第02讲 整式（讲义）【3大考点13大题型】（举一反三）（原卷版）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第02讲整式【3大考点13大题型】考点一考点一代数式代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。代数式的值用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。【题型1实际问题中的代数式】【例1】（2024中考·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（

）A．8x元 B．10(100−x)元 C．8(100−x)元 D．(100−8x)元【变式1-1】（2024中考·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米a+1.2元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（

）A．20a元 B．20a+24元 C．17a+3.6元 D．20a+3.6元【变式1-2】（2024中考·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H=．①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．【变式1-3】（2024中考·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为公里．（用含x的代数式表示）【题型2求代数式的值】【例2】（2024中考·广西·中考真题）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2aA．0 B．1 C．4 D．9【变式2-1】（2024中考·四川泸州·中考真题）已知点A(a，−1)与点B(−4，b)关于原点对称，则A．−5 B．5 C．3 D．−3【变式2-2】（2024中考·四川达州·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为．【变式2-3】（2024中考·山东济宁·中考真题）已知a2−2b+1=0，则4ba【题型3与代数式有关的规律探究】【例3】（2024中考·重庆·中考真题）下列图形都是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cmA．196cm2 B．200cm2 C．216cm2【变式3-1】（2024中考·山东·中考真题）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，⋯，aA．−12 B．13 C．【变式3-2】（2024中考·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料根.【变式3-3】（2024中考·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．考点二考点二整式及其运算1.单项式用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式2.多项式几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式与多项式统称整式。3.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。4.合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。5.整式的运算(1)整式的加减几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。(2)整式的乘除运算①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。【题型4整式的相关概念】【例4】（2024中考·山东泰安·中考真题）单项式−3ab2的次数是【变式4-1】（2024中考·上海·中考真题）计算：4x2【变式4-2】（2024中考·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（）A．x+1 B．1x+1 C．x2+1【变式4-3】（2024中考·重庆·中考真题）已知整式M:anxn+an−1①满足条件的整式M中有5个单项式；②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；③满足条件的整式M共有16个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【题型5整式的加减与幂的运算】【例5】（2024中考·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．a+ba−bC．2a2⋅3b=6ab 【变式5-1】（2024中考·广东广州·中考真题）若a≠0，则下列运算正确的是（

）A．a2+aC．2a⋅3【变式5-2】（2024中考·吉林·中考真题）下列各式运算结果为a5A．a2+a3 B．a2⋅【变式5-3】（2024中考·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（

）A．2a23=6a6 B．a【题型6整式的乘除】【例6】（2024中考·甘肃兰州·中考真题）计算：2a(a−1)−2a2=A．a B．−a C．2a D．−2a【变式6-1】（2024中考·山东青岛·中考真题）若x+4x−2=x2+px+q，则pA．2，−8 B．−2，−8 C．−2，8 D．2，8【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（m>n）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的32(1)求m与n的关系；(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．【变式6-3】（2022·江苏无锡·一模）已知计算5−3x+mx2−6x3⋅−2x2【题型7乘法公式的应用】【例7】（2024中考·内蒙古赤峰·中考真题）已知2a2−a−3=0，则(2a+3)(2a−3)+(2a−1)A．6 B．−5 C．−3 D．4【变式7-1】（2024中考·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是【变式7-2】（2024中考·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．【变式7-3】（2024中考·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：．

