北京市2021-2025年高考物理试题分类汇编：万有引力（解析版）

\\五年真题（202L2025）

4<04万/引力

（五年考情•探规律）

考点五年考情（2021-2025）命题趋势

考点1行星的要求考生从宏大且复杂的宇宙场景中

2021、2023、

运动提炼出点质量、中心天体环绕等万有引力

模型。在知识考查方面，不再局限于基础

的万有引力公式计算，而是深入挖掘其与

牛顿运动定律、能量守恒的内在联系。比

如，通过分析卫星在椭圆轨道上的运动，

综合考查万有引力提供向心力、机械能守

恒等知识，对开普勒定律的考查也从单纯

的记忆上升到结合实际情境的深度应用，

例如利用开普勒第三定律分析不同天体系

统中行星或卫星的运动特征。

从能力考查维度来看，对逻辑推理与

数学运算能力的要求显著提升。试题常设

考点2万有引置多过程、多变显的复杂情境，要求考生

力定律及其应2022>2023、2024、2025依据已知条件，通过严谨的逻辑推导，构

用建物理方程，运用三角函数、开方运算等

数学工具求解天体质量、密度、轨道参数

等关键物理量。同时，注重对考生科学思

维的考查，如通过类比、迁移等思维方法，

将熟知的地球卫星模型拓展到其他恒星-

行星系统或双星、多星系统。部分试题还

会引入新的科研成果或理论假设，如引力

以移、广义相对论中的时空弯曲对万有引

力的影响等，考查考生在新情境下获取信

息、分析问题、应用知识的创新能力，以

此全面检验考生对万有引力知识的掌握程

度以及物理学科核心素养的发展水平。

（五年真题•分点精准练）

考点01行星的运动

1.（2023・北京・高考）2022年1（）月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探

测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720km,运行一圈所用时间约

为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父•号”在随地球绕太阳公转的过程中，需

要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是（）

A.“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为I。

B.“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s

C.“夸父..号，，绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度

D.由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离

【答案】A

【详解】A.因为“夸父一号”轨道要始终保持要太阳光照射到，则在一•年之内转动360。角，即轨道平面平均

每天约转动1。，故A正确；

B.第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9km/s,故B

错误：

C.根据可知"夸父一号，绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误：

D.“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，如根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，

故D错误。

故选Ao

2.（2021・北京・高考）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探

测火星就实现“绕、落、巡''三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8X10?

