹在两平行直线y=

M之间.

例10Oxy3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性

O112xy在(0,1)无界；有下界无上界.O112xy1/2在(1,2)有界；

判断

内，是否有界.在

例11解：因为

，

所以它是一个有界函数.3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性练习23.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性判断函数

在

内是否有上界和下界

解：在内无上界，无下界

练习3在(0,)内有上界，有下界3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性判断函数

在(0,)内是否有上界和下界?单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.设函数f(x)在数集D上有定义，若对D中的任意两数

恒有f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间D内是(严格)单调增加的;x1，x2当x1<

x2时，恒有f(x1)>

f(x2),则称f(x)在区间D内是(严格)单调减少

的;当x1<

x2时，3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性定义单调增加函数图像是上升的几何解释严格单调函数有反函数

单调减少函数图像是下降的3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性在(0，+∞)内是单调增加的在(-∞，0)内是单调减少的3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性例12

的单调性.设函数f(x)的定义域Df关于原点对称

,(即若x∈Df,则必有

-x∈Df),若对任意的

x∈Df,都有f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)],则称

f(x)是Df上的奇函数,(偶函数).

偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.xy3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性定义一定过原点吗？解：有定义知是偶函数.判断函数f(x)=3x4-5x2+7的奇偶性例133.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性定义且

f(x

T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T

称为f(x)的周期.设f(x)的定义域为Df，如果存在T≠0,通常周期是指最小正周期.周期函数的图像每隔一个周期重复出现.对x

Df，都有(x

T)

Df，3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性例14写出下列函数的周期.3.2单调性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性04小结1.区间、邻域3.反函数知识点回顾因变量自变量定义域值域对应关系2.函数的概念y=f(x)开区间半开半闭区间[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}(a,b)={x|a<x<b}闭区间[a,b]={x|a≤x≤b}反三角函数邻域4.函数的特性有界性单调性奇偶性周期性知识点回顾f(x

T)=f(x)

恒成立奇函数：f(-x)=-f(x)；偶函数：f

(-x)=f(x)当x1<

x2时，单调增加：f(x1)≤f(x2)；单调减少：f(x1)≥f(x2)

第一节：映射与函数(2)第一章：函数与极限讲解：数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS三、初等函数一、基本初等函数二、两种特殊函数四、小结01基本初等函数(2)幂函数:(α是常数)(3)指数函数：(4)对数函数(5)三角函数正割函数余割函数(6)反三角函数基本初等函数这些基本初等函数中哪些在定义域上是有界函数，哪些是无界函数？思考(1)常数函数:(C是常数)0c常数函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有界函数(α是常数)幂函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数无界函数指数函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数无界函数对数函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数无界函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有界函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数无界函数正割函数余割函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数无界函数反正弦函数正弦函数值角度幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有界函数反余弦函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有界函数反正切函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有界函数反余切函数幂函数常数函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有界函数常用公式拓展知识求其他三角函数值.2.已知拓展练习计算下列函数值练习102两种特殊函数2.2复合函数2.1分段函数分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数..

.

.

.

.

.

.

.

..0··13513定义例1例3符号函数例2绝对值函数Df=(-∞,+∞)Rf=[0,∞)Df=(-∞,+∞)Rf={-1,0,1}-12.2复合函数2.1分段函数例4取整函数f(x)=[x]向下取整，不超过x的最大整数如[3.2]=3[-4.5]=-5Rf={整数}Df=(-∞,∞)••••••2.2复合函数2.1分段函数例5D(f)=[0,∞)R(f)=[0,∞)2.2复合函数2.1分段函数解故D(f):[-3,-1]例62.2复合函数2.1分段函数

设f(x)=10≤x≤1-21<x≤2求函数f(x+3)的定义域练习2解:..........-4-3-2-10123.求f(-π),f(1),=-sinπ

=0∵1∈[1,3)∴f(-π)

=sin(-π)

2.2复合函数2.1分段函数

引例：发电量与风力等级的函数关系？发电量y叶片转速u风力xy=f(u)u=g(x)y=f(g(x))2.2复合函数2.1分段函数

设函数y=f(u)的定义域为

,函数u=g(x)在D上有定义，,则由下式确定的函数称为由函数y=f(u)与函数u=g(x)构成的复合函数，

D为定义域,x为自变量，u为中间变量.记作两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形.简单的说:复合函数就是函数套函数或函数的函数.定义:y=f(g(x))x

