2026届高考数学大题专练：空间向量与立体几何（含答案）

2026届高考数学大题系列：空间向量与立体几何

I.(2025・丰台模拟)如图，在匹棱柱,4伙刀-/!7?’('77中，底面48C。与侧面.4QQW均为菱形,

力81平面为('("的中点，与平面力8£交于点尸.

(1)求证：尸为0。'的中点；

(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为己知，判断在线段］('上是否存在点G,

使得直线4G与平面4BE所成角的正弦值为二？若存在，求二不的值；若不存在，说明理由.

4AC

条件①：AD=AD^

条件②：DDf1BF.

注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分.

2.(2025•眉山模拟)如图，在三棱锥P-48C中，4，%却分别是侧棱p.4，PB，PC的

中点，，4818(',4。，平面B4G。.

m求证：平面4&C1平面44C：

(2)如果4c，，仍水'二4,求二面角力-叫-c的余弦值.

3.(2025・临沂模拟)如图，在四棱锥P-,4BC。中，底面。88为矩形，4)=1."=2,△PAD

为等边三角形，P,4±CQ.

(1)证明：平面平面力BCO；

(2)求平面/力。与平面PBC夹角的余弦值.

4.(2025•浙江模拟)如图，在几何体A8CDE”中，四边形48CO为等腰梯形，且,48=2(7)=2,

Z.ABC=60*，四边形/ICFE为矩形，且FB=M，M，N分别为EF，48的中点•

(1)求证：MV//平面/TB；

(2)若直线力6与平面”(7?所成的角为6()。，求平面“48与平面M4C所成锐二面角的余

弦值.

5.(2025・开福模拟)在多面体彳6OE中，已知

AB=BC=2、AC=20DA=DB=EB=EC=旧，且平面8CE与平面0/8均垂直于平面

ABC、F为DE的中点.

(1)证明：DEWAC；

(2)求直线与平面/K.7T所成角的正弦值.

6.(2025.济宁模拟)如图，在四棱锥P-力BC7)中，底面48('。为矩形，七为PC的中点，/“二』。，

（1）证明：平面_L平面,4伙刀；

（2）若20=4。，直线尸6与平面/＞。力所成角的正切值等于2,求平面与平面P"C夹

角的余弦值.

7.（2025・肇庆模拟）如图，“BC,ADBC,△ENC都是等边三角形，点D,E分别在平面ABC

（2）若力。=46=26，求直线与平面/IC。所成角的正弦值的最大值.

8.（2025・绵阳模拟）如图I,等腰梯形458中,ABMCD,CD=AB+2、E、F分别为力代C力的

中点，且*'=V7,将梯形4£下。沿£尸翻折至梯形，使得平面41平面BE"C，

得到如图的多面体48/?仅。/，且

图1图2

（1）证明：4,反C.R四点共面；

（2）求的长；

（3）在RC上取一点〃，使得平面平面求平面与平面/?/芹（'夹角的

12.(2025-湛江模拟)如图，在四棱锥。」取刀中，是正三角形，四边形力伙。是正方

形，8(」平面瓦”为的中点.

(1)证明：AF1DE：

(2)求直线力/,•与平面COE所成角的正弦值.

13.(2025・南充模拟)如图，在等腰梯形力"('。中，AD//HC，AD=-BC=2,E是"C

2

的中点，二“，将△8/IE沿着力£翻折成

(1)求证：CO1平面4。”；

(2)若平面用力。1平面,4演力，求平面与平面4力。夹角的余弦值；

(3)在线段4c上是否存在点P,使得MP〃平面4力;),若存在，求出黑的值；若不存

4c

在，说明理由.

14.(2025・台州模拟)已知四棱锥P-48(7),底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，

AD\\BC,AH1BC,AD=2,BC=1,AB=6M是PD的中点.

B

（1）求证：直线CWII平面/”5；

（2）当二面角，的大小为三时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦，直.

15.（2025・永州模拟）如图，在四棱锥P-力BCO中，底面ABCD为菱形，Z^Z）=j

是边长为2的等边三角形，F为BC的中点.