km、远火点距离火星表面5.9xl0，km,则“天问一号”（）

A.在近火点的加速度比远火点的小B.在近火点的运行速度比远火点的小

C.在近火点的机械能比远火点的小D.在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动

【答案】D

【详解】A.根据牛顿第二定.律有6誓=小。解得斫等故在近火点的加速度比远火点的大，故A错误：

B.根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误；

C.“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C错误；

D.“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D正确。

故选D。

考点02万有引力定律及其应用

3.（2025・北京・高考）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆

形轨道1上绕月球飞行，在力点变轨后进入椭圆轨道2、8为远月点。关于嫦娥六号探测器，二列说法正确

的是（）

A.在轨道2上从力向8运动过程中动能逐渐减小

B.在轨道2上从X向4运动过程中加速度逐渐变大

C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等

D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量

【答案】A

【详解】A.在轨道2上从力向白运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能

定理，动能逐渐减小，A正确；

B.探测器受到万有引力，由解得片在轨道2上从力向8运动过程中，厂增大，加速度逐渐

变小，B错误；

C.探测器在力点从轨道I变轨到轨道2,需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨

道I上的机械能，C错误；

D.探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G塔方解得A公益利用引力常量

G和轨道1的周期T,还需要知道轨道1的半径广，才能求出月球的质量，D错误。

故选Ao

4.（2024・北京•高考）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体

等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测

点，以质量为，〃的小星体（记为P）为观测对象。当前尸到。点的距离为2,宇宙的密度加°。

（1）求小星体P远离到力•（）处时宇宙的密度p；

（1）求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小n与厂的关系；

（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似

性和相关力学知识，求/</?区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小I，与r的关系；

（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小I，随r的变化关

系图像，如图所示，根据在》及范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（，>/?）存在一

种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求尸〃R内暗物

质的质量A/'。

【答案】（1）V=yJ~~；，2）片“黄；（3）A/=（〃1）.V/

【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有G与=m±解得尸陛

产/yjr

（2）在吆氏内部，星体质量M）=J^由万有引力定律和向心力公式有6上巳="；解得v=，•厚

（3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有G翳=析）对处于『，求处的恒星，由万

有引力定律和向心力公式有G蝶卜解得贬=（〃-l）M

（成）~nR

7.（2022・北京・高考）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。

（1）某质量为机的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近口点速度为盯，在远口点速度为以。求从近口点到

远日点过程中太阳对行星所做的功小

（2）设行星与恒星的距离为，请根据开普勒第三定律（/=k）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作

用力尸与尸的平方成反比；

（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”

后绕此怛星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前.一样。地球绕太阳公转的周期为乙，绕此怛星公转

的周期为名,求口

【答案】（1）用="汹-）而⑵见解析：（3）今=4&

【详解】（1）根据动能定理有人"读-

（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为〃?，运动半径为小运动速度大小为了。恒星对行星的作

用力产提供向心力，则尸=小士运动周期片也根据开普勒第三定律:斗，人为常量，得尸=史如即恒星对

rv尸L

行星的作用力产与广的平方成反匕。

（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为厂的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量

为检。以恒星为球心，以7•为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量齐名设地球绕太阳公

转半径为厂,在新轨道上公转半径为，2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足尸不变，由

于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得，^二分,设恒星质量为地球在轨道上运行周期为

T,万有引力提供向心力，有华=/“＜解得丁=、屋由于恒星质量是太阳质量的2倍，得？=4近

「T~、GM7|

■

1年模拟•精选模考题

I.（2025•北京东城•二模）质量为机的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M,

半径为凡自转周期为7,引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌

面的压力大小少等于（）

A.G攀B.m^R

Cr'Mm4^「Mm470

C.G^r-tn-RD.G-r+m-R

【答案】C

【详解】对物块，由牛顿第二定律有竽-乐=〃岸/?解得物块受到的支持力尺=攀-〃岸R杈据牛顿第三

定律，可知物块对桌面的压力尸大小为（华-〃?/的。

故选C。

2.（2025•北京昌平•二模）2025年3月26EI,我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，

该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地

圆轨道运行时周期为几。则“天链二号04星”的周期约为（）

A.6ToB.氓ToC.6巫To0.36几

【答案】C

【详解】设地球半径为R,根据开普勒第三定律有与=等联立解得“大链二号（）4星”的周期72=6%7'0

z672

故选C。

3.（2025•北京通州••模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨后

按照预定程序与天和核心舱对接。飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示。飞船从圆轨道I,通过变轨后,

沿椭圆轨道II由A处运动到B处，与沿圆轨道HI运行的核心舱对接，对接后的组合体继续在圆轨道川上运行。

在上述过程中，飞船（）

软道L/轨道1]

