备考2025届中考数学中档及压轴题型模型方法技巧专题08：含参不等式与方程问题及其应用（原卷版）

2025届中考复习1/192025届中考复习专题08：含参不等式与方程问题及其应用总览总览题型解读模块一不等式（组）含参问题 3【题型1】已知解集求参数的值或取值范围 3【题型2】含参不等式与函数结合 4【题型3】由不等式整数解求参数范围 6【题型4】已知不等式有/无解求参数的取值范围 7【题型5】不等式与方程综合求参数的取值范围 7【题型6】与含参不等式（组）有关的新定义问题 8模块二方程方程含参问题 9【题型1】已知方程的解求参数 9【题型2】由方程求代数式的值 9【题型3】两个方程的解相同 10【题型4】含参二元一次方程组与不等式 11【题型5】已知分式方程的增根求参数 12【题型6】方程有解、无解问题 12【题型7】由方程解的正负求参数的取值范围 13【题型8】方程的整数解问题 14【题型9】分式方程与含参不等式综合 15【题型10】由一元二次方程根的个数求参数的值或范围 16【题型11】一元二次方程韦达定理的应用 17【题型12】一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 18【题型13】与含参方程有关的新定义问题 19题型题型汇编知识梳理与常考题型一、不等式（组）含参问题【题型解读】不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式(组)有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围，已知不等式(组)的解售情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式(组)解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.【题型梳理】1.已知解集求参数的值或取值范围：根据不等式（组）的解集，反推参数的取值。2.已知整数解的情况求参数的值或取值范围：依据整数解的个数、范围等条件，确定参数的取值。3.含参不等式与函数结合:含参不等式与函数结合4.已知不等式有、无解求参数的取值范围：根据不等式的性质和求解方法，确定使不等式有解或无解的参数范围。5.不等式与方程综合求参数的取值范围：结合方程的解和不等式的解集，列出关于参数的不等式组求解。6.与含参不等式（组）有关的新定义问题：按照新定义的运算或规则，结合不等式知识求解。二、方程含参问题【题型梳理】1.已知方程的解求参数：将方程的解代入原方程，得到关于参数的等式，进而求解参数。2.已知方程的解求代数式的值：先根据方程的解求出参数，再将参数代入所求代数式求值。3.同解方程：两个方程的解相同，先求出一个方程的解，再代入另一个方程求参数。4.根据方程解满足的情况求解：如解满足某种大小关系等条件，据此列出关于参数的不等式或等式求解。5.方程整数解问题：在方程的解集中找出整数解，结合条件确定参数的取值。6.方程有解、无解问题：对于一元一次方程、一元二次方程等，根据其性质判断有解或无解的条件，进而确定参数范围。7.已知分式方程的增根求参数：先确定增根（使分母为0的值），将分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求参数。8.利用方程解的范围求参数的取值范围：根据已知解的范围，列出关于参数的不等式组求解。9.根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围：利用判别式判断根的情况（两个不同实根、两个相同实根、无实根等），进而确定参数。10.不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值：常利用韦达定理（在一元二次方程中，两根、有，）求解。11.根的判别式与韦达定理综合：结合判别式判断根的情况和韦达定理中两根关系，求解参数或与方程相关的问题。12.与含参方程有关的新定义问题：根据新定义的规则，结合方程知识进行求解。【题型解读】1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题;二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决2).分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.3).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程有两个根分别为x1、x2，则注意运用根与系数关系的前提条件是，知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解.模块一不等式（组）含参问题【题型1】已知解集求参数的值或取值范围【例题1】（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【例题2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是．【巩固练习1】（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（）A．0 B． C．1 D．2023【巩固练习2】（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是．【巩固练习3】（2024·宁夏银川·三模）不等式的正整数解为1和2，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习4】（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为．【题型2】含参不等式与函数结合【例题1】（2024·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论x取何值，始终有，则m的取值范围是．【例题2】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为【例题3】（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（

）

A．随的增大而增大B．C．当时，D．关于，的方程组的解为【巩固练习1】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【巩固练习3】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型3】由不等式整数解求参数范围【例题1】（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【例题2】（2023·黑龙江·中考真题）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是．【巩固练习1】（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为．【巩固练习2】（2022·湖南邵阳·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【巩固练习3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组4−2x≥012x−a>0恰有3个整数解，则a【题型4】已知不等式有/无解求参数的取值范围【例题1】（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若不等式组无解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【例题2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是．【巩固练习1】已知关于x的不等式组有解，实数a的取值范围为．【巩固练习2】若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【巩固练习3】（2024·江苏南通·一模）若关于x的不等式组x−a<013x−12【题型5】不等式与方程综合求参数的取值范围【例题1】若整数a使关于x的方程x+2a=1的解为负数，且使关于的不等式组−12x−a>0x−1≥A．6 B．7 C．9 D．10【巩固练习1】若关于x的不等式组x−14(4a−2)≤123x−12<x+2的解集为x≤a，且关于y的方程2y=7+a【巩固练习2】若关于x的不等式组5x≥3x+2x−x+32≤a16有且只有2个整数解，且关于yA．33 B．28 C．27 D．22【巩固练习3】（2024·山东日照·二模）关于x的不等式组2x+14≥−122x−1<2m有解，同时关于x的方程1−x【题型6】与含参不等式（组）有关的新定义问题【例题1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是．【例题2】对于任意实数p，q，定义一种运算：p@q=p+q−pq，如：2@3=2+3−2×3．请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组2@x>0x@3≤m有且仅有2个整数解，则m的取值范围为是【巩固练习1】定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作x，例如3.6=3，−3=−2，按此规定，若1−3xA．13<x≤1 B．13≤x<1 C．【巩固练习2】（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a∗b=ab−2a．例如，2∗4=2×4−2×2=4，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组3∗x<6x∗3≥m有3个整数解，则m的取值范围是（