D且g(D)

=f(g(x))x

D2.2复合函数2.1分段函数例7解:u=2x3+5,将y表示成x的函数已知将u=2x3+5,

代入可得复合函数的复合本质上就是函数的代入.2.2复合函数2.1分段函数练习3解:将y表示成x的函数已知将可得代入再将可得2.2复合函数2.1分段函数注意:不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数不可以复合成一个复合函数;空集合∴y≠arcsin(2+x2)例如y=arcsinu,∵Df

=[-1,1],Rf

=[2,+∞)Df

∩Rf

=Ф2.2复合函数2.1分段函数例8解:复合而成.y=ln(sinx)由哪些函数复合而成y=ln(sinx)是由y=lnu与u=sinx复合函数的分解要分解到每一层都是初等函数.2.2复合函数2.1分段函数1、由外向内，逐层分解2、内层看作一个整体，用中间变量代替3、直至分解到x的基本初等函数或其四则运算得到的函数例9解:复合而成.是由由哪些函数复合而成2.2复合函数2.1分段函数解写出的复合过程是由复合而成.练习42.2复合函数2.1分段函数03初等函数1.基本初等函数2.初等函数由常数函数，基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算，并且能够用一个式子表示出的函数.初等函数例10判断下列函数是否是初等函数不满足有限次运算不是一个解析式子表达的因此都不是初等函数初等函数由基本初等函数

和

复合而成因此是初等函数解：绝对值函数也可以表示为：初等函数例11判断下列函数是否是初等函数04小结(1)幂函数:(α是常数)(2)指数函数：(3)对数函数基本初等函数(4)三角函数(5)反三角函数2.初等函数3.分段函数4.复合函数知识点回顾基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算，并且能够用一个式子表示出的函数=f(g(x))x

D·作业P17习题1一11、3、46、7、8课后练习第二节：数列的极限第一章：函数与极限讲解：数学教研室单位：公共课部0导言“趋势分析”生活中趋势分析举例在游戏，生活中，研究事物的变化趋势很常见。吃鸡游戏中，随着游戏进行，时间的无限延长，安全区域会呈现逐步缩小的趋势生活中趋势分析举例割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽古代趋势分析思想目录CONTENTS三、数列极限几何意义四、数列极限的性质一、数列极限定性描述二、数列极限定量描述五、小结01数列极限定性描述1.2定性描述1.1数列知识回顾数列

:我们把这无穷多个数排成的序列称为数列，其中

称为数列的首项，称为数列的第n项，或称为数列的一般项.数列定义例如注:数列实质是定义在正整数集

上自变量为

的函数，记为

数列由其函数值构成，即观察法求数列极限数列观察当

n无限增大时，xn的变化趋势。发现：

这个数列当

n无限增大时,对应的项

xn会无限接近于

1。常数

1就是数列{xn}当

n趋向于无穷大时的极限。1.2定性描述1.1数列知识回顾

练习11.2定性描述1.1数列知识回顾极限是01.2定性描述1.1数列知识回顾极限是01.2定性描述1.1数列知识回顾没有极限1.2定性描述1.1数列知识回顾数列极限的定义（定性描述）记作，或发散1.2定性描述1.1数列知识回顾❓