轨道川然

询核心舱

A.由轨道H变轨到轨道in,需在〃处减速

B.在8处与核心舱对接前后的加速度相等

C.在轨道1上力处的速度小于在轨道山上4处的速度

D.在轨道H上由A到B的时间大于在轨道HI上运行周期的一半

【答案】B

【详解】A.需在8处加速，做离心运动，才能由轨道n变轨到轨道HI,A错误；

B.在5处与核心舱对接前后的加速度相等，加速度大小为a=H=G^,B正确；

m产

C.根据G与=M±,解得产隹，轨道半径越小，速度越大，所以在轨道I上4处的速度大于在轨道III上8

r'rr

处的速度，C错误；

D.根据开普勒第三定律，在轨道II上运行周期小于在轨道山上运行周期，所以在轨道n上由4到8的时间

小于在轨道山上运行周期的•半，D错误。

故选B„

4.（24-25高三下•北京海淀•一模（期中））2024年6月，“嫦娥六号''探测器成功着陆在月球背面预选着

陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。“嫦娥六号”被月球捕获进入月球轨道的部分

过程如图所示：探测器在椭圆轨道1运行经过户点时变轨进入椭圆轨道2、在轨道2上经过夕点时再次变

轨进入圆轨道3。三个轨道相切于P点，。点是轨道2上离月球最远的点。下列说法正确的是（）

A.探测器从轨道1进入轨道2的过程中，需点火加速

B.探测器在轨道2上从2点运行到0点的过程中，机械能越来越大

C.探测据分别沿着轨道2和轨道3运行，经过『点时的加速度相同

D.探测器在轨道3上运行的周期大于其在轨道1上运行的周期

【答案】C

【详解】A.由轨道1变到轨道2,半径减小，做近心运动，因此需要在P点减速，故A错误；

B.探测器在轨道2上从P点运行到0点的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误；

C.根据牛顿第二定律，有等=/桢由「探测器分别沿着轨道2和轨道3运行，经过产点的距离厂相同，所

以经过Q点时的加速度相同，故C正确；

D.根据开普勒第三定律＜=攵可知，轨道1的半长轴大于轨道3的半长轴，所以在轨道1上运行的周期比在

轨道3上运行的周期大，故D错误。

故选C。

5.（24-25高三下・北京海淀•一模（期中））当波源与观测者发生相对运动时，观测者接收到波的频率发生

变化，这是我们熟悉的多普勒效应。观测者和波源之间的距离变化越快，多普勒效应越明显。原子会吸收

和发出某些特定波长的电磁波，我们观测到的某颗恒星的光谱包含由此恒星的大气层中的原了引起的吸收

谱线。已知钠原子具有一条波长为5895.9A（lA=10T°mm）的特征谱线（D1线）。研究人员在观测某双恒星

系统时，从片0时开始在表中记录双恒星系统中的钠原子在D1线对应波长处的吸收光谱，其中1号恒星和2

号恒星在吸收波长处吸收光谱的波长分别为兀和九2假定研究人员处于双恒星运动所在平面，双恒星均近似

做匀速圆周运动，且不考虑双恒星系统质心（质点系的质量中心）的运动。不考虑相对论效应和宇宙膨胀

的影响。关于该双恒星系统，下列说法正确的是（）

t/dXi/AX2/A

0.35893.15897.5

0.65892.85897.7

0.95893.75897.2

1.25896.25896.2

1.55897.35895.1

1.85898.75894.3

2.15899.05894.1

2.45898.15894.6

2.75896.45895.6

3.05894.55896.7

3.35893.15897.3

3.65892.85897.7

3.95893.75897.2

A.双恒星绕质心转动的周期约为1.8d

B.片L5d观测到波长为&的光是1号恒星靠近观测者时发出的

C.在2.7d〜3.0d间观测到波长为4的光是1号恒星在距离观测者最近位置附近发出的

D.通过比较观测波长变化量，可判断1号恒星质量较小

【答案】D

【详解】A.从表中数据来看，波长从一种状态变化回类似状态的时间间隔约为3.0d,因为双恒星绕质心转

动时，会引起光的多普勒效应，从而导致观测到的波长周期性变化，这个周期就等于双恒星绕质心转动的

周期，所以双恒星绕质心转动的周期约为3.0d,故A错误;

D.如图所示

观测点

〃点表示恒星相对观察者在靠近，旦靠近速度最大的位置，根据多普勒效应，频率应在其数据中最大，波

长应在其数据中最小：同理N点表示波长应在其数据中最大。表中1号恒星的最短波长（对应其做大频率）

为5892.8A,2号恒星最短波长（对应其最大频率）5894.1A,可以看出1号恒星的最短波长更短，则对应

最大频率更大，说明I号恒星相对观察者靠近的最大速度更大。说明其对应的轨道半径更大，即M点所在

的圆轨道。根据双星知识，轨道半径与质量成反比，则1号恒星比2号恒星质量小，故D正确；

BC.根据前面的分析，图中M点对应1号恒星波长最小的时刻，即片0.6d,那么其再转四分之•周期后（即

r=1.35d）离观测者最近，再过半个周期后（即片2.85d）离观测者最远，再次离观测者最近时f=4.35d,则在

2.7d〜3.0d间观测到波长为小的光不是1号恒星在距离观测者最近位置附近发出的，Z=1.5d时1号恒星一定

是远离观测者，故BC错误。

故选D.

