2025年高三数学秋季开学摸底考（北京专用）数学试题（答案及评分标准）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）数学·答案及评分参考第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678910AACCDCAADB第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.12.13.014.4838415.①②④三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。（满分13分）【详解】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能，故3名女生不相邻的站法有种；........................................4分（2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况，其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况，男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况，所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种；........................................9分（3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有种．........................................13分17．（满分13分）【详解】（1）依题意，在及处取得极值，而的两根为，，所以，，，，此时，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，所以及是极值点，符合题意.所以......................................8分（2）由（1）得，，，，则切线方程为，化简得，函数在处的切线方程为.........................................13分（满分14分）【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，，由，得，又等差数列的公差是-2，则，所以和的通项公式分别为，.........................................8分（2）记和的前项和分别为，，则．而，，所以..........................................14分（满分15分）【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率..........................................5分（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，设为“从乙校抽取1人做对”，则，，设为“恰有1人做对”，故依题可知，可取，，，，故的分布列如下表：故..........................................11分（3）设为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故，即，故，同理有，，故，故..........................................15分20．（满分15分）【详解】（1）由题意得，，令，解得，①若，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值；②若，当时，，所以在上单调递增，没有最小值.综上，若，则系统延迟最小的临界数据量为；若，则不存在系统延迟最小的临界数据量..........................................9分（2）当时，，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，又19.，20.，故延迟不超过20秒时，数据量的最大值为21万条..........................................15分21．（满分15分）【详解】（1）设，，由可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为..........................................4分（2）因为，所以直线的方程为，即，设，，由（1）可知，在上单调递增，而，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，而当时，，所以总有，单调递增故，从而命题得证；.......................................9分（3）解法一：由题意，直线，直线，所以，，.........................................10分当时，，在上单调递增，所以所以，.........................................13分由（1）可得当时，，所以，.........................................14分所以......................................