思考：常数数列是否收敛02数列极限定量描述2.2数列极限的定量描述2.1定量描述思路如何定量表述？n

无限增大

n=100，n=10000……无限接近于0即无限小n

…………2.2数列极限的定量描述2.1定量描述思路先列举这两个变量的部分数值情况，并观察其特征n

无限增大

…………2.2数列极限的定量描述2.1定量描述思路数列极限的定义（定量描述）2.2数列极限的定量描述2.1定量描述思路2.2数列极限的定量描述2.1定量描述思路

注

定义中，

刻画了和的接近程度，的“任意”性极其重要.只有这样，

才能体现和“无限接近”.NN•

x•

2.2数列极限的定量描述2.1定量描述思路例1练习22.2数列极限的定量描述2.1定量描述思路（1）错

（2）错

03数列极限的几何意义3.1

n>N3.3小结3.2

n=101,102,103……，从数列的第101项开始从数列的第N+1项开始n=N+1,N+2,N+3……，3.1

n>N3.3小结3.2

11.010.990.010.01

3.1

n>N3.3小结3.2

从第N+1项开始都在邻域里面意味着什么？a-2a+

从N+1项开始是无限项还是有限项？前面的N项是无限项还是有限项？几乎所有项都在此邻域里,最多有限项在邻域外3.1

n>N3.3小结3.2

04数列极限的性质收敛数列性质

极限唯一性定理1.

若数列收敛,则其极限唯一.有界性定理2.

若数列收敛,则数列有界.收敛数列性质

保号性定理3.

若,而a>0,则存在N，从N+1项开始，xn>0。反之亦然。子列收敛定理4.

若数列收敛,则其任意子列也收敛到相同的极限值.05小结2.

数列极限的

–N定义3.

数列极限的几何意义1.数列极限的定量描述;寄语如果不复习，知识点记忆率越来越少，6个月后不到25%P23习题1-2

1第三节：函数的极限第一章：函数与极限讲解：数学教研室单位：公共课部0导言数列是一种特殊函数数列极限回顾一般函数yx

O1y1O1x(1,1)函数“极限”yx

O1y1O1x(1,1)观察函数极限函数“极限”目录CONTENTS

五、函数极限性质

六、小结

01

1.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义

1.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义

练习11.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义f(x)无限接近常数Ax无限增大

…………1.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义

1.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义

1.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义

x>1001.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义

x>1000.01-0.01

1.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义

1.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义几何意义

A

xy0f(x)A总结对任意一个以y=A为中心的绿色带状区域，都可以找到x轴上一个无限向右延伸的红色区域，其对应的函数图像落在绿色带状区域.1.2定量描述1.1定性描述1.3几何意义02

观察函数极限y1O1x(1,1)

定量描述与几何意义

0.01-0.01几何含义

练习2

yx

O1

y0f(x)A-X

03

yx

O1y1O1x(1,1)观察函数极限

0.01-0.01

定量描述与几何意义

练习3

xy0f(x)AX–XA+

A–

片段小结

04

x1O-112

4.2单侧极限

4.2单侧极限观察下列函数当x→1时的极限.练习3

4.2单侧极限

x1O-112

x1O-112

x1O-112

4.2单侧极限在考虑某一点处极限时，只需考虑其去心邻域内函数取值情况.

|f(x)1|无限接近0

4.2单侧极限定量描述？

|f(x)1|无限接近0|

f(x)1|<0.01

4.2单侧极限

|f(x)1|<0.00001

3.2单侧极限xy0f(x)AA+

A–

4.2单侧极限

蓝色定义域对应的函数图像（红色部分）落在绿色带状区域.求下列函数当x→0时的极限.练习4

4.2单侧极限代入法求基本初等函数极限

练习5

4.2单侧极限

左极限右极限

4.2单侧极限左极限与右极限统称为单侧极限.左极限右极限4.2单侧极限

观察y=[x]当x→0时的左、右极限.练习6••••••

4.2单侧极限

函数极限与单侧极限的关系x1O-112

极限不存在极限存在

4.2单侧极限当x→0时当x→1时使用单侧极限求绝对值函数当x→0时的极限.练习7

4.2单侧极限

探讨符号函数当x→0时极限的存在性.练习8-1解：由于左右极限不相等，所以极限不存在

4.2单侧极限

证明不存在.证：不存在.练习104.2单侧极限

05函数极限性质函数极限性质

极限唯一性若limf(x)存在，则极限唯一.局部有界性局部保号性若且A>0,（或A<0）则存在

>0,

使得对一切满足不等式0<|x-x0|<δ

的x,

[或f(x)<0].有f(x)>0,，使得当时，有若，那么存在常数和(函数极限与数列极限的关系)定理子列收敛性函数极限性质

例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.函数极限性质

06小结函数极限的四种形式函数“极限”学习方法与思想类比思维，极限思想xy0f(x)AA+

A–

y0f(x)Axy0f(x)Axy0f(x)AX–XA+

A–

xy0f(x)AA+

A–

xy0f(x)A极限存在的充要条件是两个单侧极限存在且相等极限存在的充要条件

P31习题1-3

1、2、3作业第四节：极限的运算法则第一章：函数与极限讲解：数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS一、

