2026届高三数学上学期一轮复习：函数的应用（全国甲卷专用）含答案

2026届高三数学上学期一轮复习专题：05函数的应用（全国甲卷专用）

一、选择题

1.（2025•天津）函数/汽）=03-4的零点所在区间是（）

A.（0.0.3）B.（03,0.5）C.（0.5J）D.（1,2）

2.（2025.湖南模拟）已知函数/（x）=Sin（0x+：（ft>>0）,若方程/（》）=；在区间（0.2冗）上恰

有3个实数根，则⑷的取值范围是（）

（25311f31371（3147]（3161）

A.—B,—C.—D.—

（2424）（2424」（2424J\2424J

3.（2025•安化模拟）函数/。）=c（）s2i-sin.t在（2x2”）内的零点之和为（）

A.-nD.-Inc.--D.o

4.（2025•浙江模拟）已知函数/（x）=f2：）*/«g（.r）=|/（x）|-ar+t7,若函数g（x）仅

有一个零点，则实数。的取值范围是（）

A.[-1.+8）B.[0,+8）

C.（-8,T]U[°，2]D.（-1,0]U（2,+8）

5.（2025•浙江模拟）若函数/（、）=2COS（W+夕）（0〉0,0<”]）的最小正周期为五，其

图象的一条对称轴的方程为x=g,则函数/（工）在卜儿可上的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2025高二下.潮阳月考）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交

通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成

为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert

提出铅酸电池的容量C、放电时间，和放电电流/之间关系的经验公式：C/7,其中％为与

蓄电池结构有关的常数（称为Peukerl常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A时，

放电时间为301】；当放电电流为50A时，放电时间为7.5h，则该菩电池的Peukert常数）约为

（）（参考数据：lg2ao.301,Ig3•0.477）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

7.（2025•浙江模拟）定义在（0,+8）上的函数/"）满足/卜-/（K）、/（：卜-/（2工），当

x«l,2］时，/（*）=（.v-1）（.12）,则函数J，=/"）+：在区间［1,100］内的零点个数为（）

A.3B,4C.5D.6

x2e\x<1

r

8.（2025・长沙模拟）已知函数/（》）:de，方程-//（工）=0（〃>（））有两个不

—,x>1

广

等实根，则下列选项正确的是（）

A.2是/（工）的极大值点

B.函数%(x)=/(x)-x无零点

C.a的取值范围是

D.3.rt€（0,l）,x2€（k3）,使/（8）>/（占）

二、多项选择题

9.（2025高一下•泸县期末）已知/（K）是定义在R上的偶函数，且/（K-1）是奇函数，当

时，/（X）=X。则（）

A./（X）的值域为卜川B./（X）的最小正周期为4

C./。）在卜I』上有3个零点D./（5）=/（4）

10.（2025・天河模拟）函数/（r）：的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能

为函数/（工）的图象的是（）

3个零点，则（）

A.A（x）在（0,2劝有且仅有2个极大值点

B.H（x）在（0,2劝有且仅有1个极小值点

D.若/（工）在3单调递减，则口的最小值为2

三、填空题

12.（2025高二下•长沙期末）已知函数/（X）〜.若函数

g（.r）=4[/（.r）]2-（4/+3）/（.v）+3r有七个不同的零点，则实数，的取值范围是.

13.（2025・丰台模拟）已知直线-g为函数/（力=8彳”工+：（e>0）图象的•条对称轴，

则满足条件的一个0的取值为；若/（'）在区间（一。,0上有零点，则©

的最小值为.

,,、x+6m-8.x>1

14.（2025・仁寿模拟）已知阳WR,函数“X）二,,

-x~+7HLV-t-7W\X<I

（1）若/（五）在R上单调递增，则用的取值范围为；

⑵若对于任意实数6方程有且只有一个实数根，且八2）<8,函数『=|/（刈的

图象与函数V=〃2+，的图象有三个不同的交点，则/的取值范围为.

四、解答题

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】B,C,D

10.【答案】B.D

11.【答案】A,C

12.【答案】

13.【答案】1(答案不唯一)；4

14.【答案】［2,3］；(2石-2,4)

15.【答案】(1)解.：函数f(x)=e°lnx,求导得/'(工)=£皿(。卜工+1)，则/'(1)=e"，

x

因此y=/(工)在点(1,0)处攸切线为>，=/(工一|),

令x=0，则y=-e"；令y=。，则工=1，

切线与两坐标轴所围成三角形的面积?xc“xl二立,所以，/=1.

