2025中考数学压轴题专项训练：分类讨论思想在五种题型中的应用

专题15分类讨论思想在五种题型中的应用

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论

1.假设结论成立；

2.找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如不：

①当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，

若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐

标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；

②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线

有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点

不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.

3.计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添

加辅线构造相似三角形，有时也可利用吏角三角形的性质进行求解

题型二、直角三角形的存在问题分类讨论

1.设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（l,f）,

△BCF三边长为：朋=4+/，正=/+6ai0,BC=18；

2.找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论：

①当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC）,分

别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有

交点时，此交点即为符合条件的点；

②当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交

点时，此交点即为符合条件的点.

3.计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段

时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算.

题型三、不等式（组）中的分类讨论思想

分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在

求其解集时要对字母进行分类讨论。

对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。

题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想

在函数问题中,分类有两种情况：一种是对概念进行分类.一种是分情况讨论问题,对概念进行分

类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全

面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较

难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进

行分类，出现“重”或"漏"的现象，从而容易导致错误的发生

题型五、圆中的分类讨论思想

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问

题C这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑

思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆

中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。

压轴题预测

题型一：等腰三角形中的分类讨论思想

1.（2023•广安）如图，一次函数歹=区+2仅为常数，〃工0）的图象与反比例函数〃为常数，〃7工0）

4x

的图象在第一象限交于点力（1,〃），与x轴交于点3（-3,0）.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式.

（2）点尸在x轴上，A是以48为腰的等腰三角形，请直接写出点尸的坐标.

【分析】（1）把点力、〃的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于4、〃的方程组，通过解方程组求得

它们的值；然后将点力的坐标代入反比例函数解析式，求得利的值即可；

（2）设尸（d0）,利用两点间的距离公式和勾股定理以及力列出方程，借助于方程求解即可.

【解答】解：（1）将力（1,〃）、例-3,0）分别代入一次函数y=Rx+2,得

4

9

-3左+—=0

4

解得"卜4.

n=3

故掰1,3).

将其代入反比例函数)，=竺，得

x

-=3.

1

解得w=3.

1o1

故一次函数的解析式为歹=±x+?,反比例函数的解析式为)，=±:

44x

(2)由(1)知，力(1,3)、8(-3,D),则力〃=6r彳=5.

设P(a,O)，

当力8=/lP时，5=，(1-4『+32.

解得。=5或。=一3(舍去).

故尸(5,0)；

当,48=尸4时，5=|-3-^|.

解得a=-8或。=2.

故P(-8,0)或(2,0).

综上所述，符合条件的点P的坐标为：(5,0)或(-8,0)或(2,0).

【点评】本题属于反比例函数综合题,主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定

理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知以点的灵活应用.

2.(2023•澄城县一模)如图，抛物线》=-》2+以+。与》轴交于点彳(-1,0)、B,与y轴交于点C(0,3),

直线/是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)在对称轴/上是否存在点M,使AM力。为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；

【分析】(1)运用待定系数法确定函数解析式即可；

(2)由于没有指明等腰△加力。的底边，所以需要分类讨论：AC=AM,AC=CM,AM=CM,运用两

点间距离的求法列出相应的方程，通过解方程求得答案.

—1-6+c=0

【解答】解：(1)把点4一1,0)、点C(0,3)分别代入》=-厂+放+。，得.

c=3

A-?

解得：.

c=3

故该抛物线解析式为：夕=-/+2》+3；

(2)由(1)知，该抛物线解析式为：y=-x2+2x+3.

则该抛物线的对称轴为直线X=—-J=1.

-1x2

故设.

•.•掰一1,0)、点C(0,3),

/.AC2=10,AM2=4+m2,CW2=l+(m-3)2.

①若时，10=4+〃/,

解得w=±>/6.

.•.点M的坐标为(1,后)或(1,-K);

②若力C=CM时，10=l+(m-3)2,

解得w=0或m=6.

.,.点M的坐标为。,0)或(1,6).

