2026年中考数学二次函数专项复习：二次函数多结论问题

二次函数多结论问题

第一部分基础知识储备

二次函数)=双2+队+(?白声0%勺图像与系数a,b,c之间的关系：

I.抛物线的开口方向及开口大小由a决定

(1)a>0<=开口向上;(2)a〈0u开口向下;(3)|a|越大开口越小,|a|越小开口越大.

2.a、b共同决定对称轴(二次函数的对称轴为：直线x=-[)

⑴对称轴为y轴T>=0;

(2)对称轴在y轴左侧ci、b同号(ab>0);

(3)对称轴在y轴右侧ci、b异号(ab<0).简称冲左同右异”；

(4)若题目中已知对称轴，则利用--5、可直接求出a、b之间的数量关系.

3.c决定抛物线与y轴的交点

(I)c=Ou抛物线经过原点:(2)c>0=与y轴交于正半轴:(3)c〈0u与y轴交于负半轴.

4口―-4起决定抛物线与x轴的交点个数

(1)D=.52-4^C=0<=^―个交点(顶点)；

(2)口=仔-4成>0匚有两个交点；

(3)D=52-4ae<0>无交点.

5.寻找a、b、c之间数量关系或者不等关系利用取值法

(1)取x=l,则y=a+b+c;⑵取x=・l厕y=a-b+c;

(3)取x=2,则y=4a+2b+c;(4)取x=-2.则y=4a-2b+c;

(5)取x=3厕y=9a+3b+c;⑹取x=-3,则y=9a-3b+c;

⑺取出,则尸

(8)取户-;，则尸:a-gb+o;

6.a、b之间的关系,a、b之间的数量关系或者不等关系通常利用对称轴--?的具体位置确定.

2a

⑴若对称轴为直线X=1,贝I」4=1，跳2a+b=0;

⑵若对称轴为直线X=-1,贝I」-?=-1、即2a-b=0:

2a

⑶对称轴为其他具体确定的数，做法类似;

(4)若对称轴不确定，能确定范围，比如对称轴在1和2之间，开口向上，则贝U可得至U2a+h<0.或者4a+b>

2a

0；开口向下厕1<-3<2,则可得到2a+b>0,或者4a+b<0.

7.a与c、b与c之间的关系

a与c、b与c之间的关系,通常情况下是通过取值得到a、b、c之间的数量或者不等关系，然后利用对称轴找到a、

b之间的数量关系，其次消元求解，具体方法为：组合消元.

8.单个字母的取值范围

若题目中出现一个字母的取值范围，一般题目会直接或者间接告诉其中一个字母的取值范围，利用对称轴和取值构

造两个等式消元.

如已知二次函数与y轴交点在2和3之间，对称轴为,与x交点为(2,0),求a的取值范围.

⑴二次函数与y轴交点在2和3之间，可得：2<c<3；

_±_

⑵(2)(一五一=一]八贝!Jc=-8a,所以2<-8a<3,即一

4a+2Hc=0,84

9.顶点纵坐标，这类式子不仅只有/-4",还有别的字母(一般是a)或者数字，联想到顶点坐标的纵坐标，如结合图

像，请判断瓜-4a>8。是否正确，联想到转化为顶点坐标纵坐标,若a>Q,b2-4ac>SaJ4ac-川<-8“口宫<-2,若

4a

a<0力2-4曾>8。口4"-好<_8a口与艺>-2然后结合图像判断顶点坐标的纵坐标的取值范围.

10.最值(如结合图像，二次函数的对称轴为X=1,二次函数上一动点的横坐标为m,请判断加2+/)吟a+b是否正确)

(1)观察式子,两边同时加上c,则判断。〃/+加?+企力+《,是否正确；

⑵左边是当x=m时的函数值，右边是当x=l时的函数值；

(3)若二)欠函数开口向上，则。加2+加+企〃+加匕若二次函数开口向下则am2+bm+c<a+h+c.

II.二次函数与方程转化

⑴判断公+c=m(常数)解的个数，两种解题思路：

①将左边看成二次函数尸右边看成常数函数y=m,解的个数转化两条函数图像交点个数问题；

②移项分+6+cr〃=(),将左边看成函数尸小+41」/〃,即将二次函数尸小+6+c向上或者向下平移得到解的个数

转化平移后的二次函数函数图像与x轴交点个数问题

(2)利用函数图像求尔+6"吟皿常数或加+瓜+加(常数)的解集,两种解题思路：

①将左边看成二次函数严加+瓜+c,右边看成常数函数y=m,解集转化为观察两条函数图像位置关系；

②移项加+云+。-m=0,将左边看成函数尸?/+外即将二次函数产加+公+c向上或者向下平移得到解集转化

为观察二次函数与x轴位置关系.