222

(2)解：由(1)知/'(x)=c"'("InN+-),.rw(0,+8)：eu>0.a>0,令奴工)=uln.t+-,

XX

求导得“'(x)=g--1=竺n，当0<*<,时，d(K)<0；当时，d(K)>0,

xxxaa

函数强.t)在(0」)上单调递减，在d.+8)上单调递增，双肛虫=e(1)="(1-11［“)，

aaa

当0<"4c时，奴x)w20,则/'U)2(),函数/(x)在(0,+8)上单调递增，无极值；

X

当4>e时，^(x)min<0,而奴1)=1>0,济/)=/-4〃lnu=4.(：Inu)>4«/(«/In</),

令人(x)=.t-lnK.t>e,求导得力'。)=1-』>(),函数/?(x)在(已+8)上单调递增，

x

//(A)>/J(C)=C-1>(),因此到a。)。，存在芭£(二,一),.心e(一,1),使得奴工|)=到入)=0，

aa"a

当0<x<Xi或x>,q时，奴工)>0，Wf\x)>0；当时，收x)<0,即/'(K)<0,

函数/(工)在(0臼),(七,+8)上单调递增，在(0.0)上单调递减，0是/(冷的极小值点，即

所以/(%)</(-)=eln-=Yh[a<-e.

aa

16.【答案】⑴证明:因为/(工)的定义域为(-8,-。)。(。,+8),

所以―/(川=_皿尸_4-Mr)=In尸+[+or=+奴=/(x),

\-x+aJ\-x-aJ\x+a)

由奇函数的定义知/(x)是奇函数.

(2)证明：由函数的图象的对称性，不妨取日=一演，

则/(±)+/(n)・in;°{+〃(吃+5)=0

因为2d空卜心一］•)叫+,(…)

I2J|_(x2+d)+(x3+6r)J

下证2/("7)20./(.)+/«),

设.0-。=〃？，x)-a=n,&+a=p,弓+4=]，

则(々-4)+(%-。)(x「o)(x「a)二(加+〃『mn

[(占+")+(与+。)_|(x,+a)(x3+u)(p+q『Pq

pq(7n+〃)2-/〃〃(〃+q)~(pm-qn)(qm-pn)

(p+q『pq(p+qfpq

2a伍+内)(七一七)22

(p+qYpq

(当且仅当加=〃，p=q,即时取等号)，

又因为/(')的定义域为(-8.F)U("，+8)，

所以/'(x)=/::------;+«.

(x+a)(x-a)

由函数图象的对称性，不妨取工>〃,

则/'（力。）0，

所以/（工）在（a+R）上单调递增,

当XT4时，/（"—y；

当工一＞+2时，/（.r）＞+/,

由零点存在定理知/（工）在（&♦＜）上有一个零点小，

所以/4八）%.

一

17.【答案】（1）解：由/（"）=.1+白-2＜＜、（*＞。）,

得「（”）-2x-*—,

则/⑴=。/'（1）=3,

所以，函数/（X）的图象在点（1./（1））处的切线方程为y=3x-3.

（2）解：解法一：由/（五）=0,得一-2[=。，

令&（"）=—2.xA。，

则&＜“）=8+2xY-内L=&■*+2/+x-I）,

令〃（"）■Y+211,K＞O,

显然“X）在（0,收）上单调递增，且〃仁）・一亮〈O・〃⑴・3）。,

故3AT.W1）./7（~）=O.

当KW（O,.%）时，//（V）＜0,则x'（\）＜0,即g（x）在（0.7）上单调递减;

当XW（Xo，+8）时,力（力0,则g'（x）＞0,即X（x）在（工・+句上单调递增

所以，加，从而g（x）的零点个数为2,

即/（》）的零点个数为2.

解法二：由/（灯=0，得,工＞0，

令/（x）=x'+J.G（x）=2c'",X＞0,

则如，（x）=2«_-V=2./-I,

当修〕时，r(.v)<o,则£")在(人声〕上单调递减；

当(4・+8］时，Ff(x)>0,则£口)在(4・+8］上单调递增,

显然函数。(“)=次-在(0.+8)上单调递减，

因为"(l)=G(l)=N,

所以/[71)〈“[修)，

又因为"")=6+*>《£)=2=

所以，"(，〃)-0(，，，),

则/(工)的零点个数为2.

