2026年高考数学一轮复习：第四章 三角函数与解三角形（综合训练）含解析

第四章三角函数与解三角形（综合训练）（全国通用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.【可答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题m的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卜上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若角。的终边经过点（-3,3&）,则tan（-a）=（）

A.-V2B.-2C.V2D.2

2.已知VA8C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,cf若Z?sin2A=asin8,且c=2/?,则;等于（）

b

A.2B.3C.6

7T-3,贝ijcos(2aq

3.已知百sina-sina+—)

65

B.上n24

AD.——

-i25c425

4.某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长C=8（）m.则此扇形花池的面积S的

最大值为（）

A.20()mB.300m

C.400mD.500m

5.线段的黄金分割点定义：若点C在线段/W上（点C靠近B点），且满足AC2=8C.A8,则称点C为

线段"的黄金分割点.在V/WC中，AB=AC,4=36°,若角8的平分线交边AC于点。，则点。为边人。

的黄金分割点.利用上述结论，可以求出cos36七（）

A.邑1B.垦!「>/s—1x/5+1

D.

4422

则tan虑（a+〃料）（

6.已知sin2a="?,sin2/?=〃，且加工，z,)

m-iim

A.B.—C.-D.

tn+nm-nmn

7.已知函数/(x)=2cos(5+0)(&＞0,|0|＜兀)的图象如图，点&二,a),B在/(x)的图象上，过A,B分别

4

作工轴的垂线，垂足分别为CD,若平行四边形AC8。的面积为日冗，则/(")=()

A.-V3B.1C.y/2D.石

8.在VA8C中，若内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,/ABC的平分线交AC于点。，BD=2且b=4,

则》8c周长的最小值为()

A.2+2&B.2后C.4+4x/2D.4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列等式成立的是()

A.sin15°cosl5°=—B.cos75°cos1504-sin75°sin15°=0

4

ctan120+tan33°,

C.2sin215°-l=—D.=1

21-tan12°tan33°

10.已知函数"x)=sin(s+e)(0〉0,＜兀)部分图象如下，它过0,当，传，。)两点，将/⑴的

图像向右平移5个单位得到g")的图象，则下列关于8(刈的说法错误的是()

B.图像关于(+,0)中心对称

A.图像关于y轴对称

c.在-K最小值为-正兀

D.在0,-上单调递增

L63」2

II.当VA8C内一点产满足条件/248=/尸8。=/尸。1=夕时，称点P为VA8C的勃罗卡点，角。为勃罗卡

角.三角形的勃罗卡点于1816年首次被法国某数学家发现，而后于1875年被法国军官勃罗卡重新发现且展

开研究，最终用他的名字命名.如图，在VABC中，角人,艮。所对的边分别为4〃，。，记VABC的面积为S,

点P是VA4C的勃罗卡点，勃罗卡角为。，则()

A.若〃=c时，PB2=PAPC

B.若"=c且PC=梃PK时，cos<9=^-

1111

C.若△ABC为锐角三角形，则----=----+----+----

tan。taihAtan8tanC

D.4S-tan6?=«2+b2+c2

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在VA8。中，若tanA,tanB是关于x的方程x2+〃(x+l)+l=O的两个实根，则cos2C=.

13.如图，河流的一侧是以。为圆心的扇形区域OCD河的另一侧有一建筑物A8垂直于水平面，假设扇

形。CO与3处于同一水平面上，记。4交co于E若在C,O,E处看A的仰角分别为45。，30。和60。，则

NCO4的余弦值为.

14.已知x>0,QCR,/(x)=sin(〃状+协，直线1y=；与函数y=；,5的图象的交点为A、&、

乙乙

L、4，若对lWi</W〃(iwN,/wN)，卜闻的最小值为枭最大值为=,则后］=一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

4

15.(13分)已知角夕的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸(-3,)，)且tana=——.

3

71

⑴求sin(乃一a)+sin—+a的值;

2

(2)洛。的终边按顺时针方向旋转此时终边所对应的角为夕，求sin(a+0的值.

4

19.(17分)为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个内接匹边形区域作

为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABC。区域中，将AAC。区域设计成花卉观赏区，VA8C区域设

计成漫时光DIY区，边修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中BC=100m,4C=10()Gm.

⑴求漫时光DIY区(即VA8C)面积的最小值；

(2)为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形A8C。？请给出设计方案.