⑴证明：AB1PD；

（2）若直线AP与DF的夹角的余弦值为无，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

6

16.（2025•浙江模拟）如图，在四棱锥P-/BC7）中，底面48C。为矩形，底面,480

AD=2^PD=AB=4,M，N为别为棱PB,CD的中点•

（1）证明：MV"平面/MO；

（2）求平面PMN与平面AMN的夹角的余弦值.

17.（2025•岳阳模拟）如图，在圆锥中，力（'为底面圆。的一条直径，为底面圆周上不

同于4。的两点，圆锥母线长为若.力。=2,/区4c=30,.

（1）若平面P.40与平面PBC的交线为/,证明：AD〃八

(2)若4。与平面PC。所成角的正切值为生8,求力。的K.

3

18.(2025・清远模拟)如图,在正四棱锥P-/I8CD中,PA=AB=2,E,户分别为PD

的中点.设平面力平面力伙力削.

(1)求证：mBD；

(2)求直线与平面.4E/•.所成角的正弦值；

PU

(3)若平面力£7「与棱尸。交于点A/,求证的值.

19.(2025・绍兴模拟)如图，在四面体力仪7)中，N4CD=NBDCJMC=ED=1,CD=x

2

记二面角A-CD-B为dM,N分别为BC的中点.

D

(1)求证：MV1CO；

(2)若工=正,〃=色，求直线MN与平面所成角的正弦值；

23

(3)设在四面体力〃('。内有一个半径为尸的球，若x=〃，求证：r<l

4

2().(2025・甘肃模拟)如图，在四棱锥P,4BC7)中，△，.〃)是一个等边三角形，底面48C。是

平行四边形，且平面/力。_L平面力8。0,P8=,4B=4,JD=2.

(1)证明：BD1PA；

（2）求平面〃（7）与平面。8c所成角的正切值.

答案解析部分

I.【答案】（1）证明：在菱形48CO中，CDUAR,

因为CO<1平面ABEF.ABu平面，

所以CO〃平面

又因为（7）u平面（'〃）'（"，平面CDD'C'c平面月8EF=E「，

所以CD//EF,

又因为四棱柱［8。）一48'。。中,CEIIDF,

所以四边形C/TF。为平行四边形.

所以。/=CE=,cc'=1ozy,

22

所以厂为。。'的中点.

（2）解：选择条件①：

取4。中点H，连接力〃，

在菱形400'/中，AA'=/O'=AD.

因为

所以"40'为等边三角形.

因为〃为40,中点，

所以NH14。'，

故/〃_L/1O.

因为力81平面ADD/，且力。,』〃u平面彳他力，

所以48140,4614〃,

所以力氏.4D.4“两两垂直.

如图，以力为原点建立空间直角坐标系4

®(OtO,O),B(2,O,O),C(2,2,O),Z(O,-l>V5),F

所以

4*，莉・（0「1网,衣・（23-@

布工(2,0.0),赤=0,

2

设平面力8E的一个法向量为万=（x,.y,z）,

n•AB=0

则

n-AF=0

2x=0

则3石n

—y-F——z=0

2'2

令二=4，则x=0,y=-l，

则万=（0,-1,4）.

设了5=2行=（22”.<3x）,0^2<1,

所以布=7?+行=（223）—1,石一TLi）.

设直线4G与平面ABE所成用为〃，

.AGH-尸|.3

所以sin〃cosAGji

,硼|4“万-3%+14

解得4=；,

所以存在符合条件的点。,黑=?

AC3

选择条件②：

取4。'中点〃，连接力〃，

因为，平面力。。W，且NDOO'M〃u平面48CO,

所以/A1")'.力〃14〃，

又因为加,，旦AB.BFu平面////?凡力"»〃R，

所以0。'1平面力BE/.

又因为/尸u平面/

所以0OU"，

又因为“为。沙中点，

所以力。=/。'，

在菱形/中，AA'=HO'=AD，

所以△44'。'为等边三角形，

所以/〃，/£>',

故力〃1〃），

则力（0,0,0）,C（2,2,0）,/f（0,-l,"）,

所以丽=7?=（0「l,G）,衣二（2,3「8）.

因为OQ'l平面

所以取平面力4£的一个法向量为方=丽=（0,-1,6）.

设石=%/二（2”£八叼,04",

所以布=7?+行=（2232-1,4-右九）.

