易错11 相似三角形（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错11相似三角形易错陷阱一、找错对应边或对应角在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.易错总结：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是；②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.【例1】如图，则下列式子中不成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵∴∴，故A，B，C正确,D错误故选：D．【例2】如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故选：C．易错警示：易错警示：相似三角形书写时需严格按照对应顶点顺序，若顺序错乱，会导致比例式错误【变式1-1】如图，已知，且，，则的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：．【变式1-2】如图，D，E分别在边上，已知，若，则．【答案】【详解】解：∵，，∴，即，解得：．故答案为：．【变式1-3】若，，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，，，∴，，故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意，故选：D．易错陷阱二、混淆相似三角形的判定条件相似三角形的判定1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

注意：易错总结：以下判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角；（2）有一对等角，找（3）有两边对应成比例，找夹角相等；（4）直角三角形，找（5）等腰三角形，找【例3】如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意，，，，选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意．故选：A．【例4】如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，∴，、添加，∴，原选项不符合题意；、添加，∴，原选项不符合题意；、添加，∴，原选项不符合题意；、添加，∴不能判定，原选项符合题意；故选：．【变式2-1】如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意；B、当且，故，此选项正确，但不符合题意；C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意；D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意．故选：C．【变式2-2】如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且．(1)求证：；(2)求证：；(3)如果，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【详解】（1）证明：∵，，∴，（2）证明：，∴，∵是中点，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）证明：由（1）知：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵为中点，∴，∴，∴．【变式2-3】如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点．(1)求证：；(2)求的值．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：（2）解：由（1）得又，点是的中点易错陷阱三、混淆线段比、周长比、面积比相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.性质3：相似三角形周长的比等于相似比性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方易错总结：相似三角形的推论是相似三角形的周长比=相似比，面积比=相似比的平方；【例5】如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为．【答案】【详解】解：根据题意可得两个相似三角形的相似比为，设较大三角形的面积为，则：，解得：，∴另一个三角形的面积为，故答案为：．【例6】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，∵和是以点O为位似中心的位似图形，，∴，则与的面积之比为故选D．易错警示：易错警示：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段，即对应边，对应角，对应中线等【变式3-1】下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵∴∴，∴与的周长比为故选：D．【变式3-2】如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为，若，则的长度为（

）A．6 B．12 C．18 D．20【答案】B【详解】解：与位似，∴，，∴，∴，∵与的面积之比为，，，，，故选：B．【变式3-3】若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为，所以它们的对应高之比为，故选：A．易错陷阱四、未确定对应关系导致漏解易错总结：若对应顶点、边或角未明确对应关系时，常因默认单一情况导致漏解。当相似三角形的对应边比例可能因顶点顺序不同而变化，需根据题意假设不同对应方式，逐一验证几何关系的存在性，避免惯性思维遗漏潜在情况【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当，与相似．【答案】或【详解】解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，，∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，，若时，，即，整理得：，解得：，则当时，与相似；若时，，即，解得：，则当时，与相似；综上所述：当秒或秒时，与相似，故答案为：或．【例8】如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】解：∵运动时间为，则，，∵，，，∴当与相似时，有或，当时，则有，∴，解得：；当时，则有，∴，解得：；综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似．故选：D．易错警示：易错警示：题目中只是提供两个三角形相似，但未提供对应边时，需分类讨论【变式4-1】若与相似，且，则．【答案】或【详解】解：与相似，，故可分两种情况，当时，可得，即，；当时，可得，即，故答案为：或．【变式4-2】在中，，在中，．如果和相似，且边是的最短边，那么．【答案】或【详解】解：过点作，如图：在中，，∴设，，则：，在中，，∴，，∴，∴的三边比：，∵和相似，∴中的三边比也为：，∵且是的最短边，∴或，∴或；故答案为：或．【变式4-3】在中，，，D是的中点，过点D的直线交于点E，若以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则的长为．【答案】或【详解】解：∵，D是的中点，∴；①当时，则：，∴；②当时，则：，即：，∴；故答案为：或．易错陷阱五、不能准确理解位似与相似的区别1、位似图形的定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比易错总结：位似与相似的核心区别在于位置关系。相似图形只需对应角相等、对应边成比例，而位似图形必须是相似图形且满足两个条件：①所有对应点的连线必须交于同一点（位似中心）；②对应边互相平行或共线。因此，位似是具备特殊位置关系的相似，但相似图形未必是位似【例9】如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若，则为（

