2024-2025学年上海师范大学附属嘉定高级中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2024-2025学年上海师范大学附属嘉定高级中学高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。1.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2)，平面α的法向量为n=(2,2,4)，则l与α的关系是(

)A.l⊥α B.l//α C.l与α相交 2.下列命题正确的是(

)A.若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行

B.若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线

C.若直线与平面平行，则这条直线与平面内的所有直线平行

D.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内3.设点A(6,-3),B(-4,-2)，斜率为k的直线l过点P(2,1)且与线段AB相交，则kA.[-1,2] B.-∞,-1∪2,+∞

4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BC①若AA1=3，则异面直线②若AA1=3，则点则下列选项正确的是(

)A.①真②假 B.①②全真 C.①假②真 D.①②全假二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。5.已知直线方程为y=33x+2，则此直线的倾斜角为

．6.若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为

．7.在空间直角坐标系O-xyz中，点(1,-2,4)关于坐标平面yOz对称的点坐标为

8.正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线9.直线l的一个法向量为n=(3,2)，且过点(1,0)，则直线的一般式方程为

．10.如图，已知▵ABC的直观图是直角边长为2的等腰直角三角形▵A1B1C1，∠B111.若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为

．12.一个正三棱锥高为1，底面是边长为6的正三角形，则此三棱锥的侧面积为

．13.已知直线l过点P(-4,1)，且与直线m:3x-y+1=0的夹角为arccos31010，则直线14.祖暅(公元前5-6世纪)，字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.如图将某几何体(左侧图)与已被挖去了圆锥体的圆柱体(右侧图)放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面，若S圆=S环总成立，且图中圆柱体(右侧图)的底面直径为3，高为3，则该几何体(左侧图)的体积是15.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2,Pi16.如图，已知PA、PB、PC与平面α所成角分别为60°、45°、30°，PO⊥平面α，O为垂足，又有斜足A、B、C三点在同一直线上，且AB=BC=10cm，则PO的长等于

．

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)如图，在正方体ABCD-A1B(1)证明：CD//平面AB(2)求直线CD到平面ABC118.(本小题15分)如图，三棱柱ABC-A1B(1)求圆柱的表面积；(2)求三棱柱ABC-A119.(本小题16分)在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996年故入世界文化遗产名景(如图1).现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m(如图2)．C是母线SA的一个三等分点(靠近点S).(1)现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶(不含底面)大约需要多少朵鲜花(此处π取3.14，结果精确到个位):(2)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．20.(本小题17分)已知三角形ABC的顶点C(4,3)，边AC上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0，点(1,-2)是边(1)求边AC所在直线的方程；(2)求点B的坐标；(3)求∠BAC的角平分线所在直线的方程．21.(本小题17分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，▵OCD是边长为1的等边三角形，且(1)求三棱锥A-BCD的高；(2)求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；(3)在棱AD上是否存在点E，使二面角E-BC-D的大小为45°？若存在，并求出AEDE的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.A

2.D

3.D

4.B

5.π66.4037.(-1,-8.45∘9.3x+2y-3=0

10.411.40π12.18

13.4x-3y+19=0或x=-414.9π15.5

16.517.【详解】(1)因为CD//C1D1,C1D1⊂(2)因为CD//平面ABC1D1，所以点C到平面AB方法1：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、则A(3,0,0),B(3,3,0),C1(0,3,3),设平面ABC1D1的法向量为n令x=1，则y=0,z=1，所以n=(1,0,1)是平面AB所以点C到平面ABC1D方法2：连接B1C,BC1交于点因为AB⊥BC,AB所以AB⊥平面BCC1B1，又B又AB∩BC1=B,AB,BC1所以CO是点C到平面ABC因为B1C=32，所以|CO|=3

18.【详解】(1)设底面圆的直径为2r，由题可知，圆柱的体积V=π解得r=1，即圆柱的底面半径为1，则圆柱的表面积为2π×(2)因为▵ABC为正三角形，底面圆的半径为1由正弦定理，边长AB=2×所以三棱柱ABC-A1

19.【详解】(1)因圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m，则此圆锥的侧面积为S=π又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得339.12×60≈所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．(2)将圆锥SO沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形SAA'，点A到点A'，连接A扇形弧AA'长等于圆锥SO底面圆周长π⋅在▵A'SC中，S即A'C2所以灯光带的最小长度为6

20.【详解】(1)因为边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，所以边AC所在直线的斜率为-2，且经过点C(4,3)，所以边AC所在直线的方程为y-3=-即AC所在直线的方程为2x+y-11=0；(2)设点B的坐标为x0,y0，因为边AC上的高又因为点(1,-2)是边AB的中点，所以点A的坐标为由边AC所在直线的方程为2x+y-11=0，所以22-x0由2x0+y0+11=0x(3)由(2)可得点A的坐标为275,1所以直线AB的方程为y+2=12(x-1)设∠BAC的角平分线上任意一点的坐标为(x,y)又直线AC所在直线的方程为2x+y-11=0，则|2x+y-11|22所以2x+y-11=x-2y-5或2x+y-11=-即x+3y-6=0或3x-y-16=0，又因为kAB=1所以∠BAC的角平分线所在直线的方程为x+3y-6=0

21.【详解】(1)∵AB=AD，O为BD的中点，∴OA⊥又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面OA⊂平面ABD，∴OA⊥平面则OA为三棱锥A-BCD的高，又▵OCD是边长为1则S▵且VA-BCD=即三棱锥A-BCD的高为1．(2)分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，∵O为BD的中点，▵OCD是边长为1∴▵BCD是直角三角形，BD=2OD=2，CD=1，∵CB、CD的中点为F、G，∴OF//CD，OG//由(1)得，AO是三棱锥A-BCD底面BCD的高，▵AOB以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，F(12,0,0)，G(0,32,0)，A(0,0,1)∴CD=(-1,0,0)，BC=(0,设n1=(x则n1⋅令z1=1，则x1=2，n1cosn∴直线CD和平面ABC所成角的正弦值等于2