极限四则运算法则二、复合函数的极限三、小结01极限四则运算法则定理一、极限四则运算规则1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

上述极限包括“”，“”.1、核心:拆开的极限要各自存在2、有限项3、分母极限不为0例1求解:（代入法）1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

例2求解:上述结果说明

（代入法）1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

练

习求解:1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

多项式除多项式1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

例3求解:练习求

解:1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

例7求解:1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

练习5求

解：1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

=21.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

例4求解:练习3=0=1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

总结：求多项式相除的极限1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

=0=解:先变形再求极限.无限多个无穷小量之和不一定是无穷小量例6（综合题）1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

例5求解:通分约去零因子例8求.分子、分母同乘解:1.1极限四则运算法则1.2函数变形求极限

02复合函数的极限

复合函数极限求解方法设y=f[

(x)]由y=f(u),u=

(x)复合而成.且在x0的某去心邻域Ů(x0)内,

(x)u0定理二、复合函数极限意义：换元法

例9原式解:

复合函数极限求解方法

解：令

因为

，所以

1.极限的四则运算法则2.复合函数的极限运算法则例10求解：1.极限的四则运算法则2.复合函数的极限运算法则例11解:1.极限的四则运算法则2.复合函数的极限运算法则例12小结

复合函数极限求解方法

代入法（x0在定义域内）

例13求也可以直接用代入法

复合函数极限求解方法

也可以交换次序

例14求

复合函数极限求解方法解:令

也可以交换次序求下列函数的极限.1.极限的四则运算法则2.复合函数的极限运算法则课堂练习答案求复合函数极限求解方法解:令

也可以用方法二1.极限的四则运算法则2.复合函数的极限运算法则解:例15解:1.极限的四则运算法则2.复合函数的极限运算法则例16提高题题1计算解:

题2解:计算提高题1.极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复合函数极限运算法则2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法（

也可以转为下列形式）时,用代入法(分母不为0)时,对(2)复合函数极限求法小结型：约去公因子；根式有理化时,分子分母同除最高次幂

习题1-4

1、2、3作业课后思考题课后思考题拓展练习课后思考题课后思考题拓展练习拓展练习拓展练习1求极限2求极限

(１)

（2）

3已知,求

之值.第五节：极限存在准则与两个重要极限(1)第一章：函数与极限讲解：数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS三、小结一、夹逼准则二、第一个重要极限01夹逼准则夹逼准则（数列）如果数列

xn,yn及zn满足下列条件:(1)yn≤xn≤zn

(n=1,2,3,…)那么数列

xn的极限存在，且1.夹逼准则夹逼准则（函数）1.夹逼准则

1.夹逼准则例1解由夹逼准则得02第一个重要极限2.1第一重要极限

极限是否存在?

结果如何?2.1第一个重要极限用函数的夹逼准则来证明:证明证:110xyAxDBC所以(1)先证然后令x→0+(2)再证（根据函数对称性观察和证明）2.1第一个重要极限例1求

解:=3·1=33一般不写,其中,□

可以为函数.

第一个重要极限练习题1求解:=1一般不写2.1第一个重要极限例题求

（1）我们由第一个重要极限很容易得到下列重要极限的结果。（2）（3）（4）（5）2.1第一个重要极限下面通过例题和练习求解.2.1第一个重要极限练习1求

解:=1·1=1这个重要极限,可写成u0uu其中,u可以为函数.2.1第一个重要极限例2求

解:令则2.1第一个重要极限练习2求

解:令则2.1第一个重要极限三角函数变换回顾半角公式：倍角公式：常用公式2.1第一个重要极限三角函数变换回顾和差化积公式：2.1第一个重要极限例3求

解:注意到三角公式例4求解:2.1第一个重要极限小结1、函数极限存在的准则2、第一重要极限（夹逼准则）P41习题1-5

1作业

第一个重要极限备用题1求解:=1一般不写

第一个重要极限备用题2求解:由于x

.所以x

0.因此,令u=x

,当x

时,u0,代入=1第五节：极限存在准则与两个重要极限(2)第一章：函数与极限讲解：数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS三、小结二、第二个重要极限一、单调有界收敛准则0幂指函数求极限性质设幂指函数为,其中:幂指函数求极限幂指函数求极限01单调有界收敛准则单调有界收敛准则准则II单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限.02第二个重要极限第二个重要极限第一步证明数列{xn}极限存在