设直线4G与平面所成用为。,

一」而同

|4-6川3

所以sin0=cos/G,万|=—..1=—f=

/G网4"%—3A+14

解得久=|,

所以存在符合条件的点3段=1.

AC3

2.【答案】（1）证明：因为4,4,G分别是侧棱21，/招，PC的中点，所以44〃力比,

因为「仍.伙'，所以44I4C，

因为4c1平面BB£C,B&u平面BB£C,所以4c1B£,

又因为4Cc44=4,4c，44u平面44c,所以8©±平面44c,

又因为B£u平面48£,所以平面44C1平面48£；

（2）解：因为4cl平面"4。。，"。，4。<=平面8々。。，所以4。14。，4。，3。，

因为，仅HC=4,所以44=40=2,所以4c=qc=应，

因为8©，平面力圈。，BG"BC,所以BC_L平面4〃C，

乂因为qcu平面44c,所以BCJ.BC，所以两两垂直,

以点C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示:

则8(4,0,0),C(0,0,0)，4(0,0,下).4(0,收,0),

丽二（0,上,-拉）,丽=卜,0,一拉），

n-A.IB,I=«r42v-41z=0

设平面484的法向量为0=（工,乂二），则取力=（1,2万,2拉卜

64方=4工一、5:=0

因为4cL平面所以需二（0,0,拉），即平面8"£C的法向量为"=（0,0,拉），

同时71777217

故二面角A「BB「C的余弦值当4.

3.【答案】（1）因为底面XBCD为矩形，所以力8//COJ8J.4。,

乂因为P4±CD,所以力B1P4，

又因为〃4〃）u平面/M0,PA^AD=A,

所以力81平面/川0，

又因为A8u平面力仅刀，

所以平面以0,平面,4伙刀；

（2）取，。中点上连接〃£,因为△/H。为等边三角形，所以/NJ.4O，

又因为平面P/ID_L平面4BCD,平面P.4Dc平面ABCD=AD,PEu平面PAD,

所以PE_L平面,4伙刀，

如图所示，以点上为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

—（（\石）一（\

从而皿序।0岁61｝—尸/="0「三产=92,若61产—十y1产

设平面的法向量分别为=（0%Z2）,

而苗=一；内邛4=0同％=；马+2必■争2=0

从而

1元=-g.+2%-*々=0

Z,=

PA%=2%2°

令M=[，必=G'解得演=Z[=0,x2=0,z2=4,

故可取怯=（0,1,0）,%二（0,6,4）,

设平面/力。与平面P8C夹角为〃，则cos〃=cosw„w2

故所求为叵.

19

4.【答案】解：（1）取8C的中点Q,连接N0,/«?如图所示:

则N0//1/K',且N0二1』r,

—2

又A〃；〃1力C,且A〃；=L（：所以MF//NQ且MF=N。,

所以四边形A/N0/J为平行四边形，所以"V”0,

因为理u平面”(77,MNa平面FCB,所以MN〃平面"7?；

(2)由四边形48co为等腰梯形，且力8=2(7)=2,/48。=60"

可得AC=5所以//fC8=90'，所以4C1BC.

因为四边形,4(7^为矩形，所以4cl(下，所以4C1平面

所以AAFC为直线AF与平面所成的角，

即N"C=60"，所以/T=l.

因为厂B=g，所以?心=FC?+CB?，所以/T1"C.

则可建立如图所示的空间直角坐标系C-.gz,

设而=(x,y,z)为平面A"B的法向量，

取x=2x/J，则加=(2。,6,3)为平面的一个法向量,

又万二(0],0)为平面A"C的一个法向量,

丽•斤—6_6^57_2^57

所以cos〈沌万）1^1*5/57x1-57~19

9</57

故平面A/.43与平面所成锐二面角的余弦值为-.

19

5.【答案】⑴证明：如图，分别取48.8C的中点M,M连接DM.MN,NE,

所以

又因为平面DAB_L平面ABC,且平面D,4Bc平面力BC=力3,

所以DW_L平面48C，

同理可知,£V±平面彳8C,

因此。VIIEN且DW=EN,

所以，四边形。aww为平行四边形，

所以。£11MY,

又因为MNII,4(7,

所以OE||/C'.

（2）解：因为/8=8C=2MC=2VI，

所以力//+//。2=力。2，

所以乙1以790，

以8为原点，84为x轴，BC为J'轴，过8且与平面力8c垂直的直线为；轴,

建立如图所示空间直角坐标系，

E

由题意知，

1227

所以布・(-2J2)•沛・(共,2).

设平面力(工的法向量为万二(KJ，,z),

ri'AC=0,

则_

ri-AE=0,

-2x+2y=0,

所以)\

-2.v+y+2z=A0,

令x=2,则y=2*=l,

则平面4(:3的一个法向量为万=(2,2,1).

设直线〃”与平面ICE所成角为。，

,一斯.方44人

国Isin〃=cos(8F,历)=—=-产—=---

则'4网间3及x39,

一2

则直线与平面1(7:所成用的正弦值为4也.

9

6.【答案】(1)证明：取尸。的中点为广,连接彳RE凡如图所示:

因为尸、上分别为〃。的中点，所以EFHCD、EF=：CD,

又因为/1B〃CDMB=CD,所以林〃/〃,//二!"，所以4尸'与8£必相交，

2

因为"二加%所以力F1P0，

又因为PD上BE,且"ZE=E,/£8Eu平面/初》二

所以〃。，平面又因为/8u平面/14£7「，所以"Q148,

又因为47)1力反。。「胃。二八，，Q"IQu平面Ri。，所以力81平面4O，

又因为/Bu平面ABCD，所以平面PAD_L平面'力8。。；

(2)解：设O,G分别为4),/儿'的中点，因为/“二/。二PD，所以

又平面/M01平面/＜灰刀，平面平面18co=4。，POu平面PM),

所以P。，平面48CO,因为O/.OG.u平面”(7)，

所以PO_LO4PO,OG,又O410G,

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示:

由(1)知48_L平面/力。，/力〃"即为直线"ZT与平面/力。所成的角，且tan/“%=不=2,

AP

设彳尸=2,则46=4，/((1,0,0),a(IJ.O).C(-1.4.01./)(-1.0.0),f(0,0,73)，

沅二(-2,0,0),丽=(1,4,-6)

因为PO_L平面所以平面的法向量为而=而=(-1.0,-6)，

设平面PBC的法向量为际=(x4,z)，

n•BC=-2x=0

则取户=(0.&,4),

札PG=x+4y->fiz=0

即平面4BE与平面PBC夹角的余弦值为

7.【答案】(1)证明：连接DO、AO、EO,

D

A

C

E

因为△ABC,ADBC，aEBC都是等边三角形,

所以40_L8C',E018C,0018C,

又因为在平面内交于点0,力。,。。在平面,40D内交于点0,

所以8cl平面8cl.平面力。公，

又因为过O只有一个平面与RC垂直，且平面//(〃•：与平面A0D有公共点O,

所以平面A0E与平面A0D是同一平面，

则A,D,0,E四点共面.

(2)解：连接DO、AO、EO,AD,

以OA,OB分别为x、y轴，以过点0且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系,

因为△/)/?('是等边三角形，边长BC=AB=DC=2百，点。为BC中点，

所以8。=。。二石，所以。。=加?2-(?。】=,12-3=3

又因为彳。=2&,设。(工乂二),

所以0（1、0.2百）,

因为是等边三角形，边长8。=8£'=2石，点。为中点，

所以BO=CO=也，

又因为£O=j£C"-C（/=J12・3=3，设£（$•.％，4），

BE=/；+（y「6）2+z；=2百

CE小山+百）；：=2百,,

所以V'7,解得H+二：=9,

EO=Jx；+y；+z：=3

由（1）得/dOE为二面角,4一8（7-5平面角，

设乙偌E0,则点£（3cos9,0,3sin。），

故赤=（3cosO,0-3sin〃）,万=卜3,-6,0）,布=卜2,0,2万）

设平面4C0的法向量为方=（.q,/，Z2），

n•AC=0-3x2-y/3y2=0=

则

nAD=0-2X2+2\[2Z2=0

取.q=&，得必=一"，3=］，所以"=（a,-"1），

设直线OE与平面4CO所成角为a,

—•I\oE-n\|3&co§〃-sin4|3>/3cos(/?+^)|四cos(J+8)

则sin-cosOE、小硒卜1-1=1-9~~(=3~~

其中COS。二半,§m尹二乎?