【题型8化简求值】【例8】（2024中考·吉林·中考真题）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步）=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）=2ab﹣b2（第三步）（1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；（2）写出此题正确的解答过程．【变式8-1】（2024中考·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：2m−mm−2+m+3【变式8-2】（2024中考·北京·中考真题）已知x2−4x−1=0，求代数式【变式8-3】（2024中考·湖北随州·中考真题）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab=−1【题型9用图形面积验证乘法公式】【例9】（2024中考·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：a+b+c公式②：a+b公式③：a−b公式④：a+b图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式a+ba−b(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S①若E为边AC的中点，则S1②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．【变式9-1】（2024中考·浙江衢州·中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【变式9-2】（2024中考·浙江金华·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．【变式9-3】（2024中考·江苏常州·中考真题）【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】：（1）如图，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2【运用】：（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n=3，m=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．①当n=4，m=2时，如图，y=；当n=5，m=时，y=9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．考点三考点三因式分解1.因式分解的定义把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)2.因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解【题型10提公因式法因式分解】【例10】（2024中考·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn【变式10-1】（2024中考·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）分解因式：a＋2ab＋ab2＝．【变式10-2】（2024中考·湖北黄石·中考真题）因式分解：xy−1+4【变式10-3】（2024中考·青海西宁·中考真题）长和宽分别为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab【题型11直接运用公式法因式分解】【例11】（2024中考·四川眉山·中考真题）已知a2+14bA．4 B．2 C．−2 D．−4【变式11-1】（2024中考·山东威海·中考真题）因式分解：x+2x+4+1=【变式11-2】（2024中考·四川自贡·中考真题）把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）．A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)【变式11-3】（2024中考·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9y2【题型12提公因式后应用公式法因式分解】【例12】（2024中考·四川绵阳·中考真题）把代数式mx2−6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是A．m(x+3)2 C．m(x−4)2 【变式12-1】（2024中考·江西南昌·中考真题）分解因式：2a2【变式12-2】（2024中考·湖南·中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．【变式12-3】（2024中考·广西百色·中考真题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项−3=−1×3=1×(−3)验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×(−1)=1；1×(−1)+2×3=5；1×(−3)+2×1=−1；1×1+2×(−3)=−5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(−3)+2×1=−1，等于一次项系数-1，即(x+1)(2x−3)=2x2−3x+2x−3=2x2−x−3【题型13因式分解的实际应用】【例13】（2024·四川成都·模拟预测）定义：若4n3−3n−2（n正整数，且0<n<500）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为【变式13-1】（2024中考·陕西·中考真题）小颖说：“对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.”你同意他的说法吗？理由是什么？【变式13-2】（2024中考·浙江杭州·中考真题）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．【变式13-3】（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如：第1个数：4=2第2个数：12=4第3个数：20=6…(1)设两个连续偶数为2k和2k−2（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？(2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”．【新考向：新考法】1．（2024中考·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝；（2）设甲盒中都是黑子，共m(m>2)个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出a(1<a<m)个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x(0<x<a)个白子，此时乙盒中有y个黑子，则yx的值为2．（2024中考·浙江杭州·中考真题）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则3．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：FM=M−N9．如果M是最大“珊瑚数”，则FM是，对于任意四位自然数abcd=1000a+100b+10c+d（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，0≤b、c、d≤9），规定：G(abcd)=c×d−a×b．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且1≤m≤7），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且3≤s≤8），且s>m【新考向：新趋势】1．（2024中考·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m=．16742.（2024中考·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（

）A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+10253．（2024中考·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【新考向：新情境】1．（2024中考·贵州安顺·中考真题）给出三个整式a2，b2和(1)当a=3，b=4时，求a2(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．2．（2024中考·湖北宜昌·中考真题）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌3．（2024七年级上·江苏泰州·一模）天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若a−b=0，则称a与b互为“天平数”，若3x2−5与−x+4互为“天平数”，则代数式4．（2024中考·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：N奇数4的倍数表示结果1=4=3=8=5=12=7=16=9=20=⋯⋯一般结论

2n−1=4n=______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（

）2−（

）2（ⅱ）4n=______；(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，⋯这些形如4n−2（假设4n−2=x2−分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，③若x，y一个是奇数一个是偶数，则而4n−2是偶数，矛盾．故x，由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．5．（2024中考·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a−3ab−4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将x2【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和ba>b，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a【新考向：跨学科】1．（2024中考·广东广州·中考真题）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3．当R

1．（2024中考·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为6m4A．3m+3m3 B．−3m22 2．（2024中考·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋅⋅