八年级数学下册 勾股定理（第1课时）分层作业（解析版）

17.1勾股定理（第1课时勾股定理）分层作业

基碘!1练

i.在一个直角三角形中，若斜边长为5c7〃，一条直角边的长为3c〃?，则另一条直角边的长为（）

A.4cmB.4c"i或C.\/34cmD.不存在

【解答】解：•••一个直角三角形中，斜边长为55?，一条直角边的长为3cm,

・•・根据勾股定理得：另一条直角边为行二*=4。小

故选：A.

【小结】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

2.直角三角形的两直角边分别为4,〃，斜边为C,则下列关于a,b,。三边的关系式不正确的是（）

A.b2=c2-a2B.a2=c2-b2C.b2=a2-c2D.c2=a2+b1

【解答】解：•・,直角三角形的两直角边为“Jb,斜边为c,

/.a2+b2=c2，

故选项A正确，不合题意；

tr=c2-a2».•./+//=/，

故选项8正确，不合题意；

---Zr=a.一c-，.二+Zr=c/，

故选项。不正确，符合题意；

故选：C.

【小结】此题主要考查了勾股定理，正确利用等式的基本性质得出是解题关键.

3.下列说法中正确的是（）

A.已知a,b,c是三角形的三边，则/+从二。？

B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C.在R/ZXA8C中，ZC=90°,所以8c?+AC?=AB?

D.在此△ABC中,々=90",所以8c2+AC2=A4

【解答】解：A不正确；

•・•以〃，〃，。为三边的三角形不一定是直角三角形，

：.A不正确；

B不正确;

/直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，

「.8不正确;

C正确;

­.ZC=90°,

「.AB为斜边,

，BC1+AC2=AB2，

.•.C正确;

。不正确;

ZB=90°,

.TC为斜边,

/.AB2+BC2=AC2，

。不正确:

故诜：C.

【小结】本题考查了勾股定理的运用;熟练掌握勾股定理，并能进行推理论证是解决问题的关键.

4.如图，带阴影的长方形面积是（

3厘米

B.24。/C.45cm2D.5\cm

【解答】解：由图可知，AABC是直角三角形,

AB=dBC2-AC2=>/172-82=15cm*

5赢=15x3=45c〃J.

故选：C.

【小结】本题考查的是勾股定理及矩形的面积公式，先根据勾股定理求出A3的长是解答此题为关键.

5.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为25

16

9

【解答】解：由题意可知，直角三角形中，•条直角边的平方=9,•直角边的平方=16,

则斜边的平方=9+16=25.

故答案为：25.

【小结】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识.

6.设直角三角形的两条直角边长分别为。和〃，斜边长为c

(1)已知〃=12,b=5,求c；

(2)已知〃=3,c=4,求b；

(3)已知c=IO,0=9,求a.

【解答】解：(1)•,直角三角形的两条直角边长分别为〃和〃，斜边长为J。=12,〃=5,

/.c-V«2+b2=J122+52=13；

(2)•直角三角形的两条直角边长分别为〃和〃，斜边长为J〃=3,c=4,

:.b=Jc1-a2=x/42-32=x/l:

(3).,直角三角形的两条直角边长分别为〃和〃，斜边长为Jc=10,。=9,

：.a=y/c2-b2=X/102-92=V19♦

【小结】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边

长的平方是解答此题的关键.

7.如图，在A48C中，ZC=90°.

(1)若BC=5,AB=6,求AC的长

(2)若4=30°,BC=3,求AC的长.

B

【解答】解：(1)AC=yJAB2-BC2=V62-52=717：

(2)ZC=90°,ZB=30°,

AB=2AC,

设AC为x,

由勾股定理得

32=(2x)2

解价：x=V5

即AC=6.

【小结】此题考行勾股定理的运用，含30。直角三角形的性质，掌握勾股定理是解决问题的关键.

能力提升

8.如图是•一株美丽的勾股树，其中所有的四动形都是正方形，所有的三角形都显直角三角形.若正方形八、

B、C、。的边长分别是4、6、3、4,则最大正方形E的面积是（）

根据勾股定理的几何意义，可得A、8的面枳和为加，C、。的面积和为$2,

2222

5,=4+6,S2=3+4,

于是S3=S+S2,

即可得S3=16+36+9+16=77.

故选：c.

【小结】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出邑是解答本题的关键.

9.直角三角形两直角边长度为5,12,则斜边上的高（）

A.6B.8C.—D.—

1313

【解答】解：由题意得，斜边为行工透=13.所以斜边上的高=12x5+13=*.

JLO

故选：D.

【小结】运用了勾股定理.注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边.

10.如图，在RtAABC中，ZB=90°,以AC为直径的圆恰好过点4,44=8,BC=6,则阴影部分的面

积是（）

B

A.100^-24B.100^-48C.254一24D.25万一48

【解答】解：RlAABC中4=90°,AB=S,BC=6,

AC=7AB?+BC?=V82+62=10，

「.4C为直径的圆的半径为5,

/.S阴影=S网-S^BC-25乃一gx6x8=254-24.