第二个重要极限第二个重要极限n…10102103104105……2.593742.704812.716922.718152.71827…数列{xn}是数值不超过3的单调增加数列,由极限存在准则Ⅱ

可知，该数列存在极限，其极限就是无理数e=2.71828…第二个重要极限第二个重要极限证:

利用二项式公式,有大大正又比较可知根据单调收敛准则

可知数列记此极限为e,

e

为无理数,其值为即有极限.第二个重要极限第二步证明

应用夹逼准则得证

第二个重要极限

第二个重要极限第二个重要极限用来求解

例1求

解:第二个重要极限例2求

2、变形解:换元解：第二个重要极限例3例4求

解:

第二个重要极限课堂练习求下列极限第二个重要极限例5求

解:第二个重要极限思考求

第二个重要极限例6求证

第二个重要极限解：解：第二个重要极限例7第二个重要极限汇总第二个重要极限结论：

求极限都可以转化为

的形式，变形前先确定

例8求

解:

第二个重要极限例9求

解：第二个重要极限练习求

第二个重要极限求

答案求

解:第二个重要极限答案求

解:第二个重要极限而，则解：

第二个重要极限例1003小结小结1、第二重要极限作业P41习题1-52备用题求

第二个重要极限解第六节：无穷小与无穷大第一章：函数与极限讲解：数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS一、无穷小的概念四、无穷大的概念二、无穷小的性质三、无穷小的比较01无穷小的概念函数极限为0的情形

y1O1x(1,1)无穷小量（定性描述）

记作

“极限为零的变量”：无穷小量无穷小的概念简称无穷小，判断下列函数是否是无穷小量。练习1无穷小的概念

2、

1、

注

意因此，它不是

时的无穷小量。如sinx是x0时的无穷小量，但（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.（3）说一个量是无穷小，必须指明其变化过程容易出错的地方无穷小的概念判断下列说法是否正确。练习21、0是无穷小中唯一的常数函数.2、0是任何极限过程的无穷小量.1：√2：√无穷小的概念无穷小的概念定理1【意义】02无穷小的性质无穷小的性质性质1则α(x)±β(x)

也是无穷小量.在某一极限过程中，如果α(x)，β(x)是无穷小量，性质2在某一极限过程中，则α(x)

f(x)仍是无穷小量.f(x)是有界变量，若α(x)是无穷小量，性质3在某一极限过程中，是无穷小量，如果α(x)

f(x)以A为极限，且A≠0,则仍为无穷小量.注：可参考极限四则运算规则无穷小的性质例1

求解：因为|sinx|<1,对任意的x(-∞,∞)成立，且故由性质2得（有界量乘以无穷小量还是无穷小量）O-11yy=sinxxx无穷小的性质

有限个无穷小的乘积也是无穷小.推论2推论3推论1在同一极限过程中的有限个无穷小的代数和仍为无穷小.(无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小).常数与无穷小的乘积是无穷小.解:但是无限多个无穷小之和不一定是无穷小例2无穷小的性质03无穷小的比较无穷小的比较设

α(x),β(x)是自变量同一变化过程中的无穷小量,即limα(x)=0,limβ(x)=0,高阶无穷小量同阶无穷小量等价无穷小量所以，x2=o(x),

(x→0)证明例3

无穷小的比较证明例4

无穷小的比较观察并比较下列两个无穷小量的数量级及变化趋势。

x2=o(x),

(x→0)无穷小的比较像素压缩当网络运行不畅时，视频清晰度会降低，即进行了像素压缩其本质是进行了近似计算高阶无穷小被忽略近似计算二者数量级相同，都线性趋于0，没有本质差异观察并比较下列两个同阶无穷小量的数量级及变化趋势。无穷小的比较k阶无穷小量则称