当点M的坐标为(1,6)时，点/、〃共线，

，点M的坐标为(1,0)；

③当时，4+W2=1+(/W-3)2,

解得/M=1>

.•.点M的坐标为(1,1).

综上所述，符合条件的点M的坐标为(1,6)或(1,-后)或(1,0)或(1,1).

【点评】本题属于二次函数综合题型，主要考查了待定系数法确定函数解析式，两点间的距离公式，等腰

三角形的性质，解题过程中，需要对等腰三角形的底边或腰进行分类讨论，以防漏解.

3.（2023•婺城区模拟）在矩形A8CO中，AB=4,40=10,£是力。上的一点，且4E=2,M是直线

AB上一点，射线ME交直线CD于点F,EG1ME交直线BC于点G,连结MG、FG,直线FG交直线AD

于点N.

（1）①当点切为48中点时，求。/与EG的长;

MG.田

②求—的值.

FG

AB=GH=2tMEM为等腰直角三角形

NDEF=NAEM=45°,进而得到tsDEF为等腰直角三角形，。/==8,由EG_LME可推出/GEH=45°,

则AGE”为等腰直角三角形，EG=6GH=46；

②过点G作GK_L/O于点K,易得KG=/14=4,DE=8,易证A/IEA/SAKGE,\KGES\DEF,得到

——=—>=—>=—=—»于是tanNEGM=,tanZ.EFG=——=—>进而可得/EG"=/EFG,

GE42EFS2GE2EF2

由等角加同角相等得NMGb=90。，在RtAFGM中，tanZA/FG=—=-；

FG2

（2）易得MEMS&DEF,得到生=2=j_,设力A/=Q,贝ljBM=4—a,DF=4a,CF=4+4r/,易证

0684

BGMs^CFG,根据相似三角形的性质可求得8G=2a+2,CG=8-2a,再分三种情况讨论：（I）当

EG=NG时，过点G作G尸_LAD于点P,则AP=BG=2a+2tPE=PN,进而求出PN=PE=2a,EN=4a,

DNDF

ON=8-4a,再利用平行线分线段成比例得到丝="，以此建立方程求解即可；（II）当EN=NG时，

CGCF

过点£作E0J,8C于点。，则NNEG=NNGE,AE=BQ=2,AB=EQ=4t进而求出。G=2a,由平行

线的性质得到NNEG=/EGQ,于是NFGQ=/NGE,由等角的余角相等得NQR7=NEFG,则

tanZ^FG=tanZEFG=-=^-,以此建立方程求解即可；（HI）当EN=EG时.，则NFNG=NEGN,由

2EQ

平行线的性质可得/ENG=NNGC,于是/EGN=NNGC,由等角的余角相等得/EFG=NCFG,进而得

到lanNCFG=tan/EFG=-=—,以此建立方程求解即可.