当卜0§（。+/）|I时，sina取得最大值为日,

所以直线OE与平面力（刀所成角的正弦值的最大值、3.

3

8.【答案】（1）证明：将梯形力£7「。沿£7,,翻折至梯形使得平面同引7。•平面诋C,

因为平面AEFRc平面BE"C=EF，且RF工EF,RFu平面4EFR,

所以R/71平面尸C,且/Tb_LC",

以/••为原点，以FR/T,“。所在直线为kJ二轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

设BE=a,网跖0,0),尸(0,0,0)，4(A,0M).8(瓜dO),C(Om+l,0)，A(O.OM+l),

BF=(-x/6,-^,0),JjC=(->/6,t7+1,-4/),

因为B"±4。，所以苏•n=6-““M)=0,解得”2,

则48=(0,2,-2),"。=(0,3,・3),即。C=：48,D.CHA.B,

即DW，故4,8C仅四点共面；

(2)解：由(1)可得乐二(0,-40),则BE=u=2；

(3)解：由(1)知，^C=(-V6,3,-2),港=(0,2,-2),而=(一而。0),麻=(03-3),

设方=2麻=(0,3儿-34)(04吠41),则尸(0,3九3-3%),则冲=(0,32,3-32),

设平面48CR的一个法向量为m=(.%zj,

则已生一府取乂=而得而小疯⑹,

而48=2乂-2再=0

设平面£7・7的一个法向量为万二(三，”,z?),

n-EF=-yfbx.=0

则—,、,取向■之,得力二(0，-1〃)，

w-FP=3/ly2-(3-3^)z2=O

由平面£7¥1平面48C。，则册•万二"(7-1)+«2=0,解得a-.,

(33),贝加+瓜

则P0,-,-,又而二卜后,-2,0人

\4?49/

设平面BlP的一个法向品:为"=(.5,y3,二J,

pZ?P=-V6x,-iy,+-z,=0/lc

则22,取七=2,得"=(2.■6.")，

p.BF=-\/6X3-2ys=0

易得平面/?F"C的一个法向量为？=(0.0.l),

nl—万e_R_x/6

则8SP一丽;而

则平面外7,与平面/?/•/('夹角的余弦值为空

4

9.【答案】(1)证明:以点。为坐标原点，D4Q&OP所在直线分别为x.y.z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

(44

则/l(2,O,O),8(22O).C(O,4,O),P(O,O,2),E0,-,-

<33

丽=(Z2,0),正=(0,g,g

设平面的法向量为质二(工乂二)，

而丽=0,

则_

[w-D£=0,

2x+2y=0,

则44c

3V+32=，

令x=l,得『=T,i=l,则而=(L-1,I).・

因为苏二(2,0,2),

可得而,而=0,

又因为P.4C平面80£，

所以也|||平面

(2)解：易知方二(2,0,-2),而=(2,2「2),

设平面/力8的法向量为万=(。力］)，

私⑸=0,

则_

小PB=0,

(2a-2c=0,

所以,〃->A

［2a+2/>-2c=0,

令〃=I,则/>=0,c=l,则万=(1,0,1).

设平面/U8与平面80£的夹角为。，

则c°s”|c°s依小篇二云邛-

所以，平面与平面8OE夹角的余弦值为｝;.

(3)解:易知前二(0,4,・2),平面018的一个法向量为斤=(1.0,1)，

设直线PC与平面所成角为a,

io.【答案】(1)证明：以力坐标原点，建立空间直角坐标系4-qz,如图所示:

则4((),0,2&),8((),2,()),C(2,0,0),q((),2,2拉),q(2,(),2&),N(l,l,2拉),

打11.8)。1。2&),丽=(02-2®),而=(2.-2.0),而=,夜)

ri-A,B=2y-2y/2z=0

设平面4/?r的法向量斤二(工¥，］)则，令z=l，则万=(JI&,1)，

n-BC=2x-2Jy=0

因为万•日0=0,且PQa平面48C,所以尸0//平面4«c；

（2）解：由（1）得苻设直线4P与平面48c所成角为a

则sin〃cosI,0M

I川4户2x>/5"-io"

即4〃与平面4所成角的正弦值为Ei.

