第07讲 分式方程（讲义）【2大考点12大题型】（举一反三）（原卷版）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第第页第07讲分式方程【2大考点10大题型】考点一考点一分式方程1．分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做分式方程．【归纳】（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．（2）解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．简称为一化，二解，三检验．（3）解分式方程产生不适合原方程解的原因：在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．【题型1分式方程的概念及其解】【例1】（2024·四川成都·三模）下列结论正确的是（）A．y+15=y3是分式方程C．方程xx2+x=3x【变式1-1】（2024·河南信阳·模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12−3=0；③2x−1+3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（2024·甘肃平凉·一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1−4x+2=0的根为2；③方程12x=12x−4A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（2024·上海徐汇·二模）下列方程中，有实数根的是（

）A．x2+1=0 B．x2−1=0 C．【题型2解分式方程】【例2】（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程1x=2A．x=1 B．x=−2 C．x=12 【变式2-1】（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1−13x−1=−A．2−6x+2=−5 B．6x−2−2=−5C．2−6x−1=5 D．6x−2+1=5【变式2-2】（2024·上海·中考真题）在分式方程2x−1x2+x22x−1=5A．y2+5y+5=0 B．y2−5y+5=0 C．【变式2-3】（2024·陕西·中考真题）解方程：2x【题型3分式方程的无解问题】【例3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程kxx−3−2=33−x无解，则kA．k=2或k=−1 B．k=−2 C．k=2或k=1 D．k=−1【变式3-1】（2024·广东广州·二模）已知，关于x的分式方程a2x+3(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a2x+3(3)若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−x【变式3-2】（2024·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程m+x2−x−3＝0有解，则实数A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【变式3-3】（2024安徽合肥·一模）已知关于x的分式方程mxx−3x−6+2x−3=3A．92 B．72 C．52【题型4由分式方程的解求字母的取值范围】【例4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程1x−mx+1=0A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠−1【变式4-1】（2024·四川达州·中考真题）若分式方程2x−ax−1−4=−2x+ax+1【变式4-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=【变式4-3】（2024·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组x+32≤42x−a≥2，至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1考点二考点二分式方程的应用的分式方程的应用分式方程的应用基本思路和方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；二找：找出等量关系；三设：设未知数；四列：列出分式方程；五解：解这个方程；六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；七答：写出答案．在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．【题型5列方程方程】【例5】（2024·四川达州·中考真题）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（

）A．12000x=11000C．12000x+5+40=11000【变式5-1】（2024·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（

）A．900x+3=2×900C．900x−1=2×900【变式5-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程．【变式5-3】（2024·贵州安顺·中考真题）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为．【题型6分式方程的行程问题】【例6】（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行A．5km/h B．6km/h【变式6-1】（2024·四川绵阳·中考真题）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度vkm/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行殃，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为【变式6-2】（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．【变式6-3】（2024·江苏南通·模拟预测）近期，如皋的早茶文化深受广大人民的欢迎和喜爱，通过互联网的传播，吸引了不少外地游客前来品尝．小严和小许商量一起来如皋体验，下面是两人的聊天记录．

请根据他们的对话，分别求出小严和小许的速度．【题型7分式方程的工程问题】【例7】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？【变式7-1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（

）A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60【变式7-2】（2024·辽宁丹东·中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%【变式7-3】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？【题型8分式方程的经济问题】【例8】（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．(1)求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？(2)已知A，B文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？【变式8-1】（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【变式8-2】（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为元．【变式8-3】（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的45(1)求航空和航海模型的单价；(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的12【题型9分式方程的和差倍分问题】【例9】（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．【变式9-1】（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？【变式9-2】（2024·北京房山·二模）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用，体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多3.2克，求洋槐一天单位面积固碳量是多少克？【变式9-3】（2024·吉林·一模）从体育强国到健康中国，“带动3亿人参加冰雪运动”这一愿景已经成功实现，也直接推动了群众体育发展．我市某中学组织八年级360名学生到北大湖滑雪场开展冬令营活动．学校到某旅游公司租车，该公司现有A，B两种车型，A型车与B型车的座位数的比为3:4；如果分别租用这两种车型，所需A型车的数量比B型车多2辆．求该公司A，B两种车型各有多少个座位．【题型10分式方程的几何图形问题】【例10】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后AB与AD的比是16:10，且a=b，c=d【变式10-1】（2024·北京海淀·二模）列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的5−12倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形（注：