2CF

【解答】解：（1）①当点"为中点时，如图，过点G作GH_L49于点〃，

贝IJNG”力=90。，

•.•四边形48co为矩形,

/.=乙B=90°,

二.四边形X8G"为矩形，

AB=GH=2,

•.•点M为力8的中点，

:.AM=BM=2,

•/AE=2,

AM=AE=2>DE=AD—AE=8,

为等腰直角三角形，^AEM=45°,

z.NDEF=ZAEM=45°,

二.AD厅'为等腰直角三角形，DF=DE=8,

EGLME,

NMEG=90°,

£GEH=45°,

・•.△GE”为等腰直角三角形,EG=6GH=4垃,

.•."=8,EG=4五；

②如图，过点G作GK_L/1。于点K,

•/AE=2,

DE=8,

•/EGLME,

/.NAEM+4KEG=90°,/KGE+/KEG=900,ZKEG+/DEF=90°,

/AEM=ZKGE=/DEF,

?.MEMskKGE,水GEskDEF,

EMAEnnEM2I

GEKGGE42

GEKG41

---=,即nn=—=—>

EFDEEF82

—EM1GE1

tanZEGM=-----=—，tanZ.EFG==—,

GE2EF2

ZEGM=NEFG,

•/NEGF+/EFG=90。,

/.ZEGF+4EGM=90°,EP/MGF=90°,

cMG1

/.tanZ-EFG---=—；

FG2

(2)ZAEM=4DEF,NEAM=4EDF=90°,

/.MEMsbDEF,

AMAEnnAM21

DFDE。产84

设则8"=4—〃，DF=4a,

;.CF=CD+DF=4+4a,

由(1)②可知，ZMGF=90°,

N8GM+/CG/=90。，

ZCFG+ZCGF=90°,

£BGM=/CFG,

•/ZB=ZC=90°,

.kBGMsbCFG,

BGBMGMBG4-«1

;——==---,即Hn------=----=-,

CFCGFG4+4。CG2

.BG=2a+2,CG=8-2a»

(I)当EG=NG0寸，如图，过点G作GP_L4。于点P,

则”=8G=2〃+2,PE=PN,

;.PN=PE=AP-AE=2a，

:.EN=4a,

:.DN=DE-EN=8-4a，

-.DN//BC，

DN二DF即女旦上

~CG~~CF8-2a4+4a

解得：4=一1+石，a2=-1-V5（舍去），

AM=y/5-\；

（II）当EN=NG时,如图，过点上作EQ_L8c于点。,

则/NfG=NNGE,AE=BQ=2,AB=EQ=4,

QG=BC-BQ-CG=\0-2-(S-2a)=2(i，

•/AD//BC,

NNEG=NEGQ,

ZEGQ=NNGE,

AQFG=ZEFG,

tanZQFG=tanNEFG=—=-

FG2

.QG2a1

"£^"T-2)

解得:a=\,

AM=1；

(III)当EN=EG时,如图，

贝ij乙ENG=NEGN,

•:AD/iBC,

ZENG=/NGC,

/.£EGN=NNGC,

/.£EFG=/CFG,

■/tanNCFG=tan4EFG=-,

2

,CG=8-2a―1

"CF-4+4fl-2f

解得：a=3,

2

AM=-.

2

2Y4

当NG=GE时，同理可得一一=上

4x+84A-

/.=V5+I,

【点评】本题主要考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三

角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是：（1）①熟练掌握等腰三角形的判定与性质;

②利用相似三角形性质和锐角三角函数推出NMG产=90。；（2）利用分类讨论和数形结合思想解决问题.

4.（2023•濮阳县模拟）在等腰直角二角形43。中，ZJCZ?-90°,AC-BC,点、F为直线4B上一个动点、,

绕点C将射线CP逆时针旋转45°,交直线AB于点Q.

图1图2

在图1中，将A4PC绕点C逆时针旋转90。得到A8WC,连接M0,

ZACP+ZBCQ=45°,NACP=4BCM,

NMCQ=45。=NPCQ,

又•：CP=CM,CQ=CO,

APCQ^^MCQ.

请阅读上述过程，并完成以下问题：

(1)得出APC0MAMC0的依据是②(填序号).

①SSS

②S4S

③4s

®HL

(2)在以上条件下，如图2,当点P在线段比1的延长线上时，求证：PQ2=AP2+BQ2.

(3)在等边三角形48C中，8C=2,点。为射线从1上一个动点，将射线。夕绕点。逆时针旋转30。交直

线8/于点。，将AJPC绕点。逆时针旋转60。得到连接M。，当为直角三角形时，请直接

写出力P的长.

【分析】(1)根据判定APC0=AA/C0的条件看判定的依据是什么即可做出选择；

(2)将MPC绕点C逆时针旋转90。得到A5MC,连接MQ,根据旋转的性质得到=AP，CM=CP,

4cpM=4CAP,然后推出判定APC0=AMC0的条件，得到0M=。/5,在中推出NM80=90。，

根据勾股定理得到等式，再代换即可得证；

(3)当点尸在线段8/上时，A8M。不可能是直角三角形，当点P在线段历1延长线上时，分/8"。=90。

和N8QM=90。两种情况，根据旋转的性质和直角三角形的性质以及全等三角形的性质分别进行计算即可求

出结果.