第四章三角函数与解三角形(综合训练)(全国通用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.【可答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题m的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在.答题卜上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若角。的终边经过点(-3,3&),则tan(-a)=()

A.-y/2B.-2C.y/2D.2

【答案】C

【分析】结合诱导公式及三角函数的定义即可.

【详解】lan(-a)=-tana=-^^=\/J.

-3

故选：C

2.已知V4AC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若加in2A=asin3,且c=%,则，等于()

o

A.2B.3C.V2D.75

【答案】D

【详解】由bsin2A=asin8,可得22?sinAcosA=asinB,

由正弦定理可得2sinBs\nAcosA=sinAsinB,

又因为()<A,B<TT,所以sinAsin8工()，所以cosA='，

2

在VA3cLP,C=2b,由余弦定理可得/=必+/一2bc.cosA=5//=3//,

所以£二百.

b

故选:D.

3.已知Gsina-sina+=|,则cos(2a-g)=()

24

A.—B.--C.--D.

25252525

【答案】A

7173.13

【详解】百sina-sina+—=>J3sina-=—sincr—cosa

6J225

故选：A.

4.某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长C=80m,则此扇形花池的面积S的

最大值为（）

A.200m2B.300m2

C.400m2D.500m2

【答案】C

【详解】设扇形的弧长为/，半径为〃，贝i」2"十/-80,

所以S='"=L/-2厂=400,当且仅当2r=/=40时，S有最大值400.

244I2J

故选：C.

5.线段的黄金分割点定义：若点。在线段A3上（点。靠近8点），且满足AC2=3GA4,则称点。为

线段A8的黄金分割点.在VA8C中，AB=AC,A=36。，若角8的平分线交边AC于点。，则点。为边AC

的黄金分割点.利用上述结论，可以求出cos36*（）

A6-1口>/5+1r-1nx/5+1

4422

【答案】B

【详解】如图所示，设A8=AC=l,4D=x,则C£>=1一X,

由AO2=CO・AC，可得d=i-x,即f+x-I=0，

解得x=或”=一6—1（舍去），所以八。=6一1,

222

在VA8C中，AI3=AC,4=36。，所以NA8C=72°,

因为A。是角8的角平分线，

所以AABD=36=ZA=8。=4。，

1AB

所以cosA=cos360=2_

AD

2

故选：B.

则ta就n(«+常/?)

6.已知sin2a=，〃，sin2/=〃，且加)

in-n

A.------B.竺2C.—D.—

m+nm-nmn

【答案】B

【详解】因为$血12。=5巾[(二+户)+(々一户)]=sin(a+/?)cos((7-/?)+cos(«+^)sin((7-/?)=〃?,

sin2£=sin[(a+£)-(a-=sin(o+£)cos(a-£)-cos(a+//)sin(a-£)=〃，

所以：sin(a+fi)cos(a-fl)=，n^ncos(o<+/7)sin(6r-/7)=mn

m+n

tan(a+/?)sin(a+/7)cos(a-〃)y〃?+〃

乂---------=--------------------=--=--=-----

、ian(a-,)cos(a+/?)sin(a-77)〃?一〃m-n

F

故选:B

7.已知函数小）=20。频+。）（。＞。,。＜兀）的图象如图，点吗,夜），8在小）的图象上，过4"分别

D,若平行四边形AC8。的面积为日冗，则/（工）=（）

C.五D.百

【答案】D

【详解.】由四边形ACM为平行网边形'点AC"CD,

得|阴=|A。=&，S.D=S"=^xV2x|CD|,

由平行四边形AC8。的面积为孝冗，得2xgx&x|CD|=*冗，解得|CD|=],

由函数/(x)图象的对称性得函数f(x)的周期为兀，乂/>0,则@=丝=2,

n

由/(£)=&,得2cos(2x=+e)=0,即cos3+>)=立，

4422

而『3图象在点A处是上升的，则W+e=2E—keZ,夕=2E—个，keZ,

244

又1。1〈兀，则9=-----,因此/(x)=2cos(2x------),

44

”,।”7兀、_7n3兀、_/兀、二

所以八二)=2cosz(-----)=2cos(--)=V3

241246

故选：D.