6.（2025•北京西城•一模）北斗卫星导航系统中包含地球静止卫星，即相对地面静止的卫星。静止卫星的

（）

A.周期大于地球自转的周期

B.线速度大于地球的第一宇宙速度

C.向心加速度大于地球表面的重力加速度

D.向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度

【答案】D

【详解】A.相对地面静止的卫星的周期与地球自转的周期相等，故A错误;

B.根据万有引力提供向心力G与=m）可得L再第一宇宙速度是在地球表面运动的卫星的速度，相对

地面静止的卫星的轨道半径大于在地球表面运动的卫星，即静止卫星的线速度小于地球的第一宇宙速度，

故B错误；

C.根据牛顿第二定律G?=/园可得可知向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；

r广

D.根据%=32/.可知向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度，故D正确。

故选D。

7.（2025•北京房山•一模）某航天器绕地球运行的轨道如图所示。航天器先进入圆轨道1做匀速圆周运动,

再经椭圆轨道2,最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于尸、。两点。5

列说法正确日勺是（）

A.航天器在轨道1的运行周期大于其在轨道3的运行周期

B.不论在轨道1还是在轨道2运行，航天器在P点的速度大小相等

C.航天器在轨道3上运行的速度小于第一宇宙速度

D.航天器在轨道2上从尸点运动到。点过程中，地球对航天器的引力做正功

【答案】C

【详解】A.根据万有引力提供向心力有竽=.・9解得7=2点卫星在轨道1的运行周期小于其在轨道

3的运行周期，故A错误；

B.根据变轨原理可知，航天器从轨道1到轨道2,需正P点加速，则航天器在2轨道时经过P点的速度较

大，故B错误；

C.第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周的最大环绕速度，所以航天器在轨道3上运行的速度小于第一宇

宙速度，故C正确；

D.卫星在轨道2上从P点运动到0点的过程中，引力做负功，故D错误。

故选C。

8.（2025•北京顺义•一模）空间站在距离地面高度为人的圆轨道上运行。航天员进行舱外巡检任务，此时

航天员与空间站相对静止。已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,下列说法正

确的是（）

A.此时航天员所受合力为零

B.地球的质量为吟必

C.空间站的线速度大小为R后

D.空间站的向心加速度大小为

【答案】C

【详解】A.航天员相对空间站静I卜.即航天员和空间站•起相对地球做圆周运动,所受合力不为零.A错

误；

B.设地表有一物体，质量为小，忽略地球自转，有竿=〃?g，解得地球的质量为〃=耳，B错误；

C.由^^=皿m其中LH+力，得代入地球质量，解得v=嘀,C正确；

D.由4=加用其中尸/?+〃，得所黑，代入地球质量，解得斫晟，D错误。

产（R+h¥（R+hy

故选c。

9.（2025•北京丰台•一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与胜地表约400km的空间站顺利完成

径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止：随后逐

步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。卜.列说法

正确的是（）

A.飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度

B.飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力

C.相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小

D.相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加

【答案】D

【详解】A.径向交会对接是指飞船沿与空间站运动方向垂直的方向和空间站完成对接。飞船维持在“停泊

点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方200米的轨迹半径较小，根据产「①可知,

它的运动速度小于空间站运动速度，故A错误；

B.飞船维持在“停泊点”的状态时，以空间站为研究对象，根据万有引力提供向心力有亭=加服2

飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方，轨迹半径较小，分析

可知喀需要开动发动机给飞船提供一个背离地心的推力使飞船能与空间站保持相对静止，故B错

r

误；

C.对接稳定后空间站的轨道半径不变，质量增大，根据万有引力提供向心力有缥

lr

解得悟对接稳定后空间站速度与质量无关，保持不变，故C错误；

D.对接稳定过程中，外力对飞船做正功，相比于''停泊点"，飞船的机械能增加，故D正确；

故选D。

10.（2025•北京•专项训练）2024年3月2（）日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的