【解答】(1)解：•.•推理过程中判定APC。=AM。。的条件是两边和夹角对应相等，

得出LPCQ=的依据是SAS,

故答案为：②；

(2)证明：如图1,将A/1PC绕点C逆时针旋转90。得到A8A7C,连接M0,

/.ZACQ=450-ZPCA,

/.ZBCQ=90°-(45°-ZPCA)=45°+NPCA,

ZPCA=NBCM,

£MCQ=ZBCQ-4BCM=NBC。-NPCA=4S+ZPCJ-ZPCA=4父,

NMCQ=/PCQ,

又•:CP=CM，CQ=CQ,

/.XPCQ=^MCQ(SAS),

•・QM=QP，

vZJC5=90°,AC=BC,

NCAB=NCBA=45°,

ZPJC=ZM5C=135°,

AQBM=90°,

：.MQ2=BM2+BQ\

又•：AP=BM，QM=QP,

/.PQ2=力尸+80?；

(3)分两种情况:①如图2,当NBM0=9O。时,

又Z.CBA=60°,

N。8M=120。-60。=60。，

:.BM=-BQ,QM<BM,

2

设正月=BM-a,则BQ=2a,PQ=QM-也a,

?.AQ=PQ-PA=xfia-a=xlya-Q，

vAB=AQ+BQ,AB=2,

、瓦/-a+2a=2♦

a=y/5-\,

即NP的长为6-1；

②如图3,当NMQ8=90。时，

c

由旋转可知ACBM=ACAP=120°,

又•.・ZCBA=60°,

/.NQM/=120。—60。=60°,

/.BM=2BQ,QM=,

设,4P=BM=a,则=QM=PQ=—a,

22

..AQ=x———x,

-：BA=BQ-AQ,

..•x—1x'-(,x---6x)、=_2、,

22

x=2\/3+2；

综上所述，4户的长为百-1或2后+2.

【点评】本题是几何变换综合题，土要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性

质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键.

5.（2023•武侯区校级模拟）如图，在矩形"CO中，AB=kBC（0<A<1）,将线段月8绕点力逆时针旋

转。度（0<。<90）得到线段/E,过点石作力E的垂线交射线C力于点H,交射线于点

备用图

［尝试初探］

（1）当点M在力。延长线上运动时，N比1E与乙M/E始终相等，且A4EM与AHnW始终相似，请说明理

由；

［深入探究］

（2）若〃=,，随着线段4E的旋转，点〃的位置也随之发生变化，当。/=之。。时，求tana的值；

24

［拓展延伸］

（3）连接比＞，当为等腰三角形时，求tana的值（用合左的代数式表示）.

【分析】（1）由矩形的四个角是直角，又4E1EM,容易得到结果.

（2）连接4”,设力。=248=8“，DH=a,求出E”，由MEMSA"。"得到丝=丝£=_!,,可求出

EMAM4

DM,tana=tanZ.AME=2丝得到结果.

DM

（3）分类讨论：①点M在力。延长线上时，作QG_LME,设/出=力E=a,AD=DE=DM=ka,AM=Ika,

AV

由勾股定理求出ME,tana=tanZAME=——，得到结果.②当.”在4）上时，设=由

AM

222

AE+ME=AM,求出历E,tan«=tanZAME=—f得出结果.

ME

【解答】（1）证明：•.•四边形片BCD是矩形，

/.NB4D=NADC=90。,

?.N84E+NE4Q=90°,

vAE1ME,

NAEM=90°,

NAME+NE4D=90。,

NBAE=NAME,

又Z/1ME=AADC=90°,

ZAME=/HMD,

:MEMsbHDM.

(2)解：■/AB=kBC,k=L,

2

：.AB=-BC,

2

•.•四边形48c。是矩形，

;.AB=CD,AD=BC,N4QC=90°,

-CH=-CD,

4

/.设CD=AB=4a,

则DH=a,AE=4“，AD=8",

连接4H,

由勾股定理得，

AH2=AD2+DH2=(Sa)2+a2=65",

EH2=AH2-AE2=65a2-(4a)2=49a2,

EH=1a.