11.【答案】（1）证明：以。为原点，以所在的直线分别为x轴，J,轴和二轴,

建立空间直角坐标系，如图所示，

不妨设正方体4BCD-4的棱长为2,

则4(2,0,0),4(2,0,2)1(020)0(0.0,2)若(2,2,2),£(1,1,0)

可得福=(-1,卜2),函=(-2,-2,0),

由福丽二(-l)x(-2)+lx(-2)+(-2)x0=0,

得近J.丽，

则

(2)解:由⑴可得就=(-2,2,0),可=(-2,0,2),

设平面的法向量为册二(工,乂"，

nvAC=-2x+2y=O

则一一，

m-AD{=-2.r+2z=0

令x=l，可得.r=L?=l,所以册=(1,1,1),

设直线4E与平面ACD.所成的角为仇

则sin〃二coszl/r./w=

所以，直线45与平面/1CR所成角的余弦值为

12.【答案】(1)证明：连接EF,DF,记的中点为G,连接AG.FG,

因为8C1平面力8/；，

所以8c18£,

由是正三角形，四边形力是正方形，F为/?('的中点，

易得AREFmCDF,则以二DF，

因为G是OE的中点，所以FG1DE,

又因为所以/IGIDE,

因为尸GC^G=G,FG,XGu平面/IFG,

所以0E1平面/IFG，

所以彳尸！£>£.

(2)解：记47?的中点为O,连接0E,则。

以0为坐标原点，。/所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，

过点0口.与8C平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨令AB-2，

则力(0,1,0)/(0JI),C'(0J2),0(0,1,2),&60.0)

AF=(0,2,1),CD=(0,-2,0),G=(G-l,-2)

设平面(7)£的法向量为历二(xj,z),

CDni-

CEm=

f-2v=O.

得RAA

V3.r-y-2z=0,

令工二2,得］：=0,z=G>

则而二(2.0,JJ).

设直线4/j与平面CQE所成的角为a

力丁|_石阿

则sin〃祠眄「后x6-35

所以，直线力/,'与平面CO/T所成的角正弦值为婀.

35

AD

13.【答案】（1）证明：连接如图所示：

BEC

因为七是4C的中点，且/I。=:〃（'=2,所以力。=8£，

又因为,4D〃EE，所以四边形I"/"）是平行四边形，同理可证四边形力ECO也是平行四边形,

乂因为48=40，所以四边形48£0是菱形，所以4EL8D,即（7）1/"），

将△&•!£沿着力£翻折成△&4E,有/El,。."，AE1DM，

又因为BVcDVM,BV.DVu平面”）11,所以平面"「A/,

故CD1平面片。射；

（2）解：平面4,4E_L平面"（。，平面BJEc平面"（0二//,

4Mu平面8"£B.MLAE,所以＜W1平面彳ECD,

。时（2平面力£（刀，所以4M1O.W,

由（1）知/IZTiqAI,AE1DM，即AE,/?,V,DM两两垂直,

以M为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

易知a/BE、A/OE均为等边二角形，

川oo甸/(-I,O,O),Q(O,6O),而=(1,6,0),而=(o,6-G),

易知平面片MQ的一个法向量为万二(1,0,0),

m-AD=x+VJy=0

设平面4.4。的法向量为册=(.、■),则，

m•BQ=>/3y-Viz=0

令、=|,得.E=-G二=1，即而二卜6,1,1卜

t…眄得卜6码（皿）|■屈

则卜cos/w,n\=；iJ=---/-------—r-------,

11网•同国于/加5

即平面8小〃)与平面人4。夹角的余弦值为55；

15

(3)解：假设线段及。上存在点P，使得A配〃平面

过点P作〃0〃(。交"。于Q，连接MP,AQ,如图所示:

易知4W〃CD〃/乜，即A,M,P,Q四点共面，

因为A"〃平面国力。，A〃，U平面AMPQ,平面4WP0C平面41。=力0，

所以MP/L4。,所以四边形AMPQ为平行四边形，所以「0=/”=；。。，所以P是4c的中

点，

B.PI

故在线段qr上存在点p,使得A仍〃平面人">,且力二5.