8.在VA3C中，若内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,/ABC的平分线交AC于点D,BD=2且b=4,

则^A8C周长的最小值为()

A.2十2夜B.2>/25C.4十4加D.4

【答案】C

【详解】由题可得，S△八8C=SEAM+S4BCD»

即一。csinZABC=—BDcsin--------+—BDasin--------

22222

『,'.48CZABCr.ZABC.ZABC

又87)=2,〃=4,所以24csm-------cos---------=2csin---------+2nasin--------,

2222

囚为0＜乙48。＜兀，所以。笑＜5，则向】4^工0，

222

「口।Z.ABCZ.ABCc+a

所以accos--------=c+a,Rn|Jilcos---------=------,

22ac

乂因为cosNABC=d6,且cos乙44c=2cos2幺0£_j,

lac2

所以2

整理得4(c+a『=a水C+4T6],

所以4(c+a尸=〃c[(c+a)2-'':"・[(c+a)2-16],

解得(c+4232,则〃+/4&，当且仅当a=c=2/时等号成立,

则方+4+c,之4+4&,故V4BC匿长的最小值为4+4夜.

故选：C.

B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列等式成立的是()

A.sinl50cos15°=—B.cos75°cos15°4-sin75°sin15°=0

4

rtan120+tan33°,

C.2sin215°-l=—D・=1

21-tan12°tan330

【答案】AD

【详解】对于A,sinl50cosl50=^sin300=-j.AiF确:

对干B,cos750cos150+sin750sin150=cos(75°-15°)=cos60°=-,B错误;

2

对于C,2sin215°-l=-cos300=--,C错误;

2

tan120+tan33。

对于D,=tan(12o+33°)=tan45°=1,D正确.

1-tan12°tan33°

故选:AD

10.已知函数"x)=sin(s+e)(0〉0,＜兀)部分图象如下，它过0,当，传，。)两点，将/⑴的

图像向右平移g个单位得到g(x)的图象，则下列关于g(x)的说法错误的是(

)

B.图像关于(+,0)中心对称

兀

D.在0,-上单调递增

【答案】ABD

T2兀

23,39、h

【详解】由图知；，可得彳<@<7，乂/(0)=$由0=？0<8<兀，

—>—

43

解得：*=g或弓，又/(年)=sin(当rw+e)=0,.•.号/+0=4兀(％eZ).

JJ

若=方心=3左一1工会.2兀3k-2,则/=2,所以/（x）=sin（2x+与）向右平移方得到

9，无解；石（P=F，S=---

23

g(x)=sin2x,

对「A：因为g（x）=sin2x,所以是奇函数，关于原点对称，故A错误;

黑故对称中心件，o]«wZ,故B错误;

对于B：令2x=配x=

2\/

对于C:因为X一71谷71,则土方石,所以g（吁心在区间.71昔71的最小值为:

6363

）=-4，故C正确;

si.n—兀

山『gI3

对于D：因为xe（）*,所以2工40,可，所以g*）=sin2x在此区间不单调，故D错误;

故选：ABD

11.当VA5C内一点尸满足条件NQ46=NP4C=NQC4=8时，称点尸为VA4c的勃罗卡点，角。为勃罗卡

角.三角形的勃罗卡点于1816年首次被法国某数学家发现，而后于1875年被法国军官勃罗卡重新发现且展

开研究，最终用他的名字命名.如图，在VA8C中，角A8,C所对的边分别为〃也c,记VA8C的面积为S,

点P是VA2C的勃罗卡点，勃罗卡角为。，则（）

A.若。=c时，PB2=PAPC

26

若。=。且巾=@^时，cos"

B.丁

1111

C.若△ABC为锐角三角形，则

tanOtaihAtanBtanC

D.4Stan0=/+b2+c

【答案】ABC

【详解】当。=c•时，由“等边对等角“得NB=NC设NP43=NPBC=NPC4=，，则:

在中，/PBA=/B—e

在△P8C中，/PCB=/C-e,他/PBA=4PCB

根据相似判定可得△E48〜△P8C,由相似三角形的性质”对应边成比例”，有:

PAPR

~^=R=PB?=PAPC，A正确;

DAPR4n

当〃=c时，/8=NC且由选项A的相似性得：—=—=—

PRPCBC

设A5=c,3C=",则萼=£,组合PC=gPB，得£=Wn〃=&c此时8c中，由余弦定理

PCaay/2

a2=h2+c；'(a=&c,/)=c)^^NA=90,N8=NC=45

PCBC

在△PBC中，由正弦定理,且N8PC=180-。-(45—)=135

sin0sinZ.BPC

PCay/2c

=2c=PC=2c-sin0

得：sin。sin135J叵

2

在\PCA中，ZPAC=90-夕ZPCA=0,AAPC=90

由三角函数定义?C=ACcose=LCOs6(AC=/?=c)