由(1)得，MEMS^HDM,

,DMMH二DH二a\

MEMAAE4a4

.DMMH1

"MH+7a-DM+Sa-4’

1213

:.DM=—a,MH=—a,

55

DHa5

tana=tanZ.AME=-----=——=——.

DM1212

a

5

(3)解：分两种情况讨论，

①如图2,当“在《。的延长线上时，

过点。作QG_LME于G,

AELME,

：.DGHAE,

...ZMDG=/MAE,NEDG=/DEA,

又DE=DM,

NMDG=4EDG,

/./.MAE=/.DEA,

AD=DE,

设BC-a,则AD=DE-DM-a,AB-AE=ka>

AM-2a»

由勾股定理得，

ME7AM?-AE?=、(24)2_(脑)2=』4-k%,

ka^4-k2k

z.tana=tanZ.AME=----

ME\)4-k2a4-k-

②如图3,当M在力。上时,

则=a

由勾股定理得,

AE2+ME2=AM2,

「.(,⑦)2+X2=(a-x)2,

二.tana=tanZ.AME=-——

图3

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识是一道综合题，正确分类讨

论并画出图形，恰当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题关键.

6.（2023•虹口区一模）如图，在中，48=40=10,sin8=（,点。、£分别在边XB、BC上,

满足=.点尸是。E延长线上一点，且NEC尸=N4CD.

（1）当点。是力〃的中点时，求tan/BCO的值；

CF

（2）如果/。=3,求——的值；

DE

（3）如果AAAE是等腰三角形，求W的长.

【分析】（1）过点力作/G_LBC于点G,过点。作。〃_L4c于点〃，利用等腰三角形的性质，直角三角

形的边角关系定理，勾股定理，三角形的中位线定理解答即可：

（2）利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；

（3）利用分类讨论的思想方法分①当4。=8笈时，②当£。=跖时，③当4。=4/时三种情形讨论解答：

利用等腰三角形的性质，平行线的判定和三角形的内角和定理求得前两种情形不存在，对于③利用等腰三

角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可.

【解答】解：（1）过点4作力G_L8C于点G,过点。作于点〃，如图,

vJ5=JC=10,

:.BG-GC,

vsin^=-,sin5=—

5AB

二./G=6.

/.BG=4ABr-AG-=V102-62=8.

...CG=BG=8.

vAG1BC,DH±BC,

:.AG//DH,

•••O是48的中点,

O”是&48G的中位线,

DH=HG=-BG=4,DH=-AG=3,

22

:.CH=CG+GH=\2.

在RtACDH中,

,48=需W

(2)•/ZECF=AACD,

...NACB=ZDCF.

NB=ZCDE,

MBC^\FCD,

...NBAC=NF•

'：AB=AC,

z.FD=FC.

'：ABAC=ZF,/ACD=ZFCE,

...MCDs"CE，

,4C二CF

~AD~~EF

vAB=10»AD-3,

CF10

，——=一，

EF3

DE+EF=FC,

CF10

/.——=一：

DE7

（3）如果A8OE是等腰三角形，

①当BD=DE时,

贝|/=/。仍.

ZCDE=NB,

/.NCDE=4DEB,

S.CD//BC,这与已知条件不符，

二.此种情况不存在；

②当ED=BE时，

则=,

•••NCDE=NB,

ZCDB=2NB,

NCO力=180。-2/4,

vAB=AC,

NB=ZACB.

ZJ=180°-ZZ?-ZJC^=180°-2Z2?,

AA=/CDA,

•••4为钝角,

二.此种情况不存在：

③当BD=BE时，

过点石作EK1.力8于点K,如图，

由题意得：sin8=（,

EK3

----=—，

BE5

33

:.EK=-BE=-BD，

55

4

ABK=-BD,

5

DK=-BD.