14.【答案】(1)证明：如图，取/>』的中点N,连接MV,8N,

所以“V.〃),且.\加=1/0,

又因为40II80,AD=2,BC=I,

所以MV〃仪,且MV二8C，

所以四边形,MVBC为平行四边形，故CJ，V/?,

又因为CWa平面PAB，BNu平面PAB，

所以直线CM||平面p4t

连接

因为三角形/“。为等边三角形,

所以且PE=S、f=C，

vAEUM且AE=BC,

所以四边形彳EC8为平行四边形，所8,

因为所以CE14Q,

所以/PEC为二面角〃AD8的平面角,

所以：

，:CE=AB=S.PE=C，

所以三角形P(E为等边三角形,

因为AD1PE,AD±CE,PE「fE=E,PEu平面PCE,

CEu平面QCE,

所以.4。，平面P（7T，

作PO±CE于点O,

因为OPu平面P（E,

所以,4/）1OP，

又因为POJCR/ID'EEMDu平面48C。，

CEu平面ABCD,

所以。Pl平面,4BCD,

如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，

以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系,

显然平面,4他刀的法向量为力二（0,0.1）,

设直线CM与平面ABCD所成角为〃，

——।3

.a-ICA/.川43-V10

则sin0=cosCA/.n\1=7=q--=——=-------,

川|CA/|x|n|V10xI20

2

故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为岂过.

20

15•【答案】（1）证明：记/B的中点为0,连接PO,OD,BD,

所以AJ4O为正三角形,

所以。C148,

由为正三角形，

可得。。1力/?,

因为OP"〃）是平面内的两条相交直线,

所以/Z?J_平面PO。，

又因为POu平面产。。，

所以46I/O.

(2)解：由(1)知，//?±。。，过点O作81平面力88,

以。儿0D。:所在直线分别为KJ二轴建立空间直角坐标系，

因为力/，_1.平面POQ,

所以点〃在坐标平面.惘上内,

设ZPODa,N)=OD=&，

则川0,辰osa.Gsina),/f(l,0.0),n(0,>/3,0)t/?(-l,0.0)tC(-2.

所以"d-lGcosa.GsinabQ/i-K，---,0,而二(-2,0,0),

因为直线AP与DF的夹角的余弦值为—,

6

_____,33

所以a,

网・|闭266

解得cosa=；,

因为aw(O.jr),

2J2

所以sina二壬，

3

4T#

所以叫T李竽)而・卜攀笥,

设平面EAB的法向量为万=（kJ，,Z）,

",斤二・x+3j，+辿z=()

则3'3

ABn=-2x=0

令K=2&，得斤=（0.2a.-1）,

记直线PC与平面PAB所成角为仇

"丁|_2瓜皂

则sin〃Pc|.|w|-2\^x3-3

16.【答案】（1）证明：取AB中点E,连接ME、NE,

因为底面,48（刀为矩形，N为CD的中点，所以EN/MD,

ANa平面PAD,/Ou平面P40，则EN〃平面

因为M为PB中点，所以ME//PA,

“9（2平面，/。，、/£匚平面只40，则A陀〃平面

因为汇Vc“”「且都在平面A/EN内，所以平面V/、//平面P/Z）,

因为W.Vc平面MEN,所以MN//平面PAD.

（2）解：由题，易知直线DA,DC,DP两两垂直，以D为坐标原点，以DA,DC,DP所在直

线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示:

则。(0.0.0),J(2.0.0),P(0.0.4),"(I.2.2),N(0,2.0),

所以两三(12-2)，丽=(0,2,-4),俞=(-1,2,2),布=(-2,2,0)，

[wPA7=r+2v-2z=O

设平面PIN的一个法向量为册二（工,V,二）,则一_

[m•PN=2y-4z=0

令y=2,得x=-2,z=b所以而=(-2,2,1),

n-AM=-a+2〃+2c=0

设平面zH/V的•个法向量为方=（。・4。），则]

h•AN=-2a+26=0

令"2,WA=2,c=-l,所以方=(2.2,T),

|c°s周同二常二巴匕L，,所以平面PMV与平面从,川的夹角的余弦值为1.

加网3x399

17.【答案】(1)证明：因为4c为直径，

所以才。，。。,/"1/?。，且/O=1JC'=2,

则CD=G且ZCAD=60°，

又因为N/MC30，

所以/夕/1/)90，

则力。1力8,且18，伙'，力。,叱上平面,4伙刀，

可知彳DIIBC,且AD(Z平面PBC,BCu平面PBC,

所以4D〃平面P8C，

又因为/Ou平面ZMO,平面平面28。=/,

所以彳D〃/.

