2025年高三数学秋季开学摸底考（天津专用）数学试题（考试版A3）

………………○……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………内………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________试题第=PAGE2*2-13页（共=SECTIONPAGES2*24页）试题第=PAGE2*24页（共=SECTIONPAGES2*24页）2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学（天津卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则（

）A． B． C． D．2．设，则“”是“且”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件3．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（

）①若，则为异面直线

②若，则③若，则

④若，则⑤若，则A．1 B．2 C．3 D．45．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（

）①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1；③若事件，满足，则事件与事件相互独立；④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为．A．只有一个正确 B．只有两个正确C．只有一个错误 D．四个题是错误的6．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．7．已知数列满足，，若，则（

）A． B． C． D．8．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（

）A． B． C． D．9．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数．11．的展开式中的常数项为．12．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是.13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．15．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为．三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在中，，，所对的边分别为，，，已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．17．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程．19．已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列．(1)求，的值．(2)（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，．20．已知函数是函数的导函数，且．(1)求；(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；(3)当时，证明：.

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学（天津卷）·参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789DBBCBCDCC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．1 11． 12．13．0.70.2214．15．三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题14分）【详解】（1）由已知结合正弦定理角化边可得，又，所以，.4分（2）由（1）结合余弦定理可得，.6分又，所以为锐角，8分所以，.10分（3）由（2）知，，，11分所以，12分13分所以，14分17．（本小题15分）【详解】（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以，在矩形中，因为和分别为和的中点，可得，2分因为平面，且平面，可得，所以，3分又因为，且平面，所以平面.5分（2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，6分设平面的法向量为，则7分取，可得，所以；8分因为平面，且平面，可得，9分又因为，且，平面，所以平面，即平面，10分所以为平面的一个法向量，11分设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值.12分（3）解：因为为的中点，可得，所以，13分由（2）知，平面的法向量为，14分设点到平面的距离为，则.15分18．（本小题15分）详解】（1）由题意得，，解得，2分故，故椭圆的标准方程为，3分离心率为；4分（2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成，6分故设直线方程为，7分联立得，，9分设，，解得或，10分则，11分所以，12分设到直线的距离为，则，13分所以，14分解得，所以直线的方程为或15分19．（本小题15分）【详解】（1）令，显然，2分由，.4分（2）（i）由按上述规则产生共个正整数，而产生共个正整数则个正整数包含①，6分②，故，7分，8分当时，又，.9分(ii)由，当时，，10分由，当时，11令，12分，，13分，14分.15分20．（本小题16分）