A．0<m<1 B．0<m≤1 C．0≤m<1 D．0≤m≤1【巩固练习3】（2023·广东深圳·模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b，若关于x的不等式组x⊗3>0x⊗a>a的解集为x>6，则a的取值范围是模块二方程方程含参问题【题型1】已知方程的解求参数【例题1】（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（

）A． B．2 C． D．4【巩固练习1】（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程4−x2+a=4的解是x=2，则a的值为【巩固练习2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于x的一元二次方程a+2x2+x+a2−4=0的一个根是A．2 B．−2 C．2或−2 D．1【巩固练习3】（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2+bx−4=0有一个根是x=2，求【题型2】由方程求代数式的值【例题1】（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（

）A． B． C． D．【例题2】（2024·广东中山·模拟预测）已知x=2y=−3是方程组ax+by=3bx+ay=−7的解，求代数式【例题3】（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于．【巩固练习1】（2024·云南怒江·一模）已知m是方程x2−3x+1=0的根，求代数式m3A．1 B．3 C．4 D．7【巩固练习2】（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=23a−b−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a【巩固练习3】（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2−x−3=0的两个实数根，多项式2n【巩固练习4】（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为．【题型3】两个方程的解相同【例题1】（2024凉州区三模）已知关于x的方程x−m2=x+m3与3x−【巩固练习1】（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组x−3y=7k2x+3y=5k的解也是方程3x−y=26的解，则k的值为（

A．−4 B．−2 C．2 D．无法计算【巩固练习2】（2024安顺市模拟）关于x的两个方程x2−x−6=0与2x+m【题型4】含参二元一次方程组与不等式【例题1】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【例题2】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为．【例题3】（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是．【巩固练习1】（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是．【巩固练习2】（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为.【巩固练习3】（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（）A． B． C． D．【巩固练习4】如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型5】已知分式方程的增根求参数【例题1】（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则．【巩固练习1】（2024·湖南·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则k的值为．【巩固练习2】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为【巩固练习3】（2023·山东德州·模拟预测）已知关于x的分式方程2x−1+mxx−1x+2A．−6 B．−3 C．−2 D．1【题型6】方程有解、无解问题【例题1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（

）A．或 B． C．或 D．【例题2】（2023·山东聊城·模拟预测）若关于和的方程组无解，则（

）A． B． C． D．【巩固练习1】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是．【巩固练习2】（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为．【巩固练习3】（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【题型7】由方程解的正负求参数的取值范围【例题1】（2024·黑龙江佳木斯·三模）若关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围为（

）A． B．C．且 D．且【例题2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（

）A．且 B． C． D．且【巩固练习1】（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（

）A． B．且C． D．且【巩固练习2】（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【巩固练习3】（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【巩固练习4】（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．且【巩固练习5】（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是．【题型8】方程的整数解问题【例题1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为．【例题2】（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（

）A． B． C． D．【巩固练习1】（黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（

）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【巩固练习2】（2021·四川达州·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数．【巩固练习3】如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【巩固练习4】若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（

）A．3或5 B．或5 C．或3 D．或【题型9】分式方程与含参不等式综合【例题1】（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为．【例题2】（2024·重庆·一模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为．【巩固练习1】（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为．【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是．【题型10】由一元二次方程根的个数求参数的值或范围【例题1】（24-25九年级·广东深圳·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是．【例题2】（2024·云南昆明·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为．【巩固练习1】（2023·宁夏银川·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为．【巩固练习2】（2025·广东广州·一模）点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则以为根的一元二次方程为．【巩固练习3】（2024·上海宝山·一模）若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为．【题型11】一元二次方程韦达定理的应用【例题1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（

）A． B． C． D．6【例题2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(

)A． B．C． D．【例题3】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为．【例题3】（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．【巩固练习1】（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为．【巩固练习2】（2024·山东日照·一模）已知关于的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为，且，则的值为．【巩固练习3】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为．【巩固练习4】（24-25九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是