5

DE=NDK'+EK2=-BD.

5

•;NCDE=ZB,NDCE=/BCD,

XCDEsbCBD,

.DE_CD

叵BDrn

：.-5---=-C-D,

BD16

,3巫

5

由（1）知：MBCs^FCD,

BCAB

----=-----，

CDCF

•__1_6__10

-16\/io-CF*

丁

:.CF=2x/i0.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内

角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键.

7.(2023•文成县一模)如图，点E,尸分别为矩形/仍CO边/D,CO上的点，以BE为直径作0。交BF

于点G,且EF与。。相切，连结EG.

(1)若4E=EG,求证：MBE"GBE.

(2)若AB=2,tanZ.EBF=—.

2

①求OE的长.

②连结月G,若A4HG是以4G为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长.

(3)连结CG,若CG的延长线经过点4,且ED=EG,求丝的值.

EF

【分析】(1)利用圆周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；

(2)①利用切线的性质定理，矩形的性质和相似三角形的判定与性质，通过证明人43次必。£户得到

笑=翌，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结沦；

DEEF

②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：【.当G4=G4时，利用全等三角形的判定与性质得到

BE=BC,设4C=x,则力O=6C=x,则力£=4。—=x—1,利用勾股定理列出方程解答即可；II.当

ARRF

GA=AB=2^,利用相似三角形的判定得到△比IESMB,进而得到丝=?，再利用(2)①的结论，

BCBF

利用勾股定理解答即可得出结论；

(3)利用全等三角形的判定定理证明得到RtAEGFvRtAEDF和RIAEAB三RtAEGB,得至lj/E=EG=OE,

利用三角形的中位线得到DF=FC=FG,设DF=FC=FG=a,则AB=CD=BG=2a,则

BF=BG+GF=3a,取8尸的中点，，连接X",利用梯形的I」位线定理得到正尸，最后利月相似三角形

的判定定理得到△C/GSA£/3,由相似三角形的性质即可得出结论.

【解答】(1)证明：:BE为直径，

NBAE=/BGE=90°.

在RtAABE和RtAGBE中，

AE=GE

BE=BE

RtAABE和RtAGBE(HL)；

(2)解：①•••£/与。。相切，

BE±EF,

NBEF=90°,

;.NAEB+NDEF=900.

•.•四边形力8。。为矩形，

/.ZBAE=90°,

/ABE+NAEB=9(f,

NABE=NDEF,

•/NBAE=ZZ)=90°,

MBESM)EF,

.4RRE

"~DE~~EF'

在RtABEF中，

,/tanZ.EBF=—,

2

,—EF=—1,

BE2

DE=-AB=-x2=I；

22

②若MBG是以力G为腰的等腰三角形,

I.当GX=G8时，

,/GA=GB,

...NG4B=NGBA,

•••ZDAB=ZCBA=90°,

ZEAG=NFBC.

ZEAG=4EBG,

£EBG=NFBC.

在ABEF和\BCF中，

NBEF=/C=9。。

<ZEBG=Z.CBF,

BF=FB

&BEF=ABCF(AAS),

BE=BC.

设8C=x,则4O=8C=x,

AE=AD-DE=x-\,

AB2+AE2=BE2,

/.22l(x-I)2=x2,

解得：x=』，

2

BC=--；

2

II.当G4=48=2时,

•/GA=AB,

Z.ABG-/AGB.

乙4EB=NAGB.

z.Z.AEB=NABG.

NAEB+NABE=90°,ZABG+ZFBC=90°,

/.ABE=Z.FBC,

NBAE=ZC=90°,

ABAE^^BCF,

.ABBE

"~BC~~BF'

由(2)知：,

BF2

BE2

BTT

'2kE2

BC=>/5.

综二，若A44G是以力G为腰的等腰三角形，满足条件的8C的长为2或不；

2

(3)解：•••8£为圆的直径，

...£EGF=90°.

在R3EGF和RtAEDF中,

EG=ED

EF=EF'

RtAEGF^RtAEDF(HL),

:.NDEF=4GEF,DF=FG.