【变式10-2】（2024·河南郑州·一模）如图，甲和乙均是容积为90立方分米无盖的长方体盒子．

(1)甲盒子底面是边长为a分米的正方形，这个盒子的高是___________分米；这个盒子的表面积是_____________平方分米．（用含有a的式子表示）(2)乙盒子底面是长方形，甲盒子比乙盒子高5分米.选用2元/平方分米的材料，制作甲乙两个盒子的底面，乙盒子底面材料费用是甲盒子底面材料费用的2倍，求乙盒子的高．【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为ama>1的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a−1(1)“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量是kg/m2，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量是kg/m2．单位面积产量高的是：（填“丰收1号”或“丰收(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长．【新考向：新考法】1．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%(2)如果把4kg(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．2.（2024·湖南长沙·中考真题）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（

）A．400x−30=500x B．400x=3．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．【素材呈现】素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的23【问题解决】(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价13m元，按问题二的购买方案需花费21120元，求【新考向：新趋势】1．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：当0≤x<p时，y=80x当p≤x≤150时，y=20（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p=100，求甲、乙的报告成绩；(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．2.（2024·四川广元·中考真题）若点Qx,y满足1x+1y3．（2024·河北石家庄·一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚?x−2(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程．(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少．【新考向：新情境】1．（2024·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：5201.6x=175x+30乙：520x=1.6×175x−30，解得则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？2．（2024·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程xx−2小丁：解：去分母，得x−(x−3)=x−2去括号，得x−x+3=x−2合并同类项，得3=x−2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x−3)=1去括号得x+x−3=1合并同类项得2x−3=1解得x=2经检验，x=2是方程的增根，原方程无解你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．3．（2024·山东济南·中考真题）为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（

A．200000x=200000(1−20%)C．200000x=200000(1−20%)【新考向：跨学科】1．（2024·北京丰台·模拟预测）在物理学中，物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即ρ=mV．已知A，B两个物体的密度之比为2:1，当物体A的质量是100g，物体B的质量是200g时，物体B的体积比物体A的体积大27cm3．如果设物体A．100x=2×200C．100x=2×2002．（2024·山西晋城·模拟预测）化学小组欲将100g浓度为98%的酒精溶液稀释为75%的酒精溶液．设需要加水x3．（2024·安徽芜湖·一模）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用，体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多3.2克，求洋槐一天单位面积固碳量是多少克？1．（2024·山东淄博·中考真题）已知x=1是方程m2−x−1x−2=3A．−2 B．2 C．−4 D．42．（2024·海南·中考真题）分式方程1x−2=1的解是（A．x=3 B．x=−3 C．x=2 D．x=−23．（2024·辽宁大连·中考真题）解方程1x−1+3=3x1−x去分母，两边同乘A．1+3=3x(1−x) B．1+3(x−1)=−3xC．x−1+3=−3x D．1+3(x−1)=3x4．（2024·四川德阳·中考真题）如果关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，那么m的取值范围是（A．m>−1 B．m<−1且m≠−2 C．m<−1 D．m>−1且m≠05．（2024·山东淄博·中考真题）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（

）A．900350−x=1200x B．900x=6．（2024·四川泸州·中考真题）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是23，则黄球的个数为7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程xx−1=3−mx1−x的解为正整数，则整数8．（2024·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为．b的值为．x结果代数式2n3x+1