(x)是关于

(x)的k阶无穷小量;若在某极限过程中，

练习

解:由第六节可知

无穷小的比较设

α(x),β(x)是自变量同一变化过程中的无穷小,即limα(x)=0,limβ(x)=0,等价无穷小量特别当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx,等价无穷小的应用练习3

解:

等价无穷小的应用常用的等价无穷小量当x→0时，若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小而不会改变原式的极限．代换，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx等价无穷小的应用填空1.当时，2.当时，3.当时，4.当时，练习4等价无穷小的应用x~sinxx可以替换为任意一个极限为0的式子定理等价代换法则证：等价无穷小的应用例5求

；等价无穷小的应用练习求解:因为

x→0时，所以,tan7x~7x,sin5x~5x,等价无穷小的应用例6求解：

当

时，

，所以

等价无穷小的应用例7等价无穷小的应用例8解:解:错等价无穷小的应用例9求

等价无穷小解:复合函数的极限法则例10求

等价无穷小例11

解:

=1

等价无穷小常用的等价无穷小量当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex-1等价无穷小等价无穷小的变式填空5.当时，6.当时，7.当时，练习练习求答案求解:故当x→∞时，答案练习解:=1

求04无穷大的概念观察函数趋势4.2无穷大与无穷小4.1无穷大的定义

4.1无穷大的定义观察函数趋势4.2无穷大与无穷小

4.1无穷大的定义4.2无穷大与无穷小判断下列函数极限过程中是否是无穷大量。练习

解：这两个极限过程都是无穷大量4.1无穷大的定义无穷大（定量描述）若用f(x)>M

代替|f(x)|>M,

则得到正无穷大量

对于任意给定的正数M总存在正数X>0,使得当x满足（无论它多么大）对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)|>M.时是无穷大量，记作

x>X(x<-X,|x|>X)时，

若用f(x)<-M

代替|f(x)|>M,

则得到负无穷大量

4.2无穷大与无穷小无穷大量（与无穷小的关系）4.1无穷大的定义4.2无穷大与无穷小在自变量的同一变化过程中，一个不为0的无穷小倒过来就是无穷大。

例12则

则4.1无穷大量定义4.2无穷大量与无穷小量观察下列无穷小量与无穷大量的关系。判断下列函数是否是无穷大量。练习

4.1无穷大量定义4.2无穷大量与无穷小量

所以解：

所以小结

1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系(1)无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，(2)无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；(3)无界变量未必是无穷大.零是唯一的无穷小的数；4.几点注意:小结0，1，A，当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex-1常用的等价无穷小量若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小而不会改变原式的极限．代换，作业习题1-62、3、4、5第七节：函数的连续与间断第一章：函数与极限讲解：数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS三、连续函数的运算一、函数连续的定义二、函数的间断点常见的“连续性”导言以植物生长为例，连绵不断曲线导言反应在函数上，就是函数的连续性01函数连续的定义1.1函数的点连续1.2函数的区间连续

设函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义,则称函数f(x)在点x0连续,且有x0称为函数f(x)的连续点.例1判断下列两个函数在x=1处是否连续.x1O-112

x1O-112

实心点，连续函数断开，不连续

1.1函数的点连续1.2函数的区间连续练习1

证明函数y=f(x)=|x|在x=0处连续.证:y=f(x)=|x|在x=0处的邻域内有定义，且f(0)=0

所以,

y=f(x)在x=0处连续.=0=f(0)

函数图像在x=0处连续不断.1.1函数的点连续1.2函数的区间连续函数的单侧连续性设函数f(x)在点x0及其某个左(右)邻域内有定义.且有则称函数f(x)在点x0是左（右）连续的函数f(x)在点x0的左、右连续性，统称为函数的单侧连续性.f(x)在点x0连续的充要条件是：f(x)在点x0左连续且右连续.定理

1.1函数的点连续1.2函数的区间连续例2问a为何值时,f(x)在x=0连续.