结合PC=2csin。，得:

c・cose=2c・sin6=tang=L=cos。=J,B正确;

2Vl+45

-./c小，/八小tanB+tanC

已知A+B+C=n,所以A=n-(B+C),tanA=-tan(B+C)=----------------

1-tanBtanC

11-tan/?tanC

则

(anAtan8+tanC

因为NPA8=NP8C=NPCA=O,tan0=4=%=^

4人4

1-tanBtanC1I

在VA4c中,+J-----------------+—+-----

tanAtanBtanClan3+tanCtanBtanC

tanB+tailC

经过通分和三角函数的恒等变换:--------1--------=----------------

tan8tanClan8tanC

1-tantailCtanB+tanC

--------1--------=---,故C正确;

tanR+tanCtanZ?tanCtan0

在4Pla△PBCgPAC中，分别由余弦定理得:

BP2=C2+AP2-2C?AP0CP2=a2+BP2-aBP0AP2=/?2+CP2-bCP0

三式相加整理得：2COS^(C24P+6'BP+bCP)=a2+h2+c2®

由三角形面积公式S=ga%sinC=；/?csin人=gacsinB

得：SdCA〃LH"=-c-AP-As,inOS....=-Z?'CP峥.=-aBP?0

三式相加整理得：2S=sinO（c%尸+a/?P+/，CP）②

2+b2+c2_2cos0{c2AP+aBP+bCP)

结合①②式，可得:a

•-sinO(c?AP+aBP+bCP)

整理可得：/+/+/=§,口错误.

tan6>

故选:ABC.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在VA8C中，若tanA,lan8是关于x的方程x2+〃（x+l）+l=O的两个实根，则cos2C=.

【答案】0

【详解】因为〔anA,lan8是关于x的方程f+*+〃+1=（）的两个实根,

tanA+tanB=-p

所以由韦i火定理可得：

tan/ManB=p+l

tanA+tanB

则tan(A+8)=-P=1

1-tan4tanB1一(〃+1)

又因为A+8W(0,TT),

所以A+8=f.

4

又因为A+A+C=TT,,

所以C二个，

4

则cos2c=cos—=0.

故答案为：0.

13.如图，河流的一侧是以。为圆心的扇形区域OC7）,河的另一侧有一建筑物人4垂直于水平面，假设扇

形。CO与4处于同一水平面上，记0B交CD于E.若在C,O,E处看A的仰角分别为45。，30。和60。，则

Z1COB的余弦值为.

D

C

【答案】I

6

【详解】由题意，可得NAC8=45。，/4。8=30°和乙4七8二6（）。.所以NE48=30。,

设扇形所在圆的半径为及，可得AE=OE=R,且人4垂直于水平面，

在直角△ME中，可得BE=AEcos60=3/?,

所以=且8C=AB=AEsin60=立R，

22

在aoBC中，可得C°SNCOB=吧型*=堂上/把二工.

2OBPC2X%、R6

2

故答案为：7.

6

14.已知x>（）,”R,/（x）=sin（3x+。），直线y=g与函数y=/（工）,x£；,5的图象的交点为A、4、

L、4,若对1W<〃”NJWN）,|Ad|的最小值为?最大值为幺则/仔=一.

【答案】1或一;

【详解】设4,（乙，然），

由f(.1)=0m(5+°)=,可知，5+0=2+24]71依eZ)p^(t)x+(p=—+2kyii(keZ),

266

囚为|AAL=g，则相邻交点最小距离为?即（心f，•）*=（•

由巧+2/冗一弓+2年冗）=1+2（女2-占）兀，

可知0（工源—菁）而,二；啰=年，所以/=

T2兀3

所以最小正周期为7=时=/.

Q1Q（1\、1

因为四入「y3丁且5-二王所以《5卜/⑸弓

।,127c7Tc[X2兀57t.r>\

故一0+0=——+Q=—+2fE或—+°=—+2E（攵eZ）.

L3636

所以°=2而一5或2E+3女eZ),

26

当a=2E-巴(AwZ)时，/(A)=sin?工一5

2132

...J3^|.(4兀37t.兀1

则「一=sin-----------=sin—=1：

“。⑷I342J2,

当夕=2E+々斤eZ)时，/(x)=sin

6生+》

⑶.(4兀3兀.7T

则f—=sin=-sin—

⑷1I346；6"2,

故答案为r或总

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

4

15.（13分）已知角。的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（z-3,力，且tana=-§.