探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点力距月心

约为2.0x1（Tkm,远月点8距月心约为1.8x10%m,CO为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（）

A.鹊桥二号从。经8到。的运动时间为12h

B.鹊桥二号在力、8两点的加速度大小之比约为81：1

C.鹊桥二号在C、。两点的速度方向垂直于其与月心的连线

D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于11.2km/s

【答案】B

【详解】A.鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从力-C-8做减速运动，从

做加速运动，则从的运动时间大于半个周期，即大于12h,故A错误；

B.鹊桥二号在4点根据牛顿第二定律有G等=加%同理在4点有G詈=〃?沏代入题中数据联立解得

（卬“8=81：1故B正确；

C.由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、。两

点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故c错误；

D.由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发

射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s,小于地球的第二宇宙速度U.2km/s,故D错误。

故选B。

11.（24-25高三・北京海淀•一模（期中））当波源与观测者发生相对运动时，观测者接收到波的频率发生

变化，这是我们热悉的多普勒效应。观测者和波源之间的距离变化越快，多普勒效应越明显。原子吸收和

发出某些特定波长的电磁波，因此我们观察到的某颗恒星的光谱包含由此恒星的大气层中的原子引起的吸

收谱线.已知钠原子具有一条波长为5895.9A（10A=lnm）的特征谱线（D1线）。研究人员在观测某遥远双恒

星系统的光谱时，从片0时开始在表中记录对于钠5线的吸收光谱，其中1号恒星和2号恒星吸收光谱的

波长分别为不利不。假定研究人员处于双星运动所在平面，双星为近似做匀速圆周运动，且不考虑双恒星系

统质心的运动。不考虑相对论效应和宇宙膨胀的影响。关于该双恒星系统，下列说法不正确的是（）

r/dz./A%2/A

0.35893.15897.5

0.65892.85897.7

0.95893.75897.2

1.25896.25896.2

1.55897.35895.1

1.85898.75894.3

2.15899.05894.1

2.45898.15894.6

2.75896.45895.6

3.05894.55896.7

3.35893.15897.3

3.65892.85897.7

3.95893.75897.2

A.双恒星绕质心转动的周期约为3.0d

B.片L5d观测到波长为九的光是1号恒星远离观测者时发出的

C.在1.2d~L8d间观测到波长为&的光是2号恒星在距离观测者最远位置附近发出的

D.通过比较观测波长变化量，可判断1号恒星转动半径较小

【答案】CD

【详解】A.由表中记录的数据，可知在0.6d~3.6d期间，两恒星吸收光谱的波长是一个循环变化周期，

则转动的周期约为3.0d,故A正确；

B./=1.5d观测到光的波长为4=5897.3A>5895.9A,波长变长，由多普勒效应可知，它是1号恒星远离观测

者时发出的，故B正确：

C.在L2d~1.8d间观测到波长为小的光，波长在逐渐减小，由多普勒效应可知，2号恒星在逐渐接近观测

者，r=0.6d或3.6d时，在距离观测者最远位置附近，故C错误：

D.观测波长变化量，可知不变化范围较大，多普勒效应更明显，距离变化更快，线速度更大，可判断1号

恒星转动半径较大，故D错误。

故选CDo

12.（2025•北京朝阳•二模）开普勒行星运动定律内容如下：

①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆.太阳处在椭圆的•个焦点卜：

②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等；

③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。

科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为，b的圆轨道上绕地球做匀速

圆周运动，运动周期为几。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消耗的气体质量忽略不计），

将探测器沿运动方向射出，探测落恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆运动。

已知质量分别为啊、的两个质点相距为厂时的引力势能为d=-色詈，其中G为引力常量。不计其他天体

的作用。

（1）求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小”;