1.1函数的点连续1.2函数的区间连续例2解:=3f(x)在x=0右连续.为使f(x)在x=0连续,必须f(0–)=f(0)=f(0+)即,a=3.=af(0)=3问a为何值时,f(x)在x=0连续.1.1函数的点连续1.2函数的区间连续练习2怎样选取a的值，使在x=0处连续？解：且f(0)=a即a=1所以，当a=1时，∴当f(x)在x=0处连续时.f(0–)=f

(0+)=f(0),f(x)在x=0处连续.1.1函数的点连续1.2函数的区间连续变量增量注：(1)Δu是一个记号，是一个不可分割的整体.(2)

Δu可正,可负,可为零.变量u从一个初值u1变到终值u2，

即增量,....则u2-u1称为变量u的记做Δu,Δu=u2-u1,u2=u1+Δu,1.1函数的点连续1.2函数的区间连续从增量判断函数连续有自变量的增量Δx

函数f(x)的增量0对函数f(x)来说，f(x)连续的意思是∆x很小时，∆y也很小.即：当Δx→0时，

∆y→0。∆y=f(x0+Δx

)-f(x0)1.1函数的点连续1.2函数的区间连续从增量判断函数连续左连续右连续连续有下列等价命题:函数f(x)在点x01.1函数的点连续1.2函数的区间连续证明当自变量的增量为

时，函数

对应的增量为

，例3用增量形式证明在

处连续.由于

，因此

在

处连续.1.1函数的点连续1.2函数的区间连续函数在区间上连续定义如果f(x)在(a,b)内每一点都连续.则称f(x)在(a,b)内连续.这时，区间(a,b)称为函数f(x)的连续区间.如果f(x)在(a,b)内连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在[a,b]上连续.1.1函数的点连续1.2函数的区间连续例4问a为何值时,f(x)在(－∞,+∞)上连续.f(x)在(-,0),（0,+)上都是连续不断的曲线，只需在0点处连续即可。1.1函数的点连续1.2函数的区间连续例4问a为何值时,f(x)在(－∞,+∞)上连续.解：f(x)在(-,0),（0,+)上显然连续=0，=0，所以a=0时f(x)在(－∞,+∞)上连续.此时f(x)函数图像在(－∞,+∞)上连续不断.1.1函数的点连续1.2函数的区间连续练习3

y1O11x

解：由于f(x)在(-,0),(0,+)上显然连续，所以，当a=1时，f(x)在(-,+)连续；此时函数图像在(-,+)连续不断1.1函数的点连续1.2函数的区间连续02函数的间断点函数的间断点

而f(x)在x0处不连续，则称

x0是函数f(x)的一个间断点.设y=f(x)在点x0的任何去心邻域内存在有定义的点无定义;(1)f(x)在

x0不存在;(2)

(3)

≠f(x0)例5判断下列函数在x=0处是否间断xO

解：函数的间断点例6判断下列函数在x=0处是否间断xO

1解：函数的间断点左右极限存在且相等xO

xO

1只要改变或者补充间断点处函数的定义,

则可使其变为连续点.可去间断点函数的间断点例6判断下列函数在x=0处是否间断跳跃间断点左右极限存在但不相等解：函数的间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断点（左右极限都存在）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）除了第一类间断点以外其他间断点：左右极限存在且相等左右极限存在但不相等函数的间断点无穷间断点xyO

振荡间断点π

xy

左右极限至少有一个为无穷大呈振荡无极限状态第二类间断点：左右极限至少有一个不存在函数的间断点练习4下列哪些函数的间断点是什么类型间断点？可去间断点无穷间断点跳跃间断点y1O-11x

1-1函数的间断点练习5判断函数的间断点及其类型。

解：x=2是无穷间断点x=1是可去间断点函数的间断点02连续函数的运算连续函数的运算定理(连续函数的和、积及商的连续性)若f(x),g(x)在点x0处连续,则(1)

af(x)+bg(x)(2)

f(x)·g(x)(3)当g(x0)0时,例如,均在x0处连续,其中a,b为常数.

——f(x)g(x)连续函数的运算定理(反函数的连续性)若函数y=f(x)是在区间(a,b)内单调的连续函数,则其