故选：C.

【小结】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边

长的平方是解答此题的关键.

11.如图，ZOAB=ZOBC=ZOCD=90°,AB=BC=CD=\,OA=2,^\OD2=7.

【解答】解：由勾股定理可知03=6，OC=瓜，OD=/i

：.OD2=7.

【小结】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

12.已知A4AC为等边三角形，4。为中线，延长AC至使8=6=1,连接Qf,则

【解答】解：AA8C为等边三角形，

/.Z4BC=ZACe=60°,AB=BC,

加＞为中线，

ZDBC=-ZABC=30°

2t

CD=CE,

:.NE=/CDE,

N+NCDE=ZACB,

.•.NE=3(r=/DBC,

BD=DE-

8。是AC中线，8=1,

AD=DC=1,

AAHC是等边三角形，

：.BC=AC=\+\=2,BDIAC^

在RtABDC中，由勾股定理得：BDnyhT=5

故答案为：73.

【小结】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用,

关键是求出和求出的长.

13.如图所示：是一段楼梯，高6c是3〃?，斜边AC是5〃?，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯—

c

AB=VAC2-BC2=V52-32=4,〃，

，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=1米.

【小结】本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.

14.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”.在•△ABC

中，ZC=90°,AC=4x/3,若△人AC是“美丽三角形”，则4c的氏6或8.

【解答】解：如图:

①当AC边上的中线等于AC时，

BD—AC-4\/3«CD——ACJ-»

­.C=90°,

8c=J/3D2-C»=](4扬2_Q百1=6;

②当3c边上的中线AE等于8c时，

AE=BC,CE=-BC,

­.ZC=90°,

.•.心=4炉一。七2,

(4>/3)2=BC2-(-BC)2,

2

解得8C=8；

综上，8C的长为6或8,

故答案为：6或8.

【小结】本题考查了勾股定理，三角形的中线，运用分类讨论思想解答是解题的关键.

15.如图，所有阴影四边形都是E方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、8、C三个正方形的面

.,两个空白三角形均为直角三角形，

，2222C

/.a~+bf~=xx~+c~=d~>

：.d2=a2+b2+c2

•.•4、B、。三个正方形的面积分别为6、8、5,

/.d2=/+〃+/=6+8+5=19,

即正方形O的面积为19.

故答案为：19.

【小结】本题主要考查了勾股定理，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键.

16.如图，ZAED=90°,正方形A8CO和正方形AE/P的面积分别是289和225,则以比为直径的半圆

的面积是8汽

G

_____

一F

【解答】解：43=90°,正方形AHCO和正方形AEFG的面积分别是289和225,

DE2=心一AE2=289-225=64,

，DE=8,

1Q

丁•以DE为直径的半圆的面枳是-x^-x(-)2=8万，

22

故答案为：8乃.

【小结】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键.

17.如图，在AA4C中，CDA.AB,垂足为Q,AB=AC=\3,BD=\.

(1)求CD的长：

(2)求8c的长.

【解答】解：(1)=BD=1,

/.AD=AB-BD=\3-\=\2.

在RlAACD中，ZA£>C=90°,

:.CD=VAC2-AD2=V132-122=5:

(2)在RtABCD中，NBDC=90。,

BC=ylBD2+CD2=Vl2+52=N/26•

【小结】本题主要考查勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平

方是解题的关键.

拔高拓展

18.如图，以M△ABC各边长为直径的三个半圆围成两个新月形(阴影部分)，已知ZACB=90°,AC6cm,

BC=Scin.

(1)求AB的长.

(2)计算新月形(阴影部分)的面积和.

【解答】解：（I）在用△ABC中，

AB=VAC2+BC2=V62+82=10（"

所以的长为10cm.

（2）由题知，

S小将冏=3.4gAC）2="。2,

同理可得，

$中他=WBC?,S大半圆=—AB2.

OO

因为心+靖二人公，

所以s小半瓢+s中半圆s大半例•

又因为s闲影=s小半圈+s中判处+s八耽_s大半网,

所以％影=S,AK=5x6x8=24（加）.

【小结】本题主要考当了勾股定理，熟知勾股定理及能将图中阴影部分的面积转化为AABC的面积是解题

的关键.

19.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学

研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.RfAABC中,446=90°若

AC*BC=a,请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明：a2+b2=c2；

（2）如果大正方形的面积是15,小正方形的面积是4,求（〃+。）2的值.

B

【解答】(1)证明：•大正方形面积为02,直角三角形面积为：时，小正方形面枳为S-。)，

:.C=4x-ab+(a-b)2=lab+a2-lab+h',

2

7.a2+b2=c2i