•••/AEG+NGEF=90°,/DEF+NAEB=90°,

/.AAEB=NGEB.

在RtAEAB和RlAEGB中，

NEAB=NEGB=9()。

</AEB=/GEB,

EB=EB

RtAEAB岂RtAEGB(AAS),

AB=BG,AE=EG»

AE—EG—DE,

/.BELAC.

•••BE1EF,

EF//AC.

.♦.£/为A£MC的中位线，

DF=FC,

：.DF=FC=FG.

设DF=FC=FG=a,则48=CD=8G=/，

/.BF—BG+GF=3a.

取8户的中点“，连接如图，

则EH为梯形ABFD的中位线，

EABIDF3

二.EF=-----------=—a.

22

-EF//AC,

ZFGC=4EFH.

-EH//CD,

...ACFG=AEHF,

/.XCFGsbEHF,

CGCF=a2

~EF~~EH~~~3

-a

2

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，直角三

角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质三角形的中位线定理，利月分类讨论的

思想方法解答是解题的关键.

8.(2023•涪城区模拟)如图，已知：在A48C中，/C=90。，点P是8c边上的动点，PD1.BC交AB于

D,以〃。为直径的分别交力8,AP于点、E,F.

(1)求证：4EFP=4EPB.

3

(2)若48=20,sin8=—.

5

①当NAPB=4ZAPD,求尸C的长.

②当APEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的APEF的腰长.

(3)若sin6=变，且。，F,。在一条直线上，则DP与AC的比值为_?一

2-2一

【分析】(1)利用切线的判定定理与弦切角定理解答即可；

(2)①利用直角三角形的边角关系解答即可；

②利用分类讨论的方法分三种情况讨论解答：当EF=EP时,通过证明=A4EP,利用直角三角形的

边角关系解答即可；当EP=Q时，利用垂径定理和直角三角形的边角关系解答即可；当在=。尸时，利

用等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系和勾股定理解答即可：

(3)画出符合题意的图形，通过证明AJCPSACP。，得出比例式，利川等腰直角三角形的判定与性质,

通过等量代换得到关于。产与4C的•元二次方程，解方程即可得出结论.

【解答】(1)证明：•.•尸。为。。的直径，PD上BC,

.•.3。为。。的切线，

ZEFP=2EPB；

(2)解：Z.APB=^APD,NAPB=90°+NAPD,

/.4ZAPD=90°+ZAPD,

/.ZAPD=30°.

/.ZAPC=90°-Z.APD=60°.

3

-AB=20,sin5=",

5

/.JC=/12?sinZ?=20x-=12.

5

Ar.

'：tanZJPC=--=瓦

PC

fl)

：.PC=-y==4>/3;

②当斯二£P时，

EF=EP,

ZEPF=ZEFP,

ZEFP=NEPB,

ZEPF=NEPB.

■.•尸。为OO的直径，

PELAB.

NBEP=NAEP=9(f,

在A5EP和。EP中，

NBEP=4EP=90。

PE=PE,

NEPB=NEPA

ABEP^MEP(ASA),

BE=AE=10.

3

sinZD?=-,

5

4AE

,PE吟

当EP=£P时,

••・PQ为。。的直径，

/.PD1EF,

•/PD上BC,

:.EF/IBC.

Z.B=ZAEF,

•/£AEF三4DPF,

NB=ZDPF.

•••PDLEF,ACA.BC,

DPHAC,

ZDPF=Z.PAC，

NPAC=NB.

3PC

tanNPAC=tan5=-=—

4AC

APC=9.

：.PB=BC-PC=1.

•・•丘力肖

5PB

，T

当尸E二尸产时,

FE=PF,

NFEP=/FPE.

•;FEP+N力EF=90°,ZFPE+ZFAE=90°,

:.NAEF=Z.FAE,

/.EF=AF.

；.AF=FP=EF.

NDPA=NAEF，

：.NDPA=/DAP，

：.PD=AD.