(1)求sin(九一a)+sin,+aJ的值;

（2）洛。的终边按顺时针方向旋转5,此时终边所对应的角为夕，求sin（a+0的值.

【详解】（1）由三角函数定义可得tana=-g=-],得），=4,

2分

3

则cosa二

444

sina=tana=一一6分

5，3

8分

也sin”与。sa=逑.c°s”c°sa+sma=

所以sin/?=立互互,11分

22102210

4V237>/2\76

所以sin(a+P)=~X------X----=-------13分

1051050

16.(15分)在VA8C中，点。在边AC上，AABD=-NDBC」,AB=\.

2t6

(1)若8c=2,求AO；

(2)若AO=2CD,求AO.

【详解】（I）在VABC中，ZABC=y

由余弦定理,

AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZAfiC=l2+22-2xlx2cos—=7

3

得AC=V7,3分

所以8s44C=小**二辿.

6分

2ABAC2xlxV77

⑺J81二近

所以在中，一肃一研一三.................................................8分

7

(2)设CO=/,AD=2t,(r>0),在△8CO中，

CDBCAR|

由正弦定理得又因为sinNCD/3=sinZADB=---=—,

sin^CBDsin^CDBAD2t

/BC

代入上式有：~=~r,得8c=i........................................................11分

sin—

6It

由氽弦定理得AC=^l+l-2cosy=&,

综上，

AD=^-AC=^y/3..................................................................15分

33

17.(15分)已知。,仇。分别为VA8C的三个内角A,8,C的对边，若A。为N84C的内角平分线，且CO=3,

(6/+c)(sinA-sinC)=(/?-c)sinB.

B唔

⑴求A的大小;

(2)求角平分线A。的长度:

⑶求V/WC的面积.

【详解】(1)因为(a+c)(sinA-sinC)=(〃-c)sin8.

222

所以(〃+c)(a-c)=(b-c)b,即b+c_a=be,

be_1

所以cosA=b+'—..........................................................2分

2bc~2bc~2

因为Ae(0,7r),

所以A=方；...............................................................................4分

(2)因为N/MC=1,40为/朋C的内角平分线,

所以/8AO=NCAO=四，

6

因为NBAC=1,B=y|,

所以T’...............................................................................6分

在公C4O中，由正弦定理得,

\AD\

=J~L,即.n.n

sinZCADsinCsin-sin

o4

解得，|AD|=3及,

所以角平分线AD的长度为3&；9分

（3）由（2）知，ZADC=^y,

在ACAQ中，由正弦定理得,

3_M

CD\

，即.7T.7TT>

sinNCA。sinZADCsin—sin-

612

3（遥+&）

解得，|AC|=H分

2

在VA8C中，由正弦定理得,

M_\AB\

，即.5兀.兀，

sin8sinCsin—sin

4

解得卜却=3上,13分

所以SM8c=；|4M.|AC|-sin/8AC=；x3&x[^|^卜¥=（（3+6）,

所以VA8C的面积为13+a.............................................................15分

4

18.（17分）如图，在平面四边形A8CZ）中，已知AC,60交于。，AO=OC=立,BD=2,NA0B=g,

4

且令/CDO=a,/BA0=〃.

(1)判断：A8=C。是否成立？请说明理由;

⑵求cos（a-/?）的值;

(3)证明：当〃=2时，。位于VABC外接圆的内部.

6

【详解】(I)成立，理由如下；

由题可知：ZCOD=ZAOB=-,AO=OC=>/2,BD=2,

4

设=OD=2-x

所以4公=AO2+OB2-2AO-03cosNAOB,CD2=OD2+OC2-2OD-ODcosZCOD,

所以6f-24+2,CD2=X2-2X+2

所以AB=CO..............................................................................4分

AB_OA________OA

⑵在VA08中，§出幺。3-sin（.一月一NAO3）-sin（夕+/AOB）'

CDOC

在△COD中,7分

sinZ.CODsina

由（I）可知A3=CD,NCOD=NAOBJ,所以sinfi+-\=sina,

4I4；

则尸+色=。或?+4+。=兀.................................................................10分

44

当尸+：=a,即a-6=20寸，所以cos（a—夕）=立；

44v72

当"5°=几时,所以/徒―则旌△COO,所以8=可与。）＞皿矛盾.

所以cos（。一夕）=^^.......................................................................14分

（3）要证明。位于VA8C外接圆的内部，