2025年高三数学秋季开学摸底考数学试题（答案及评分标准）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学·答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BADABAAC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ADACDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】;13．【答案】;14．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【详解】解：（1）易得：购买华为购买其他总计年轻用户122840非年轻用户243660总计3664100表格填对：···········4分由列表可得············3分故没有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系.···········1分（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用，表示两个年轻用户，用，，，表示非年轻用户，现从中任选两人，则共有，，，，，，，，，，，，，，，15种可能，其中满足要求的有6种，由古典概型可知.···········5分16．（15分）【答案】(1)；(2)【分析】（1）由，的关系即可求解，（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；【详解】（1）当时，，整理得，当时，有.数列是以为公比，以为首项的等比数列，所以．···········4分（2）当时，，所以，···········3分所以，···········2分令，其前项和为，∴①∴②···········3分得：.···········2分∴.令，其前项和易知为：，···········1分所以17．（15分）【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）证明与垂直，则得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角；（3）设，这样求得平面和平面的法向量，用向量法求二面角，从而求得，可得的长．【详解】（1）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴∵，∴，即∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面···········5分（2）∵，为的中点，∴∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∵是的中点，∴，，设异面直线与所成角为，，∴异面直线与所成角的余弦值为．···········5分（3）解：由（2）知平面的法向量为，设，且，从而有，又，设平面法向量为，由及，，可取．···········3分∵二面角为，∴，∴，∴．···········2分18．（17分）【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，【分析】（1）利用椭圆的定义和焦距的性质求出基本量，得到椭圆方程即可.（2）利用圆的性质得到，再结合三角形两边之和大于第三边的性质进行放缩求解最值即可.（3）联立方程组结合韦达定理得到，进而表示出，再结合给定条件进行化简，证明点在定直线上即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为，所以，由椭圆的定义，解得，得到，故的方程为.···········3分（2）因为的右焦点，圆的圆心，半径，显然椭圆与圆没有交点，因为点在圆上，所以，于是，当且仅当分别是线段与椭圆，圆的交点时取等号，故的最小值为.·······5分（3）如图，设，因为直线，所以点，联立消去得.所以，因为，···········4分且直线斜率的倒数成等差数列，所以，所以，即，将代入上述等式可得，若，则点在直线上，与已知矛盾；故，整理可得，可得，即，即对任意的恒成立，得到，解得或，由于的斜率不为0，得到，故，故点在定直线上.···········5分19．（17分）【答案】(1)；(2)；证明见解析.【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值，从而可求解的取值范围；（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；（ii）利用第（i）问的结论，从而把要证明的不等式转化为，再作差构造函数求导来证明即可.【详解】（1）因为函数的定义域为，当时，恒成立，当时，，所以此时不恒成立，当时，求导得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，即不等式恒成立，等价于，综上，的取值范围为.···········5分（2）（i）当时，，则，当时，，所