第二部分典型例题分析

例1已知二次函数尸/.，+瓜+《白r()>0勺图象如图所示.下列结论:①abc>();②a+b+c=2;③2a-b=0;④9a+3b+c=0;⑤b?<4a

c;⑥(a+pbM);⑦2c〈3b;⑧bMac=-8a;⑨a+b>m(am+b)(n#l);⑩若方程苏+6+5-1有两个根,则这两个根的和为2.

具中正确的结论是___________________________

【解答】选项①：•・•抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，L<7<0,C>0,,二•抛物线对称轴为直线x=1,□-£

=1,匚b=-2a>0QaA<0,故①错误；

选项②：由图像可得：当x=l时，y=a+b+c=2.故②正确；

选项③：♦・.抛物线对称轴为直线-l,□-g=l,匚2a+斤0,故③错误；

2a

选项④：♦・•抛物线的对称轴为直线X=1,与X轴的一个交点在-1和0之间，，抛物线与X轴的另一个交点在2和3

之间，，当x=3时,y=9a+3b+c<0.故⑶错误：

选项⑤：由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点一□□=/-4改>0,即房>4%故⑤错误；

选项⑥当x=l时,y=a+b+c>0,当x=-l时,y二a-b+c<0,<(a+b+c)(a-b+c)<0,，(〃+。)2-必<0,故⑥正确；

选项⑦:「当x=-l时,y二a-b+c<0,...2a-2b+2c<0,，-b-2b+2c<08[]2cv3b.故⑦正确；

选项⑧:•・•抛物线顶点为(1,2),¥=2,口4涧-/=8/口〃2—4知=—8”击^?©正确；

4(1

选项⑨：,•,抛物线对称轴为直线x=l,开口向下，，当x=l时，函数有最大值，最大值为a+b+c,.*.a+b+c>am2+bm+c

(〃?#1),[]a+b>am2+bm(ni^1),即a+b>m(am+b)(m(1),故⑨正确；

选项⑩：由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，，若方程af+^x+c-l有两个根，则

这两个根的和为2,故⑩正确；

例2如图，已知二次函数产af+bx+cG加那图象与x轴交于点A(-l,0),与y轴的交点B在(0,-2)和C(0,-l)之

间(不包括这两点),对称轴为直线x=l,下列结论:①abc>。;②4a+2b+c>0;③a-b+c=U;其中正确结论的是______

【解答】选项①：•・•函数开口方向向上，・・・a>0厂.•对称轴在y轴右则，・・・a、b异号，b<0,二•抛物线与y轴交点在

故①正确;②・抛物线交轴与点・・・・・・・・故②

<2,L0<a-<l,n/»fl••X(-2,0),4a-2b+c=0,c>2,.4a-2b=-c<-2,BP2a-b<-1.

错误;③：二次函数尸什“a视)的图象与x轴交于点A(-2,0),.;4a-2b+c=0//b>a,.,.2b>2a,A4a-2b<2a,A4a

-2b+c<2a+c,即0<2a+c,，2a+c>0.故③错误;④过顶点C作CD±AB于点D.则k=-2.AD和BD的长度都在1.5

DU

和2之间也就是说1.5<BD<2,又因为CD>2,所以CD除以^^“^^故④正确⑤：当x=l时，二;欠函数值大于一

次函数值,Ja+b+c>k+m,同理,2k+m〉4a+2b+c、相加可知⑤正确;综上配述，正确的结论有①④⑤.

例5如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC〃x轴，AB=1,BC=2，点B的坐标为(2,1)抛物线尸7

Y+8x+cG邦加勺顶点总是在矩形ABCD内部(包括边界)，且与x轴的两个交点分别是点MG/。人N&、”其中

-2夕।口-1,下列说法:①abc<0;②2a+b0);③当k<1时，方程ad+云+”右。总有两个不相等的实数根；④a的取值范围

是其中正确的是_____.

936

【解答】观察图形发现，抛物线的开口向下一・・av0J•顶点坐标在第一象限，口-白。,“〉。,而抛物线与y轴的交

点在y轴的上方,・•・c>0,Jabc〈0.故①正确;丁点B的坐标为(2J).BC=2,/.C(4,1),V抛物线产加+Zzx+c。翔版顶点总

是在矩形ABCD内部(包括边界),EX=-£>2,□-5>1,口。<0,口-X2a,匚2。+。>0,故②错误；由题意可知，抛物线与

直线y=k(kvl)有两个交点，，当k<l时，方程(ax2+公+cT=0总有两个不相等的实数根；故③正确；•・•顶点在矩形

ABCD内部(包括边界)，当顶点与A点重合,顶点坐标为(2,2),见抛物线解析式尸昭-2尸+2,由a(~2~2^2^a

61-2六2沙.解得-2必一;当顶点与C点重合，顶点坐标为(4,1),则抛物线解析式尸2-4六1,由a(-2-^

7O

+14)./1-4六1也解得-太好-1・•・顶点可以在矩形内部，>太故④正确；故答案为①③④.