设产。=4O=3x,

5BD

BD=5x.

/.AB=BD+AD=^x=20,

5

j=—

2

25

z.BD=5x=—.

2

-,­cos/?=-=—

5BD

：.BP=10.

PC=BC-BP=6.

/.AP=dAC2+PC2=6亚.

：.PF=LAP=38

2

综上，当△叼为等腰三角形时，满足条件的△叼的腰长为3石畔唱.

(3)解：当O,F,C在一条直线上时,

...PFLCD,

...NE4C+"C4=90°,

ZFCP+ZFCJ=90°,

..ZFAC=ZFCP.

NACP=NDPC=9V,

MCPs'CPD.

PCPD

/.——=——，

ACPC

PC?=AC•PD.

・R五

'：sinB=—,

2

£B=45°.

/.BC=AC,PD=PB.

PC=BC—BP=AC—PD.

2

:.（AC-PD）=ACPDt

:.DP2-3DPAC+AC2=0.

解得：。尸=2z正力。或。尸=也叵4。（不合题意，舍去）.

22

DP3-旧

AC2

故答案为：上史.

2

【点评】本题主要考杳了圆周角定理，切线的判定与性质，弦切角定理，求得三角形的判定与性质，相似

三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，•元二次方程的解法，

勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键.

9.（2023•河南模拟）如图所示，在RtAABC中，480=90。，点。为射线4C上一动点，作N8DE=N84C,

过点8作交OE于点E,连接CE.（点A、£在8。的两侧）

【问题发现】

（1）如图1所示，若乙4=45。时，AD.CE的数量关系为_AD=CE_.直线NO、CE的夹角为；

【类比探究】

（2）如图2所示，若/力=60。时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

【拓展延伸】

（3）若乙4=30。，AC=2^3,且&48。是以43为腰的等腰三角形时，请直接写出线段CE的长.

【分析】(1)证？△C8E(S4S),由全等三角形的性质得,4。=CE,N8CE=/8力。=45°,即可解决

问题;

(2)证AABCsgBE,由相似三角形的性质得丝="，再证ACBES/UB。，得式=生，即可得出

BCBEADBA

结论；

(3)分两种情况，①当48=/。=3时，②当力8=8。=3时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质分

别求出CE的氏即可.

【解答】解：(1)♦.•480=90°,4=45。，

・•.AJ8C是等腰直角三角形，

/.ZJ=ZACB=45°,AB=CB,

同理：BD=BE,ZDBE=90°,

NABC=NDBE,

/.NABC-ACBD=NDBE-4CBD,

即AABD=ZCBE,

:.MBD"CBE(SAS),

AD=CE,/BCE=/BAD=453

NACE=ZACB+NBCE=45°+45°=9(F,

故答案为：AD=CE,90°；

(2)不成立，CE=y/3AD,理由如下：

BE上BD,NABC=90°,

NDBE=NABC=9G,

又ABAC=Z.BDE,

/.MBCS\DBE,

.ABDB

"~BC~~BE，

又•:/ABC=4DBE,

/.NABC-NCBD=ZDBE-NCBD,

即AABD=NCBE,

XCBESMBD,

,CEBC

"而一前’

在RtAABC中，Z.A=60°,

BC-

/.tanA==tan600=x/3,

AB

:.CE=43AD；

(3)•/ZJ=30°,AC=243,

：.BC=,-AC=>/3,AB=V3BC=3,

2

分两种情况：

①如图3,当力8=力。=3时，

同(2)可知，NCBES/SABD,

CEBC

・•--=---，

ADBA

CE=BC=y/3；

②如图4,当力8=8。=3时，

贝ij£A=ZLADB=30°,

■/NABC=90°,ZJ=30°,

Z/ICZ^=90°-ZJ=60°,

•/ZACB=NCDB+4CBD,

...ZCBD=AACB-ZCDB=3(F,

£CBD=4CDB=3Y,

：＜D=BC=B

AD=AC+CD=3yf3,

同(2)可知，bCBEs^ABD