(3)证明：要证/(x)N3lnx,需证°1(尸一｝一3gK)N2,

.令0(_C*，(x2-----31c).RAC,

则<pl(.r).e*—'(1.2.r——-----—3lnx|

令〃(x)=-1—2*-2------3ln.v.>O,

则〃(K)在(0"N)上单调递增,

因为〃(1)=0,

所以当工£(0,1)时，//(x)<o,则”“<0,则o(x)在(0,1)上单调递减;

当XW(l,+8)时，//(.x)>O,则则夕(工)在(1,+8)上单调递增

所以，)N>(1)=2,

则/⑴>"nt.

18.【答案】(1)解：函数/(K)=;a/+(a+l)K+lnx的定义域为(0,+8),

,Iar2+(a+l)x+l(x+l)(ar+l)

f\x)=av+(t7+l)+-=------------------=---------------，

xxx

当〃<0时，令/'(K)>0,解得得令/'(x)<0,解得

aa

则函数/(N)在(O.-L)上单调递增，在+8)上单调递减，

故当〃<0时，"K)的单调递增区间为(。,--),单调递减区间为(--,+8);

aa

(2)解：(i油/口卜彳公)二，可得or+1nx=0，即方程at+1nx=0有两个解可,I2(%<.v:),

设g(x);at+lnx(.r>0)，/(幻=〃+’二竺型，且g(x)在(0,+8)上有两个零点，

XX

当〃20时，gV)=——>0，函数K(x)在(0,♦«)上单调递增，

X

则g。)在(0.+8)上最多只有一个零点，不合题意；

当〃<0时，令8'(1)=竺士1>0,解得0<工<一!，令/(幻=竺±1<0,解得工>一,，

xaxa

即函数g(x)在(0「L上单调递增，在(-L+8)上单调递减，故g(x)在.时取得极大值，

aaa

要使X。)在(0.+8)上有两个零点，需使*(一3>0,即-1+则一3>0,解得一1<。<0,

aae

当0cx<—一时，因-->e，又g(l)=«<0,则g6g(—-)<0,

aaa

又g(x)在(0.-L)上单调递增，所以以工)在(o「L)有唯一零点；

aa

当工>一，时，令9(.t)=C'―/(.E)1)，则/(x)=c'-2x，

a

再令〃(x)=e*-2x(x>l)，则/(工)=e*-2>e-2>0，

故〃(.1)在(I"H)上单调递增，则〃(、)>〃⑴=C2>(),即夕'(.r)>0,

故胸工)在(I.+8)上单调递增，则Mt)>M)=c1>0,

因所以e(■1)>(),即e^T-•-)2>0,即e。〉!，即

ziziXYKcI\J

乂g(X)在(-J.+8)上单调递减，故g(X)在(-L.+8)上有唯一零点，

aa

综上，当」<"<()时，4(1)在(0.+8)上有两个零点，

e

即方程/(#=!〃/+«有两个解"小(』<乂)，故a的取值范围为(-L。)；

2e

atj+Inx1=0Inx.-Inx,

(ii)由(i)可得0<芭<--<x,,且故〃=----!-----L

aax2+Inx2=0

因f(s)<0,则3+二川<o,

s即"j也即3+力苦7

%-1

，设，喙则a,于是可得人向

故有力〉

(*+x2Xlnx2-lnx1)(1+£)皿2

即川|”>土1

1+/

设s“)=21n/—二，则$'")=4__2_=lz；__

1+/7-(W7l(W'

2/2

因/>1时，(1+，尸/+〔+22，

①当22g时，.a/)>0在(l,+8)上.恒成立，故函数s(1)在(l.+8)上.为增函数,

即s(1)>s(l)=o，即;lhw>X在(L+3)上恒成立;

1+r

②当。时，用)=/；<。，叫，)

、上1—X+yl—2A..

当/>------------>I时1H,、'⑺>0，

7

故存在％>1，使得V/JUJ，使得s'(/)<0,故s〃)在(lj“)上为减函数，故$(/)<s(l)=0,

矛盾，

综上，可得/N：,即久£［；,+工).

19.【答案】(1)解：当1=2力=-1时，/(A)=2.r-ln.r,定义域为x>0，

所以/'(X)=4K-L所以/'⑴=4—1=3.

AT

而/⑴=2,所以曲线/(”在(1.2)处的切线方程为y-2=3(x-l),即产3x・l.

(2)证明：当力=0时，/(x)=m'+(a—2).1Inx,x>0.

因为存在X"?W(1,+8),使得/(8)=/'(与)=0.

所以at；4-(t/-2)v(-InV)=2ax、+〃-2----=0,

&

(2x,+l)(at,-1)八，，八］

所以J―—^=0,x2>l,所以/一1・0,.二，

将巧=1代入得：,+---2X)-Intj-0,

x_2占+In.v(

所以