JoV3D

第三部分：针对提高训练

练I如图，二次函数尸td+b/cSHOJfi勺图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,其对称轴为x=-l,以下结

论:①abc>0;②当x>-2时,y的值随x值的增大而增大;③5a+2b+c〈O;④抛物线一定经过点(-£，0);⑤关于x的方程

苏+仲6+°+1=0有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是_______

练2如图是二次函数y=ax2+bx+c^c是常数,a#))图象的一部分，与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间，顶点为(1,3)

对于下列结论:①2a+b=();②a-b+c<0：③3a+c>8;④当-l<x<3时:y>()；⑤若方程。『+公+，口=1有四个根，则这四个根的

和为4.其中正确的是_______

练3如图，抛物线尸小+云+9#0那］对称轴为直线x=-2,,与x轴的一个交点在((30)和(-4,0)之间，其部分图象

如图所示.则下列结论：①点(-5y),(-"箕2)，(一?’》3)是该抛物线上的点，则丫1-Y2<Y3；®4a-b=0;(3)c<0:©-3a+c>

0;匚4a-2b>/+初(1为实数),具中正确的是______

练4如图，抛物线产加+队+c。网版对称轴是直线x=-l,并与x轴交于A,B两点，若(0A=30B,则下列结论中:

®(aboOgS+cT2-序=O;D3a+2cvO;④若m为任意实数，则4〃/+6("2+1)辽正确的个数是________

练5如图，抛物线y~+旅+2&现与X轴交于点(-3,0)，其对称轴为直线x--；,结合图象分析下列结论:①abc〉o；

②3a+c>0;③当x<0时,y随x的增大而增大:④一元二次方程仁必+2。=0的两根分别为勺=-；用=?匚子〈。；⑥若

m,n(m<n)为方程.a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则m<-3且n>2,其中正确的结论有

练6已知二次函数尸G2+小+。&翔眉象的对称轴为直线：x=l,,部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0;②b2

-4ac>0;③4a+c>0;④若t为任意实数，则有a-4刀尸地⑤当图象经过点(g,2)时，方程尔+队+52=0的两根为修出

(修夫)则A+2X2=-|，其中正确的结论有.

练7如图，二次函数产qf+bx+c&W。郝)图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且(OA=OC,则下列结论：

©abc<0;@b2-4ac>0;(3)ac-b+1=0;④OAOB二，.其中正确结论的序号是.

a

练8二次函数尸合+瓜+C&劭的部分图象如图所示，对称轴为直线尸；,且经过点（-1.0）.下列说法:①abc>0;②-2b+

C=0；（③点在抛物线上，则当片时，□%+区"2（M+〃）+C（/为任意实数）其中一定正确的

是_2

练9二次函数尸是常数,a，0）的图象如图所示,对弥轴为直线.x=-l.有以下结论:①abc>0;（匚a

年+2）2+力伊+2）<4（必+1）~+/）（必+l）（k为实数）；为实数）;④c〈-3a;凉+队+^+上。有两个不相等的

实数根其中正确的结论有

y

［练I］解:①•・•函数开口方向向下,・,<();・・・对称轴在y轴左侧，b同号，•・•抛物线与y轴交点在y轴正半

轴,・•・c>0.:.abc>0.故①正确：

②•・•抛物线开口向下，对称轴为直线x=-l,•••当x<-2时，y的值随x值的增大而增大，故②错误；

③：图象与x轴交于点A(-3,0),对称轴为直线x=-l,・••图象与x轴的另一个交点为(1,0),・•・a+b+c=0,Vx=3时,y

<0,A9a+3b+c<0,V10a+4b+2c<0,BP5a+2b+c<0,故③正确；

④•・•图象与x轴的交点为在(-3,0)和(l,0),・・・ax2+bx+c=0的两根为-3和1,□-3=亍,口《=;-3出口弋=1,・•.抛物线一

定经过点(弋，0),故④正确；

⑤•・•抛物线与直线y=x+l有两个交点，，关于x的方程Q/+0+1衣+°+1=0有两个不相等的实数根，故⑤正确.

综上所述,正确的有①③④⑤

【练2】解:；ba=l,・・・2a+b=0,故①正确「••与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间.对称轴为直线x=l,・•.与x轴

的另一个交点B在点(-1,0)和(0,0)之间，，当x=-l时产a・b+c〈0,故②正确;•・・2a+b=0,・・・b=2a,・・・a・b+cv0,・・・3a+c<0,故

③错误.