(2)解：方法一：由题意知，AD1CD,

如图，以。点为坐标原点，D4,OC所在直线为工卜轴,

过。与0,平行的直线为二轴，建立空间直角坐标系，

可知PO:51二2，

设AD二a，

则/（劣0⑼,

可得引=（a,0,0）,丽鸣,上^-,2,DC=（0j4-a2,0）

设平面的法向量为万二(KJ，,Z),

小丽二丝+叵!”2z=0

则22

wDC=x/4-a:v=0

4.f4

令1=1，则工二—4=0,可得，—.0,1

设与平面PC。所成角为

.八sin。4V3

则mitan®=------=—^―，

cos。3

可得cos6=^sin。，目.cos?6/+sin?^=—sin2^4-sin2/7=1,

416

解得s・m0n=743,

一।I",司44

则

整理得16+/=19,解得。=6,

则/0=3

方法二：以。点为坐标原点，。COP所在直线分别为卜和二轴,

在平面4BC。内过。垂直于4c的直线为X轴，建立空间直角坐标系,

则〃o=vrz=2,.4(0.-1,0).(7(0,1.0),

设。(cos®,sin。,0),可得而二(854疝。+1,0),1=(0J-2)，PD=(cos^sin0,-2),

n•DP=y-2z=0

设平面的法向量为万二（KJ，,Z）,则，

h-DC=cos〃x+sin®・y-2z=0

r

令二=1,则x=」八：夕,〉，=2,可得户2-2sin£))

cost/<cos^「

设AD与平面PC。所成角为a£0弓卜

贝hana=W^=也

cosa3

可得cosa=^sina,且cos?a+sin：a=3sin，a+sin：a=

416

整理得l8+2sinO=19,解得sinO=',

2

所以|布卜j2+2sin〃=W,

则,4。=3

18•【答案】(1)证明：连接£尸，在△尸8。中，

因为£,，.分别为的中点，

所以印7BD,

又因为£7*a平面48c0，BDu平面XBCD，

所以加7/平面,480

又因为EFu平面AEF，平面，4E/c平面/川(7)川，

所以E"〃团，

又因为EFHBD,

所以〃/〃?/).

(2)解：设力(7门8。=。，连接PO，

因为P-48(7)为正四棱锥，

所以。为正方形ABCD的中心，

所以0,4108,POL平面ABCD,

以。为原点，。4,OB,0P所在直线分别为五轴，J飞日，二轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意可知,彳（6,0,0）,8（0.仿0}C（-V2,0,0）,D（0,->/2,0）,尸（0,0•旬,

近42}

,F0,

E盛图72

+△李孝），而=（0「立0）

则⑸=(拒~AE

设平面/亿7•'的法向昂:为而=卜,乂二），

m-AE=0

则

w£F=0

一⑸+号+冬=0

则

=0

令2=2,则历=（1,0,2）,

设直线/X与平面/"/'所成例为。,

PA

则sin〃|cos/«,PA

PA1()

所以，直线/U与平面力£7,'所成角的正弦值为巫.

10

（3）解：连接力A/，设器=幺（0<%<1），

所以两=7定二卜而,0,-而），

因为万=卜拉,0,6），

所以而二万+而十万一&,0,亚_&）,

由（2）知平面力£7•'的法向星:为周=（1,0,2）,

所以平面的法向量为而二(L0,2),

由AMu平面力EMF,可知而•.4.»=0，

则・拉・VJ4+2(&-VLi)=0,

解得之=；,

PM1

所以——=-.

PC3

19.【答案】(1)证明:取。中点O,连接OA/0N,如图所示:

因为分别为力Q8C的中点，所以。M//IC,ONBD,

又因为44。。=/8。。=色，所以roioM.rcov,

2

又因为。MC0N=。，，比。Vu平面。、AV,所以CD1平面。MV,

乂因为MNu平面O.MV,所以MMICQ；

(2)解：由(1)知乙WON是二面角力一CO-B的平面用，则乙依加・60，

以。为原点，ODOV分别为kJ轴，过O作平面8(7)的垂线为二轴建立空间直角坐标系，如

图所示:

J0161时