（2）求发射后瞬间探测器的速度大小0；

（3）小华认为，若给定卫星与探测器的质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你

分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。

【答案】⑴%=筌

（2）1空

zo

（3）见解析

【详解】（1）由匀速圆周运动线速度与周期的关系，可得％=筌

（2）设地球质量为探测器质最为叫，卫星质量为〃72,探测器从被发射到无穷远的过程，由能量守恒定

律得:31彳_以=0发射前，由牛顿第二定律得G曳*=（四+如）互联立解得旷&%=半

（3）小华的观点正确。设发射后卫星的速度为电，发射过程由动量守恒得（四+〃?2）%=〃?1片+〃?。2发射后卫

星绕地球做椭圆运动，设近地点速度为-2,近地点到地心距离为八由开普勒第二定律得%。极片?也加

由能量守恒定律就g6-牛-牛设发射后卫星绕地球运动的周期为丁，由开普勒第三定律得

小箸联立以上方程，若给定卫星与探测器的质量之比，可求得发射后卫星的运行周期。

13.（2025•北京昌平•二模）随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。

V1

（1）探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得纨道半径的三次方与周期的二次方的比值为九已知引力常

量为G。求该星球的质量也。

（2）太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击包原子使之电

离，沉离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和沉离子）

的初始质量为每个颔离子的质量为〃7，电荷量为办加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出

的离子数为〃。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻

（/=0）,求探测器的加速度大小。随时间/的变化规律。

⑶深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应''实现加速。设质量为，孙的探测器以相对太阳的速率为飞向质量

为此的行星，行星相对太阳的轨道速率为叱，方向与修相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太

阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为a,方向与H相反；行星运动方向不变。已

知叫《河2,各速度在极远处可视为平行：探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。

①推导山的表达式（用匕、丫2表示）；

②简要说明“引力弹弓效应''能使探测器明显加速的原因。

【答案】（1）“警

，

(3)©V|=V14-2V2：②见解析

【详解】⑴探测器绕星球沿圆轨道匀速率运行0寸，万有引力美供向心力誓=加停）＞即，得=人可得

（2）包离子经加速电压U加速后，相对探测器的速度大小为丫，根据动能定理得m/在f时间内喷

出偏离子质量为Am』加根据动量定理得年△旅，联立解得户市历西根据牛顿第三定律知:探测器获得

的反冲作用力大小为尸=产=〃/版探测器质量随时间的变化规律为〃而探测器加速度1随时间t

的变化规律为所亚

（3）①设探测器绕过行星后，行星速率为畛'，以行星运动方向为正方向，根据动量守恒定律得

V+WV=

A/2V2-W]V]=此,2+叫-1根据机械能守恒定律得:此27II7%V2+卜〃I'I联立解得

*■黜或哉"2由于叫《3得―吵

②行星与探测器相互作用时，发生动量和能量的转化。由于行星与探测器相对运动，行星具有较大的轨道

速率，且加《M,行星动能（或动量）损失很小，探测器却获得了较大的速率。

14.（2025•北京东城•二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。

开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。

这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。

：/厂1rr

A-A•-*A___f___•，0

\MmQ_q

甲乙丙丁

（1）一个质量为小的探测器绕某行星P做匀速圆周运动，轨道半径为心如图甲所示。行星尸的质量为

M（M》⑺，引力常量为G。行星P和探测器均视为质点。

a.设探测器做匀速圆周运动的周期为T,求捻的表达式；

b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；

若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道n所示。假设探测器在极短的

时间内减速到丫，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近尸点''到行星P的距离出

c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星户做变加速直线运动，如图内所

示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星P所用的时间3

（2）真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为。（0>0）,距离为，•（）处有一质量为〃卬、带电量为-式4>0）

的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为七库仑力马万有引力都与距离的平方成反比，

结合运动与相互作用观，类比（1）,求带电量为一夕的点电荷仅在静电力的作用下到达Q所用的时间八不

计带电量为p的点电荷运动过程中的电磁辐射。

【答案】⑴a/=答b.d=：e./=4舄

⑵尸哼盛

【详解】（Da.万有引力提供向心力，有G^=，"<，,解得<=翼

I-T-T-4n-

b.设近尸点的速度为修，根据开普勒第二定律△片:八世，d=-r由于v趋于零，探测器从远尸点到近P

22V|

点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。

C.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为八短轴为零的无限扁椭圆轨道，其

周期为T4。由开普勒第三定律，得捻=,因为片?联立解得