函数图象与x轴的交点没有具体说明交点的坐标〃••当・l<x<3时,y>0不一定成立.故④错误;方程□〃/+反+而=1

的四个根分别为尔+云+。=1和/+加•+--1的根，•・•抛物线产加+反+c关于直线x=l对称，，抛物线与直线y=

I的交点的横坐标之和为2，抛物线与直线y=-l的交点横坐标之和为2,J方程匚。/+以+。口=1的四个根的和为4,

故⑤正确.正确的是①②⑤，

【练3】解：•・,抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=-2=-2,・,.抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越

2a

大,<丫3<丫2，故①错俣；

•・•抛物线的对称轴为直线--5=-2,口45儿0.故②正确；

2a

•・•与X轴的f交点在(30)和(40)之间，，由抛物线的对称性知，另一个交点在(-1,0)和(0,0)之间一••抛物

线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c<0,故③正确；

由③知,x=-l时y>0,且b=4a,；.a-b+c=a-4a+c=-3a+c>0,故④正确；

由函数图象知当x=-2时，函数取得最大值一,・4a-2什吟d+gc,即4"-2桓。尸+初(［为实数)，故⑤错误；

【练4］解:①观察图象可知:a>0.b>0.c<0,，abc<0,故①错误；

②：对称轴为直线x=-l,OA=3OB,可得OA=3,OB=1,・,•点A(-3,0),点B(l,0),・••当x=l时,y=0,即a+b+c=0,，(a+c)2-

b2=(a+b+c)(a+c-b)=0.故②正确：

酬物线的对称轴为直线x=-l,即一:=T,［b=2a,a+b+c=0,A3a+c=0,Ac=-3a,Z.3a+2c=-3a,Va>0,A3a+2c<0,

2a

故③正确；

④当x=-l时.函数有最小值丫=@上也,由am2+bm+cNa-b+c,可得anr+bm+b>a,/.若m为任意实数则arn2+b(m+\)

加,故④正确；

【练5】解：：抛物线与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-;

.••抛物线产以2+/xr+c&M肖x轴交于点(-3,0)和(2,0),且a二b日图象知:a<0,c>0,b<0・・・abc>0故结论①正确：

:抛物线尸与x轴交于点(-3,0)，9a-3b+c=0：a=b「.c=-6a，3a+c=-3a>0故结论②正确：

•・•当欢-如寸，y随x的增大而增大；当。时，y随x的增大而减小・•・结论③错误;

匚ex2+以+4=0,0>0口)/+，工+1=01］抛物线)^=ax2+bx+c(a^Ox车由交于点(-3,0环口(2,0)1］4工2+必+(?=0的两木艮是-

3和2口组1,S=-6J£f+/+1=0即为：-6M+X+1=0解得Q=-；凶=；；故结论④正确；

aaaa32

:当x=-g时，尸修》()：：1号〈()故结论⑤正确；.・•抛物线尸小+力与X轴交于点(-3,0)和((2,()),.

□y=av2+6x+c=a(x+3)(x-2)：m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根.••m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)=-3的两个根二・

m,n(m〈n)为函数a(x+3)(x-2)与直线y=-3的两个交点的横坐标结合图象得：m<-3且n>2故结论⑥成立；故选:C.

【练6】解：:抛物线开口向上，.言〉。，•・.抛物线的对称轴为直线x=-l,即力乂2=-1,；仆=22>0,：抛物线与丫轴

的交点在xttT7j,/.c<0,.\abc<0,所以①错误厂.•物线与x轴有2个交点，.•.△=bMac>0,所以②正确;。=1时,y>

0,/.a+b+c>0,而b=2a,:.3a+c>0,Va>0.4a+c>0,所以③正确:Ox=-1时,y有最小值,，a-b+c^aP+bt+cc^为任意实数),

即(a-btSaP+b,所以④正确；.••图象经过点(g,2)时，方程触?+bx+c-2=0的两根为勺内③工⑴，,二次函数产分

+瓜+。与直线y=2的一个交点为(/2)「・•抛物线的对称轴为直线x=l,・•.二次函数尸混+瓜+,与直线产2的另一个

=Dx+=_

交点为(-g2),即x।=-jrv2pI^,2j+2xg=_g,所以⑤正确.

【练7】解：•・•抛物线开口向下一・・a<0,♦・•抛物线的对称轴在y轴的右侧，・・・b>0,,抛物线与y轴的交点在

x轴上方.・•・c>0,・,・abcv0,所以①正确：•,,抛物线与x轴有2个交点，□□=〃-4心0,口号<0,所以②错误;・.・OA=OC,

4a

C(0,c