）A．6 B．9 C．27 D．48【答案】C【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故选：C．【例10】下列图形变化属于位似的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意；选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意；故选：A．【变式5-1】将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论：：与是相似三角形；：与是位似三角形．下列判断正确的是（

）A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确【答案】C【详解】解：分别延长相交于点O，由题意得，，，故结论Ⅰ正确，符合题意；，，，，，，∴与是位似三角形，故结论Ⅱ正确，符合题意．故选：C．【变式5-2】如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（

）A．点R B．点P C．点2 D．点O【答案】D【详解】解：如图所示，位似中心是点．故选：D．【变式5-3】按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（

）A．与是位似图形，位似中心为B．与相似C．与的面积之比为D．与的周长之比为【答案】D【详解】解：根据位似性质可得：A、与是位似图形，位似中心为，故本选项正确，不符合题意；B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意；C、∵将的三边缩小为原来的，与的相似比为，∵面积比等于相似比的平方，∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意；D、由上可知与的周长之比等于相似比，即为，故D选项错误，符合题意；故选：D．易错陷阱六、求位似图形对应坐标时漏解易错总结：在求位似图形对应坐标时漏解，通常因忽略位似中心两侧的可能性。位似变换以原点为中心时，若相似比为，原坐标对应点可能为或。解题时需根据题意判断是否需同时保留正负比例结果，尤其注意题目未明确位似方向时需分情况讨论【例11】如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【详解】解：∵正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为，∴根据网格可知：点的坐标为，以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，点的对应点的坐标是或，即或，故选：D．【例12】如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为．【答案】或【详解】解：∵以原点O为位似中心，把放大为原来的3倍，可以得到，点B的坐标为，∴点的坐标是或，即或．故答案为：或．【变式6-1】在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，顶点的坐标为，点的坐标为或，即点的坐标为或，故选C．【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将扩大为原来的4倍，则点的对应点的坐标是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【详解】解：∵点，以原点O为位似中心，将扩大为原来的4倍，∴，∴点A的对应点的坐标在第一象限时，即点A的对应点的坐标是∴点A的对应点的坐标在第三象限时，即点A的对应点的坐标是，故选：D．【变式6-3】如图，在中，点A的坐标为，以原点O为位似中心，在第一象限内，把这个三角形扩大为原来的倍，得到，则点A的对应点的坐标是．【答案】【详解】解：由题意得，，；故答案为：．1．在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点A的对应点的坐标为．【答案】或【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，∴端点的横坐标和纵坐标都变为点的横坐标和纵坐标的，又，∴端点的坐标为或，即或，故答案为：或．2．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意得，A、当时，不能推断，故本选项符合题意；B、当时，，故本选项不符合题意；C、当时，，故本选项不符合题意；D、当时，，则，故本选项不符合题意；故选：A．3．若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【详解】解：若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为；故选C．4．已知，且相似比为，则下列结论错误的是（）A．和的周长比是B．边和边上的高之比是C．和的面积比是D．边和边上的中线之比是【答案】A【详解】解：和的周长比是，故选项A符合题意；边和边上的高之比是，故选项B不符合题意；和的面积比是，故选项C不符合题意；和边上的中线之比是，故选项D不符合题意．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图所示，连接，，，交于点D，通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为．故选：A．6．两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是．【答案】【详解】解：∵两个相似三角形一组对应高的长分别是和，∴两个相似三角形的相似比为，∴两个相似三角形的对应中线的为，设较长的中线是，则，解得，，经检验，符合题意．故答案为：．7．如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过秒后和相似？【答案】或2【详解】解：设经过秒后和相似．则，，，，，①与边是对应边，则，即，解得，②与边是对应边，则，即，解得．综上所述，经过秒或2秒后和相似．故答案为：或2．8．如图所示，在中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为．【答案】5或【详解】解：设经过，能与相似．∵，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以的速度向点A运动，设运动时间为x秒，∴，，，当时，则即，解得；经检验，是方程的根；当时，则即，解得，；经检验，，都是方程的根；但是舍去，故，故答案为：5或．9．如图，与相交于点，是关于点的位似图形，的面积是面积的4倍，若，则的长为（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【详解】解：∵是关于点的位似图形，∴，∵，设与的相似比为，根据相似三角形面积比公式，则，解得．在与中，与是对应边，∴